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1、2 4ø平面向量基本定理及坐标表示 一、选择题1. 下列各组向量中，可以作为基底的是 ( )专题训练A.e (0，0)，e (1，2) 1 2C.e (3，5)，e (6，10) 1 2B.e (1，2)，e (5，7) 1 2æ1 3öD.e (2，3)，e ç ， ÷ 1 2 è 2. 已知在 ABCD 中，AD(2，8)，AB(3，4)，则AC( )A.(1， 12) C.(1，12)B.(1，12) D.(1，12)3.已知向量 a(1，2)，b(3，m)，mR，则“m 6”是“ a(ab)” 的( )A.充分必要条件 C.必
2、要不充分条件B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.如右图，向量 e ，e ，a 的起点与终点均在正方形网格1 2的格点上，则向量 a 可用基底 e ，e 表示为 ( )1 2A.e e1 2C.2e e1 2B.2e e1 2D.2e e1 2 5.已知向量 OA(k，12)，OB(4，5)，OC(k，10)，且 A，B，C 三点共 线，则 k 的值是 ( )2A. B.3431 1C. D.2 3 6. 在 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且CD2DB，CDrABsAC，则 rs 等 于( )2A.3B.43C.3 D.0 7.在 ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP2PC，
3、点 Q 是 AC 的中点，若PA(4， 3)，PQ(1，5)，则BC等于 ( )A.(2，7) C.(2，7)B.(6，21) D.(6， 21)a bn2 7. 已知点 M 是ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且EC2AE，则向 量EM( ) 1 1A. AC AB2 3 1 1C. AC AB6 2二、填空题 1 1B. AC AB2 6 1 3D. AC AB6 29. 已知向量 a(x，1)，b(2，y)，若 ab(1，1)，则 xy_.1 110.若三点 A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab0)共线，则 的值为 _. 11.已知向量 a(1，2)，b(x，
4、1)，ua2b，v2ab，且 uv，则实数 x 的值为 _. 1 112.在平行四边形 ABCD 中，ABe ，ACe ，NC AC，BM MC，则MN1 2 4 2_(用 e ，e )表示 .1 2 13. 如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上的一点，OPxOA yOB，且BP2 PA，则 ( )2 1 1 2A.x ，y B.x ，y3 3 3 31 3 3 1C.x ，y D.x ，y4 4 4 4 14.已知 |OA|1，|OB| 3，OA·OB0，点 C 在AOB 内，且OC与OA的 m夹角为 30°，设OCmOAnOB(m，nR)，则 的值为 ( )A.2B
5、.52C.3 D.4 1 115.已知点 A(1，2)，B(2，8)，AC AB，DA BA，则CD的坐标为 _.3 3 16.已知正 ABC 的边长为 2 3，平面 ABC 内的动点 P，M 满足|AP|1，PM MC，则 |BM| 的最大值是_.2 4ø平面向量基本定理及坐标表示 一、选择题1. 下列各组向量中，可以作为基底的是 ( )专题训练答案A.e (0，0)，e (1，2) 1 2C.e (3，5)，e (6，10) 1 2B.e (1，2)，e (5，7) 1 2æ1 3öD.e (2，3)，e ç ， ÷ 1 2 è解
6、析答案两个不共线的非零向量构成一组基底，故选 B. B 3. 已知在 ABCD 中，AD(2，8)，AB(3，4)，则AC( )A.(1， 12) C.(1，12)B.(1，12) D.(1，12) 解析选 B.答案因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以 ACABAD(1，12)，故B3.已知向量 a(1，2)，b(3，m )，mR，则“ m 6”是“ a(ab)” 的( )A.充分必要条件 C.必要不充分条件B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件解析由题意得 ab(2，2m )，由 a(ab)，得1×(2m )2×2，所以 m6，则“m6”是“a(ab)”的充要条件
7、，故选 A.答案A4.如右图，向量 e ，e ，a 的起点与终点均在正方形网格的1 2格点上，则向量 a 可用基底 e ，e 表示为( )1 2A.e e1 2C.2e e1 2B.2e e 1 2D.2e e1 2解析以 e 的起点为坐标原点，e 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，由 1 1题意可得 e (1，0)，e (1，1)，a(3，1)， 1 21 23øìxy 3，因为 axe ye x(1，0)y(1，1)， (xy，y)，则íîy1，ìx 2， 解得íîy1，故 a2e e . 1 2答案B 5.已知向量
8、 OA(k，12)，OB(4，5)，OC(k，10)，且 A，B，C 三点共 线，则 k 的值是 ( )2 4 1 1A. B. C. D.3 3 2 3 解析 ABOBOA(4k，7)，ACOCOA(2k，2)，因为 A，B， C 三点共线，所以 AB，AC共线，所以 2×(4k)7×(2k)，解得 k23.答案A 8. 在 ABC 中，点 D 在 BC 边上，且CD2DB，CDrABsAC，则 rs 等 于( )2A.3B.43C.3 D.0解析 2 2 2 2 2因为CD2DB，所以CD CB (ABAC) AB AC，则 rs 3 3 3 3 3æ 2&#
9、246;ç ÷0，故选 D. è答案D 7.在 ABC 中，点 P 在 BC 上，且BP2PC，点 Q 是 AC 的中点，若PA(4， 3)，PQ(1，5)，则BC等于 ( )A.(2，7)C.(2，7) B.(6，21) D.(6， 21)解析 AQPQPA(3，2)，Q 是 AC 的中点， AC2AQ(6，4)，PCPAAC(2，7)，a b BP2PC，BC3PC(6，21).答案B 9. 已知点 M 是ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且EC2AE，则向 量EM( ) 1 1A. AC AB2 3 1 1C. AC AB6 2 1 1B.
10、 AC AB2 6 1 3D. AC AB6 2解析 2如图，EC2AE，EMECCM AC3 1 2 1 1 1 CB AC (ABAC) AB AC. 2 3 2 2 6答案C二、填空题9. 已知向量 a(x，1)，b(2，y)，若 ab(1，1)，则 xy_.解析ìx21， ìx 1，因为(x，1)(2，y)(1，1)，所以í 解得íîy1 1， îy2，所以 xy 3.答案31 110.若三点 A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab0)共线，则 的值为 _. 解析 AB(a2， 2)，AC(2，b2)，依题意，有 (a
11、2)(b2)40，1 1 1即 ab2a2b0，所以 .a b 2答案1211.已知向量 a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，且 uv，则实数 x 的值为_.解析因为 a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，所以 u(1，2)2(x，1)(2x1，4)，v2(1，2)(x，1)(2x，3).又因为 uv，所以 3(2x1)n14(2x)0，即 10x5，解得 x .2答案12 1 112.在平行四边形 ABCD 中，ABe ，ACe ，NC AC，BM MC，则MN1 2 4 2_(用 e ，e )表示 .1 2解析 2如图，MNCNCMCN2BMCN BC3 1 2 AC
12、 (ACAB)4 31 2 e (e e )4 2 3 2 12 5 e e .3 1 12 22 5答案 e e3 1 12 2 14. 如图，在 OAB 中，P 为线段 AB 上的一点，OPxOAyOB， 且BP2 PA，则 ( )2 1 1 2A.x ，y B.x ，y3 3 3 31 3 3 1C.x ，y D.x ，y4 4 4 4解析 2 2由题意知OPOBBP，又BP2PA，所以OPOB BAOB (OA3 3 2 1 2 1 OB) OA OB，所以 x ，y .3 3 3 3答案A 14.已知 |OA|1，|OB| 3，OA·OB0，点 C 在AOB 内，且OC与O
13、A的夹 m角为 30°，设OCmOAnOB(m，nR)，则 的值为( )A.2B.52C.3 D.4n12121212222解析 OA· OB0，OAOB，以 OA 为 x 轴，OB 为 y 轴建立直角坐标系， OA(1，0)，OB(0， 3)，OCmOAnOB(m ， 3n).3n 3tan 30° ，m 3mm 3n，即 3，故选 C.答案C 1 115.已知点 A(1，2)，B(2，8)，AC AB，DA BA，则CD的坐标为 _.3 3解析设点 C，D 的坐标分别为 (x ，y )，(x ，y ).1 1 2 2 由题意得 AC(x 1，y 2)，AB(3
14、，6)，1 1 DA(1x ，2y )，BA(3，6).2 2 1 1因为AC AB，DA BA，3 3ìx 11， ì1x 1，所以有í 和íîy 22 î2y 2.ìx 0， ìx 2，解得í 和íîy 4 îy 0.所以点 C，D 的坐标分别为(0，4)，(2，0)， 从而CD(2， 4).答案(2， 4) 16. 已知正ABC 的边长为 2 3，平面 ABC 内的动点 P，M 满足|AP|1，PM MC，则 |BM| 的最大值是 _.解析建立平面直角坐标系如图所示，则
15、 B( 3，0)，C( 3，0)，A(0，3)，则点 P 的轨迹方程为 x (y3) 1.设 P(x，y) ， M(x ， y ) ，则 x 2x 3 ， y 2y ，代入圆的方程得0 0 0 03 13 13ö3öæææöæ ö2ø 42ø 400max33 öæ ö222 2 2 2çx ÷ çy ÷ ，所以点 M 的轨迹方程为 çx ÷ çy ÷ ，它 è 2 ø è è 2 ø èæ表示以çè3 3ö 1， ÷为圆心，以 为半径的圆，所以|BM| 2 2ø 2æçè2 2 3 ÷ ç 0÷ 2 ø è ø1 7 49 ，所以 |BM| . 2 2 max 4答案494