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1、ææö ææêú单位圆内的三角函数线应用讲练(教师版) 山西忻州五寨一中 摄爱忠一、求有关三角函数的定义域例1.求下列函数的定义域：（1）y =11 cos x -1； （2）y =ln(3 -4 sin 2 x).【分析】：首先作出单位圆，然后根据各问题的约束条件利用三角函数线画出角x满足条件的终边范围.解：（1）如右图所示：y2 cos x -1 >0,cos x >12，13x Îçè2kp-p3, 2 kp+p3ö÷ø( k ÎZ ).
2、1o1x（2）如右图， 3 - 4sin 2 x >03 3 - <sin x < ， 2 2，sin 2 x <34，11x=2y1-33 x Îç2kp-èp3, 2kp+p3÷Èç2kp+ ø è2p 4p, 2kp+3 3ö÷ø( k ÎZ )，1o1x即x Îçkp- èp3, kp+p3ö÷ø( k ÎZ ).1-3【点评】：三角函数线的主要作用是解三角不等式，比较三角函
3、数值的大小等. 二、解三角不等式例2.已知cosq £sinq，求q的取值范围.【分析】：我们可以在单位圆内作出正弦线和余弦线绝对值相等的角，再找出符合条件cosq £sin q的q的取值范围.y解：如右图所示：由cosq =sinq，即 q角正弦线的绝对值和 q角的3 414余弦线的绝对值相等，则q角的终边落在y =x,y =-x上，满足cosq £sinq的q角的终边落在阴影部分，1o1xé p 3pùqÎ kp+ , kp+ ( k ÎZ ) . ë 4 4 û1【点评】：本题主要考查根据正弦线和余
4、弦线作出角q的范围，再写出满足条件的角q的集合.1三、比较三角函数值的大小例3.比较下列各组数的大小：（1）cos4p 5p p p 和 cos ； （2） sin 和 tan7 7 5 5；【分析】：我们可以考虑利用三角函数线，根据正弦线，余弦线，正切线来比较它们的大小.4p 5p解：（1）如右图所示，在单位圆内作出 和 的余弦线7 7和 OM ， OM <OM ,2 2 14p 5pcos>cos.7 7OM1571P2M2P4 711M1yo1x(2)如右下图所示，1p psin =MP, tan =AT ,5 5p p MP <AT , sin <tan .5
5、5【点评】：本题主要考查利用正弦线，余弦线，正切线来比较1y1oPMT1A5x三角函数值的大小. 四、证明三角不等式例 4.利用单位圆内的三角函数线证明：1sina +cosa ³1y【分析】：找出角a的正余弦线，数形结合易证.证明：当角a的终边在坐标轴上时，正弦线（余弦线）变成一个点，P1而余弦线（正弦线）的长等于 r =1 .1Mo1xsina +cosa =1.1当角a的终边落在一个象限内时，如右图所示，利用三角形两边之和大于第三边有：sin a +cos a = MP +OM >OP =1,综上可知有：sina +cosa ³1.五、三角函数线基础练习一1.设
6、aÎ(0，,2p)，a的正弦线和余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么a的值为（ ）.A.p4;B.3p 7p; C .4 4;D.3p 7p或4 4【答案】: B.20， ÷C .ìïïïy2.若0 <a<2p，且 sina <1 1， cos a > ，利用单位圆内的三角函数线得到a 的取值范围是（ ）. 2 2A.æ p pö ç- ， ÷ è 3 6 øB.æ p ö æç çè
7、6 ø è5p3， 2pö÷øD.æ pö æ5p ö ç0， ÷Èç ， 2p÷ è 6 ø è3 ø【答案】:D.如右图所示.p p3.若 <q< ，则下列不等式中成立的是（ ）. 4 25 6y136qA. . sin q>cos J>tan q B. . cosq>tanJ>sin1o10x21C . . tanq>sinJ>cosq53D. . sinq>
8、;tanJ>cosqyT【答案】C.如图所示：1P4tanq=AT , sinq=MP , cosq=OM,而AT >MP >OM,1oM1Axtan q>sin q>cos q，故选 C.4.利用三角函数线，写出满足下列条件的角 x 的集合：1（1）sin x >22； （2）cos x £12； （3）tan x >-1sin x >-ï； （4） í1cos x £î 212【答案】：如下图3 4y11.2.3.4 所示：4y131o1x1o1x11图2y533 4图 12113x1o1x1
9、o1137615-6图 33图 4æêæê（1）x Îçè2kp+p4, 2 kp+3 p4ö é p 5p ÷(k ÎZ ) ； （2） x Î 2 kp+ , 2kp+ ø ë 3 3ùúû( k ÎZ )；（3） x Îçkp+ èp2, kp+3 p4ö÷ø( k ÎZ )（4）é p 7pö2kp+ , 2 kp+ &
10、#247;(k ÎZ ) ë 3 6 ø.六、三角函数线基础练习二1.已知æqÎçèp pö， ÷4 ,2 ø，在单位圆内角q的正弦线、余弦线、正切线分别是a, b, c则它们的大小关系是（ ）TA.a >b >c；y1PB. c >a >b；4C . c >b >a；1oM1AxD. b >c >a.1【答案】B；如上图，AT >MP >OM即c >a >b.2.若 a是三角形的内角，且sina+cosa =23，则这个三
11、角形是（ ）.A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【答案】D；当0 <a£p2时，由单位圆内的三角函数线知，sin a+cos a³1 ，而 sin a+cos a =23<1， a3.已知必为钝角，故选 D.2p 2p 2p a =sin , b =cos , c =tan7 7 7，则（ ）.1yPTA.a <b <c247B. a <c <b1M1AxC. b <c <aD. b <a <c【 答 案 】 D ； 1p 2p p 2p< < ， 在 单 位 圆 内 作 出 的
12、三 角 函 数 线 如 右 上 图 可 知 ， 4 7 2 7cos2p 2p 2p <sin <tan7 7 7，故选 D.4.已知sina >sinb，那么下列命题成立的是（ ）.A .若 a、 b是第一象限角，则cosa >cosb； B.若 a、 b是第二象限角，则tana >tanb；C .若 a、 b是第三象限角，则cosa>cosb； D .若 a、 b是第四象限角，则tana >tanb.4)êú êêú ê【答案】D；如下左图，a、b的终边分别为OP、OQ,sina =MP
13、>NQ =sinb，此时OM <ONcos a <cos b，故yA错；y1PP1QQ1oMN1x1N Mo1AxB11C如上右图， OP、OQ 分别为角 a、 b的终边， MP >NQ ,y1AC <AB,即tana <tanb，故 B错.如下右图所示，角a、 b的终边分别为OP、OQ，1MNoxMP >NQ ,即 sina >sinb， ON >OM ,PQ1即cosb>cosa，故C错，选D.5.若aÎ 0， 2p ，且 cosa ³32，则 a的取值范围是（ ）.1y6【答案】é pù
14、é11p ö aÎ 0, È , 2p÷.ë 6 û ë 6 ø1o10x2如右图，显然符合条件的角 a的终边落在阴影部分内，故一部分为111x=3260p 11p é pù é11p ö ，另一部分为 2p ； 故 aÎ 0, È , 2p÷.6 6 ë 6 û ë 6 ø3 4y16.若æqÎçè3p 5p，4 3ö÷，则ø
15、sinq的取值范围是（ ）.【答案】：sinqéÎê-1,ë22ö÷÷ø；1o1x如右图，可知角q 的终边落在阴影部分内，其最小的正弦值1535)Pîî为sin3p2=-1，最大的正弦值小于sin3p 2=4 2，故sinqéÎê-1,ë22ö÷÷ø；7.已知点P (tana, sina-cosa)在第一象限内，且aÎ 0,2p ，则角a 的取值范围是（ ）.【答案】：æp pö
16、30; ,5pö aÎç ， ÷Èçp， ÷；è4 ,2 ø è 4 øy124ìtan a >0点 在第一象限内， ísin a-cos a >00ìtan a >0 即 ísin a >cosa，如右图所示，1o1xæp pö æ ,5pö aÎç ， ÷Èçp， ÷.è4 ,2 ø è 4
17、 ø54132【点评】要准确应用单位圆内的三角函数线求解简单的三角不等式须熟记以下几种情形：yyy14143 41o1o1x1 1x1o1x5413-411-4sin>cossin <cossin+cos>03 4y13 4y13 421y1o1x1o10x1o1x1741-41sin+cos<0-1<tan <06tan <-1ïïîê8.利用单位圆内的三角函数线写出满足sina <32，且aÎ(0, p)的角a的集合是（ ）.【答案】：æ pö æ2p
18、aÎç0， ÷Èçè ,3 ø è3， pö÷；øy=322 3y13如右图，作出符合条件的正弦线，故æ pö aÎç0， ÷Èè ,3 øæçè2 p3， pö÷.ø1o10x9.利用三角函数线解下列不等式（组）1（1）3 tanq+ 3 >0ì（2） íî2sin x - 2 >0 2 cos x &#
19、163;1y21【答案】：解：（1）要使3 tan q+ 3 >0 ，即 tan q>-33，如图，作出正切线知：kp-p6<q<kp+p2, ( k ÎZ )，1o1xæ不等式的解集为 çèpkp- , kp+ 6p2ö÷ø( k ÎZ )1-6ì2ïsin x >2（2）不等式组即为 í1cos x £ï2作出符合条件的角所在的区域如右图所示： x易得，不等式组的解集是：3 41y1o341xé p 3p x Î 2 kp+ , 2kp+ë 3 4ö÷.ø15378