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1、2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题2018.5注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共 4 页，包括填空题（第1 题第 14 题）、解答题（第15 题第 20 题）两部分本试卷满分 160 分，考试时间120 分钟2答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置3答题时，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效4如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔方差
2、公式： s21( x1 x) 2( x2 x)2L(xnx)2 , 其中 x1( x1x2Lxn ) .nn一、填空题：本大题共14小题，每小题5 分，共 70 分不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1若复数 z 满足 (1i) z2 （ i 是虚数单位） ，则 z 的虚部为设集合A2,4， B a2 ,2 （其中a < 0），若AB，则实数 a278到抛物线 y23在平面直角坐标系xOy 中，点 P(2,4)8x 的准线的824 4距离为924一次考试后，从高三（1）班抽取5 人进行成绩统计，其茎叶（第 4 题图）图如右图所示，则这五人成绩的方差为5右图是一个算法流程图
3、，若输入值x 0,2，则输出值 S开始的取值范围是输入 x6欧阳修在卖油翁中写到： “（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口， 徐以杓酌油沥之， 自钱孔入，Yx1N而钱不湿” ，可见卖油翁的技艺之高超，S 1S 2x?x2若铜钱直径4 厘米，中间有边长为1 厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油输出 S（油滴大小忽略不计） ，则油恰好落入孔中的概率是（第 6 题图）结束7已知函数f ( x)sin( x) (02 ) 在 x2 时取得最大（第 5 题图）值，则8已知公差为 d 的等差数列 an 的前 n 项和为Sn ，若S104 ，则4a1S5d9在棱长为 2 的正四面体 PABC 中， M， N
4、 分别为 PA， BC 的中点，点D 是线段 PN上一点，且 PD2DN ，则三棱锥 DMBC 的体积为10设 ABC的内角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，且满足 a cosBb cos A3 c ，则5tan Atan B11在平面直角坐标系xOy 中，已知圆 C : ( x 1)2y22 ，点 A(2,0)，若圆 C 上存在点 M ,满足 MA2MO210, 则点 M 的纵坐标的取值范围是12如图，扇形AOB 的圆心角为 90°，半径为 1，点 P 是圆弧 ABuuuruuurB上的动点，作点P 关于弦 AB 的对称点 Q，则 OP OQ 的取值范围为1， ，P13
5、已知函数f ( x)(| x 3|1)x0b c ，2若存在实数 aQ，x，OAln x0满足 f ( a)f (b) f (c) ，则 af (a)bf (b)cf (c) 的最大值（第 12 题图）是14已知 a,b 为正实数，且 ( ab) 24(ab)3 ，则11的最小值为ab二、解答题：本大题共6 小题，共计 90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14 分）如图，在四棱锥P?ABCD 中， ADB90 ，CB CD ，点 E 为棱 PB 的中点（ 1）若 PB PD ，求证： PC BD；（ 2）求证： CE 平面 PAD 16
6、（本小题满分14 分）A在 ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a， b， c，设 ABC 的面积为 S，PEDCB（第 15 题图）222且 4S3( acb ) （ 2）设向量m(sin2 A,3cosA)，n(3,2cosA) ，求m·n 的取值范围17（本小题满分14 分）下图（）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图 （ ） 所 示 的 数 学 模 型 索塔 AB ， CD 与桥面 AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m，桥 面 AC 上 一 点 P 到索塔 AB , CD 距离之比为21 4，且P 对两塔顶的视角为 135 （
7、 1）求两索塔之间桥面 AC 的长度；（ 2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b）问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值BD18（本小题满分 16 分）如图，椭圆 x2y 21( ab0)的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1，点 A，a2b 2A2PCB，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线 l 交椭圆于点D ，交 x（第 17 题图（）（第 17 题图（）y轴于点 M(x1， 0)，直线 AC 与直线
8、BD 交于点 N(x2， y2).（ 1）求椭圆的标准方程；C（ 2）若 CM2MD ，求直线 l 的方程；AB（ 3）求证： x1x2 为定值 .MOxDN19（本小题满分 16 分）（第 18 题图）已知函数 f ( x)x3ax 2bx1 ， a， b R .（ 1）若 a 2 b 0 ， 当 a0 时，求函数f ( x) 的极值（用a 表示）； 若f ( x)有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a的值；若不存在，请说明理由；（ 2）函数 f ( x) 图象上点A 处的切线 l1 与 f ( x) 的图象相交于另一点B，在点 B 处的切线为 l 2
9、，直线 l1 ， l 2 的斜率分别为k1 ， k2 ，且 k24k1 ，求 a，b 满足的关系式 .20（本小题满分 16 分）已知等差数列 a n 的首项为1，公差为d，数列 bn 的前 n 项和为 S，且对任意的nn N * ， 6Sn 9bn an2 恒成立（ 1）如果数列 Sn 是等差数列，证明数列 bn 也是等差数列；（ 2）如果数列 bn1d 的值； 为等比数列，求2（ 3）如果 d 3 ，数列 cn 的首项为，cn bn bn 1 (n 2)，证明数列 an 中存在1无穷多项可表示为数列 cn 中的两项之和2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、
10、填空题1.12.23. 44. 20.85.0,16.17.8.29.210. 442911.7,712.21,113. 2e21214.2 222二、解答题15. 证明：（ 1）取 BD 的中点 O，连结 CO， PO，因为 CD =CB，所以 CBD 为等腰三角形，所以BD CO因为 PB =PD，所以 PBD 为等腰三角形，所以BD PO又 PO CO=O，所以 BD 平面 PCO 因为 PC 平面 PCO，所以 PC BD（ 2）由 E 为 PB 中点，连 EO，则 EO PD ，又 EO 平面 PAD ，所以 EO平面 PAD由 ADB =90 ，以及 BD CO，所以 CO AD，
11、又 CO 平面 PAD ，所以 CO平面 PAD 又COIEO O ，所以平面 CEO 平面 PAD ，而 CE平面 CEO ，所以 CE平面 PAD 16. 解（ 1）由题意，有 41 ac sin B3(a 2c2b2) ，2则 sin B3 a2c2b2，所以 sinB= 3cosB2ac因为 sin B0 ，所以 cosB 0 ，所以 tanB=3 又 0B ，所以 B= 3（ 2）由向量 m=(sin2A,3cosA) ，n=(3,?2cosA)，得m· n=3sin2A?6cos2A=3sin2A?3cos2A?3= 3 2 sin 2A ?34由（ 1）知 B= ，所以
12、 A+C= 2，所以0 A 2333所以 2A, 134412所以 sin2 A2,1 42所以 m· n (?6,32 ?3即取值范围是 (?6,32 ?317. 解（ 1）设 AP21t，BP4t，(t0) ，记APB,CPD，则tan6020，tan6015，21t7t4tttantan2015由 tan()tan457tt1，1tantan30017t2化简得7t2125t3000，解得 t20 或 t15（舍去），7所以， ACAPPC2520500答：两索塔之间的距离AC=500 米（ 2）设 AP=x ，点 P 处的承重强度之和为L (x) .abab则 L (x)60
13、 x2(500x)2 ，且 x(0,500) ，即1160ab x2(500x)2 , x (0,500)L (x)（注：不写定义域扣1 分）记 l ( x)112 , x(0,500) ，则 l '(x)22，x2(500x)x3(500 x)3令 l (x) 0 ，解得 x 250 ，当 x(0,250) ， l ( x)0 ， l ( x) 单调递减；当 x(250,500) ， l ( x)0 ， l ( x) 单调递增；所以 x250 时， l ( x) 取到最小值， L (x) 也取到最小值6ab.3125答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为6ab
14、.312518. 解（ 1）由椭圆的离心率为2 ，焦点到对应准线的距离为1.2c2 ，a，得a2解得2a2c，1c 1c所以，椭圆的标准方程为x2y 21 .2（ 2）由（ 1）知 C(0,1) ，设 D (x0 , y0 ) ，uuuuruuuur1 ，所以 y01因为 CM2MD ， 得 2 y02，x066，所以 D(6,16,1代入椭圆方程得或22)或D(2)，222所以 l 的方程为： y6 x1或 y6 x1.22（ 3）设 D 坐标为 (x3，y3）,由C(0,1)，1，0)可得直线CM的方程 yM(xy1x，x114x1x122联立椭圆方程得：解得 x3, y3.x2x122x
15、122y2，21由 B( 2,0)，得直线 BD 的方程：yx122( x2) ，22x14x12221 ，直线 AC 方程为 yx2联立得 x22 ，x1从而 x1 x2 =2 为定值 .解法 2：设 D 坐标为 (x3， y3），由 C,M,D 三点共线得1y3，所以 x1x3，x1x3x11y3由 B,D ,N 三点共线得y3=y2，将 y221代入可得x2x32x2221 x 1，x1x22x32 y32 ，2 y3x32x2x 2 y 22x22 x y 2x3和相乘得，x1 x2333=3331 y32 y x2 y2x y x232333332x322x3 y32x32 .x32
16、2(1)x3 y3x32219. 解：（ 1）由 f(x)3x22axb 及 a 2b0 ，得 f ( x)3x22axa2 ，令 f( x)0，解得 xaa .或 x3由 a0知， x(,a )， f( x)0 ， f (x) 单调递增，x ( a, a )， f( x)0， f (x) 单调递减， x( a ,)， f( x)0 ， f (x) 单调递增，33因此， f ( x) 的极大值为 f (a)1a3 ， f (x) 的极小值为 f ( a )15a3.327 当 a0 时， b0 ，此时 f ( x)x31 不存在三个相异零点；当 a0时 ， 与 同 理 可 得 f (x)的 极
17、 小 值 为 f ( a)1a3， f (x)的极大值为f ( a)15a3 .327要使 f (x) 有三个不同零点，则必须有(1 a3 )(15 a3 ) 0，27即 a31或a327.5不妨设 f ( x) 的三个零点为x1, x2 , x3 ，且 x1x2x3 ，则 f ( x1 )f ( x2 )f ( x3 )0 ，f ( x1) x13ax12a2 x1 1 0 ， f ( x2 ) x23ax22a2 x21 0，f ( x3) x3ax2a2 x310 ， 33 - 得 ( x2x1 )( x22x1 x2x12 ) a( x2 x1 )( x2x1 ) a2 ( x2x1)
18、 0 ，因为 x2x0 ，所以 x2x x2x2a( x2x)a20 ，12111同理 x2x xx2a( x3x) a20 ， 33222 - 得 x2 ( x3 x1 ) ( x3x1 )( x3x1 ) a( x3x1 ) 0 ，因为 x3x10，所以 x2x3x1a0 ，又 x1 x32x2 ，所以 x2a.3所以 f ( a)0 ，即 2 a 23a2 ，即 a3271，39a11因此，存在这样实数a3满足条件 .3 11（ 2）设 A（m， f(m)） ,B(n， f(n)，则 k3m22am b ， k23n 22anb ，1又f (m)f (n)(m3n3 )a(m2n2 )b
19、(mn)22，k1mmn na mn)bmnmn(由此可得 3m22ambm2mnn2a(mn)b ，化简得 na 2m，因此， k23(a2m) 22a(a2m)b12m28ama2b ，所以， 12m28amba24(3m22amb) ，所以 a 23b .20.解：（ 1）设数列 Sn 的公差为 d ，由6Sn9bnan2 ， 6Sn19bn1an12(n 2) ， - 得 6(SS1)9(bbn 1)( aan 1) ， nnnn即 6d9(bb)d ，所以 bb6ddnn 1n1为常数，n9所以 bn 为等差数列（ 2）由得6bn9bn9bn1d ，即3bn9bn 1d ，b13bn 1d13(bn 11)d1d1n32233所以23是与 n 无关的常数，1111bn 1bn 1bn 1bn 12222所以 d10 或 b1为常数3n 12当 d10 时， d3 ，符合题意；3当 b1为常数时，n1