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1、î高中数学圆的方程经典例题与解析例 1 求过两点A(1 , 4)、B (3 , 2)且圆心在直线y =0上的圆的标准方程并判断点P (2 , 4)与圆的关系分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内 解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为( x -a )2 +( y -b ) 2 =r 2圆心在y =0上，故b =0 圆的方程为( x -a ) 2 +y 2 =r 2又该圆过A(1 , 4)、B (3 , 2)两点 &
2、#236;ï(1-a)2+16 =r 2 íï(3 -a ) 2 +4 =r 2解之得：a =-1，r 2 =20所以所求圆的方程为( x +1) 2 +y 2 =20解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过A(1 , 4) 、B (3 , 2)两点，所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上，又因为kAB=4 -21 -3=-1，故l的斜率为 1，又AB的中点为(2 , 3)，故AB的垂直平分线l的方程为：y -3 =x -2 即 x -y +1 =0又知圆心在直线 y =0 上，故圆心坐标为C ( -1, 0)半径r = AC =(1 +1)2 +4
3、 2= 20故所求圆的方程为( x +1)2+y2=20又点P (2 , 4) 到圆心 C ( -1, 0)的距离为d = PC = (2 +1)2+42= 25 >r点P在圆外说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量， 然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直 线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例 2 已知圆O ： x2 +y 2=4，求过点P(2，4)与圆O相切的切线解：点P(2，4)不在圆O上，切线PT的直线方程可设为y =k (x-2)+4根据d =r-2 k +4 1 +k 2=2解得k =34所以
4、y =34(x-2)+4即3x -4 y +10 =01 / 8因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在易求另一条 切线为 x =2 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决（也要注意漏解）还可以运用x x +y y =r 0 02，求出切点坐标 x 、 y 的值来解决，此时没有漏解0 0例 3、直线3 x +y -2 3 =0截圆x 2 +y 2 =4得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距d =3，故弦长AB =2 r2 -d 2=2，从而OAB 是等边三角形，故截得的劣弧
5、所对的圆心角为ÐAOB =p3.例 4 圆( x -3)2+( y -3)2=9 上到直线 3x +4 y -11 =0的距离为 1 的点有几个？分析：借助图形直观求解或先求出直线l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答解法一：圆( x -3) 2 +( y -3) 2 =9的圆心为O (3 , 3)1，半径r =3设圆心 O 到直线 3 x +4 y -11 =0 的距离为 d ，则 d = 13 ´3 +4 ´3 -11 32 +4 2=2 <3如图，在圆心O1同侧，与直线3x +4 y -11 =0平行且距离为 1 的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符
6、合题意又r -d =3 -2 =1与直线3x +4 y -11 =0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意符合题意的点共有 3 个解法二：符合题意的点是平行于直线3x +4 y -11 =0，且与之距离为 1 的直线和圆的交点设所求直线为3x +4 y +m =0 ，则 d =m +11 32 +4 2=1，m +11 =±5，即 m =-6，或 m =-16，也即l ：3x +4 y -6 =0 1，或l ：3x +4 y -16 =0 2设圆O ：(x -3) 2 +( y -3) 2 =9 1的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，则2 / 8d =13 ´
7、3 +4 ´3 -6 32 +4 2=3，d =23 ´3 +4 ´3 -16 32 +4 2=1l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2与圆O1相交，与圆O1有两个公共点即符合题意的点共 3 个说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心O1到直线3x +4 y -11 =0的距离为d，则d =3 ´3 +4 ´3 -11 32 +4 2=2 <3圆O1到3x +4 y -11 =0距离为 1 的点有两个显然，上述误解中的 d 是圆心到直线3x +4 y -11 =0 的距离， d <r ，只能说明此直线与圆有两个交点，而
8、不能说明圆上有两点到此直线的距离为 1到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此 题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与 直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断例 5：圆x 2 +y 2 -2 x =0和圆x 2 +y 2 +4 y =0的公切线共有条。解：圆( x -1)2+y2=1 的圆心为 O (1,0)1，半径r =1 ，圆 x 12+( y +2)2=4的圆心为O (0,-2)2，半径r =22，O O = 5, r +r =3, r -r =1 1 2 1 2 2 1.r -r &
9、lt; O O <r +r 2 1 1 2 1 2，两圆相交.共有 2 条公切线。例 6 自点A(-3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所yC：x 2 +y 2 -4 x -4 y +7 =0 在的直线与圆相切（1）求光线 l 和反射光线所在的直线方程 （2）光线自 A 到切点所经过的路程AMC分析、略解：观察动画演示，分析思路根据对称关系，首先求出N点A的对称点A¢的坐标为(-3，-3)，其次设过A¢的圆C的切线方程为y =k (x+3)-3G O Bx根据 d =r ，即求出圆 C 的切线的斜率为k =4 3或 k =3 4A进一步求出反射光线所在
10、的直线的方程为4 x -3 y +3 =0或3 x -4 y -3 =0图最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4 x +3 y +3 =0 或 3x +4 y -3 =03 / 82 2'1min光路的距离为 A' M ，可由勾股定理求得A¢M2= A¢C -CM =7说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解例 7 (1)已知圆大、最小值O ：(x -3) 2 +( y -4) 2 =1 ， P ( x , y ) 为圆 O 上的动点，求 d =x 2 +y 2 1的最(2)已知圆O ：(x +2) 22 +y 2=1 ， P ( x
11、 , y )为圆上任一点求y -2x -1的最大、最小值，求x -2 y的最大、最小值分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解：(1)(法 1)由圆的标准方程( x -3) 2 +( y -4) 2 =1ì可设圆的参数方程为 íîx =3 +cos q, y =4 +sin q,（q是参数）则d =x 2 +y 2 =9 +6 cosq+cos2q+16 +8sinq+sin2q=26 +6 cosq+8sinq=26 +10 cos(q-f)（其中tanf=43）所以dmax=26 +10 =36，dmin=26 -1
12、0 =16(法 2)圆上点到原点距离的最大值 d 等于圆心到原点的距离 d 加上半径 1，圆上点到原1点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d1'减去半径 1所以d = 312+42+1 =6d = 32 +4 2 -1 =4 2所以dmax=36 dmin=16(2) (法 1)由( x +2)2 +y 2=1ì得圆的参数方程： íîx =-2+cos y =sin q,q,q是参数则y -2 sin q-2 sin q-2 = 令x -1 cos q-3 cos q-3=t，得sinq-tcosq=2 -3t ， 1 +t2sin(q-f)=2 -3t
13、Þ2 -3t1 +t 2= sin(q-f)£1 Þ3 - 3 3 + 3£t £4 4所以tmax=3 + 3 3 - 3 ， t = 4 44 / 8即y -2x -13 + 3 3 - 3 的最大值为 ，最小值为 4 4此时x -2 y =-2+cosq-2 sinq=-2+ 5 cos(q+f)所以x -2 y的最大值为-2 + 5，最小值为-2 - 5(法 2)设y -2x -1=k，则kx -y -k +2 =0由于P ( x , y )是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值由d =-2 k -k
14、+2 1 +k 2=1 ，得 k =3 ± 33所以y -2x -13 + 3 3 - 3 的最大值为 ，最小值为 4 4令x -2 y =t，同理两条切线在 x 轴上的截距分别是最大、最小值由d =-2 -m5=1，得m =-2± 5所以x -2 y的最大值为-2 + 5，最小值为-2 - 5例 8、 已知圆x2 +y 2+x -6 y +m =0与直线x +2 y -3 =0相交于P、Q两点，O为原点，且OP OQ，求实数m的值分 析 ： 设 P 、 Q 两 点 的 坐 标 为( x , y ) 、 ( x , y ) 1 1 2 2， 则 由kOP×kOQ=
15、-1， 可 得x x +y y =0 1 2 1 2，再利用一元二次方程根与系数的关系求解或因为通过原点的直线的斜率为y y，由直线 l 与圆的方程构造以 为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出 x xkOP×kOQ的值，从而使问题得以解决5 / 8x x121 2 1 2解法一：设点 P 、 Q 的坐标为 ( x , y ) 、 ( x , y )1 1 2 2一方面，由 OP OQ ，得kOP×kOQy y=-1，即 1 × 2 =-1，也即： x x +y y =01 2 1 21 2 另一方面，( x , y ) 、 ( x , y ) 1 1 2 2
16、ì 是方程组 íîx +2 y -3 =0x 2 +y 2 +x -6 y +m =0的实数解，即 x 、1x 是方程 5 x 22+10 x +4 m -27 =0的两个根x +x =-2， x x = 1 2 1 24 m -275 又P、Q在直线x +2 y -3 =0上，y y =1 21 1 1(3 -x ) × (3 -x ) = 9 -3( x +x ) +x x 2 2 4将代入，得y y =1 2m +125 将、代入，解得m =3，代入方程，检验D>0成立， m =3 解法二：由直线方程可得3 =x +2 y，代入圆的方程x2
17、+y 2+x -6 y +m =0，有1 mx 2 +y 2 + ( x +2 y )( x -6 y ) + ( x +2 y ) 2 =0 3 9，整理，得(12 +m ) x 2 +4( m -3) xy +(4 m -27) y 2 =0由于 x ¹0 ，故可得y y(4m -27)( ) 2 +4( m -3) +12 +m =0x xk，OPk是上述方程两根故 OQkOP×kOQ=-1得12 +m4m -27=-1，解得 m =3 经检验可知 m =3 为所求说明：求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值除此之外，还应对求出的 m 值进行必要的检验，这是
18、因为在求解过程中并没有确保有交点 P 、 Q 存在解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程构造出一个关于yx的二次齐次方程，虽有规律可循，但需一定的变形技巧，同时也可看出，这种方法给人以一种淋漓酣畅，一气呵成之感6 / 8例 9、已知对于圆x2 +( y -1) 2=1 上任一点 P ( x , y)，不等式x +y +m ³0恒成立，求实数m的取值范围分 析 一 ： 为 了 使 不 等式x +y +m ³0恒 成 立 ， 即 使x +y ³-m恒 成 立 ，只 须 使( x +y )³-mmin就行了因此只要求出 x +y 的最小值
19、， m 的范围就可求得解法一：令u =x +y，ì由 íîx +y =u x 2 +( y -1) 2=1得：2 y 2 -2(u +1) y +u 2 =0 D³0 且 D=4(u +1)2 -8u 2，4( -u2+2u +1) ³0即u2-2u -1) £0，1 - 2 £u £1 + 2，umin=1 - 2，即( x +y )min=1 - 2又x +y +m ³0恒成立即x +y ³-m恒成立( x +y )min=1 - 2 ³-m成立，m ³2 -1分析二：设
20、圆上一点P (cosq, 1 +sinq)因为这时 P 点坐标满足方程x2+( y -1)2=1问题转化为利用三解问题来解解法二：设圆x 2 +( y -1) 2 =1上任一点P (cosq, 1 +sinq)qÎ0 , 2p)x =cosq，y =1 +sinqx +y +m ³0恒成立cosq+1+sinq+m ³0即m ³-(1+cosq+sinq)恒成立只须 m 不小于 -(1 +cosq+sinq)的最大值设u =-(sinq+cosq) -1 =- 2 sin(q+p4) -1u= 2 -1max即m ³2 -17 / 8说明：在这种解法中，运用了圆上的点的参数设法一般地，把圆( x -a )2 +( y -b ) 2 =r 2上的点设为( a +r cos q, b +r sin q) ( qÎ0 , 2p) 采用这种设法一方面可减少参数的个数，另一方面可以灵活地运用三角公式从代数观点来看，这种做法的实质就是三角代换8 / 8