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1、XX年八年级数学上第十二章全等三角形教 案（人教版）第十二章全等三角形.1 全等三角形.了解全等形及全等三角形的概念.理解全等三角形的性质.重点探究全等三角形的性质.难点掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能 迅速正确地指出两个全等三角形的对应元素.一、情境导入一位哲人曾经说过：“世界上没有完全相同的叶了”， 但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图 案.你能举出这样的例子吗？二、探究新知.动手做和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能重 合吗？把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗? 得出全等形的概念，进而得出全等三
2、角形的概念.能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.观察观察 ABc与厶A B c '重合的情况.总结知识点：对应顶点、对应角、对应边.全等的符号：“坐”，读作：“全等于”.如 如: ABcA A Br c'.探究在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？通过以上探索得出结论：全等三角形的性质.全等三角形的对应边相等，对应角相等.把厶ABc沿直线Bc平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化.得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状.把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边
3、，重合的角叫做对应角.如ABc和厶DEF全等，记作 ABcA DEF其中点 A和点D,点B 和点E,点c和点F是对应顶点；AB和DE Bc和EF, Ac和 DF是对应边；/ A和/ D,Z B和/ E,Z c和/ F是对应角.三、应用举例例 1 如图， ADEA BcF, AD= 6c, cD= 5c,求 BD的 长.分析：由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边 相等，找出对应边即可.解： ADEA BcF,. AD= Bc. v AD= 6c,Bc= 6c.又 v cD= 5c,BD= Bc cD= 6 5= 1.四、巩固练习教材练习第1题.教材习题12.1第1题.补充题：.全等三角形是
4、A. 三个角对应相等的三角形B. 周长相等的三角形c .面积相等的两个三角形D.能够完全重合的三角形.下列说法正确的个数是 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等； 全等三角形的周长相等； 全等三角形的面积相等.A. 1B. 2c. 3D. 4.如图，已知 ABcA DEF / A= 85°,/ B= 60A吐8, EF= 5,求/ DFE的度数与DE的长.补充题答案：.D.D./ DFE= 35°, DE= 8五、小结与作业.全等形及全等三角形的概念.全等三角形的性质.作业：教材习题 12.1第2, 3, 4, 5, 6题.本节课通过学生在做模型、画图、动手操作
5、等活动中亲 身体验，加深对三角形全等、对应含义的理解，即培养了学 生的画图识图能力，又提高了逻辑思维能力.2三角形全等的判定第1课时“边边边”判定三角形全等.掌握“边边边”条件的内容.能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全等.会作一个角等于已知角.重点“边边边”条件.难点探索三角形全等的条件.一、复习导入多媒体展示，带领学生复习全等三角形的定义及其性 质，从而得出结论：全等三角形的对应边相等，对应角相 等.反之，这六个元素分别相等，这样的两个三角形一定全 等.思考：三角形的六个元素分别相等，这样的两个三角形 一定全等吗？二、探究新知根据上面的结论，提出问题：两个三角形全等，是否一 定需要六个
6、条件呢？如果只满足上述六个条件中的一部分， 是否也能保证两个三角形全等呢？出示探究1 :先任意画出一个厶 ABc,再画一个厶A B c '，使 ABc与厶A B c '满足上述六个条件中的一个或 两个.你画出的 A B c '与 ABc一定全等吗？三角形的两个角分别是 30°, 50° .三角形的两条边分别是 4c, 6c.三角形的一个角为 30 °, 条边为3c.学生剪下按不同要求画出的三角形，比较三角形能否和 原三角形重合.引导学生按条件画三角形，再通过画一画，剪一剪，比 一比的方式得出结论：只给出一个或两个条件时，都不能保 证所画出的
7、三角形一定全等.出示探究2：先任意画出一个厶 A Bf c '，使 A B =AB, B c '= Be, c' A'= cA.把画好的厶 A B c '剪下， 放到 ABc上，它们全等吗？让学生充分交流后，教师明确已知三边画三角形的方法，并作出厶A Bf c '，通过比较得出结论：三边分别相等的两个三角形全等.强调在应用时的简写方法：“边边边”或“SSS'.实物演示：由三根木条钉成的一个三角形的框架，它的 大小和形状是固定不变的.明确：三角形的稳定性.三、举例分析例1 如右图， ABc是一个钢架，AB= Ac, AD是连接点A与Bc中点
8、D的支架.求证： ABDA AcD.引导学生应用条件分析结论，寻找两个三角形的已有条 件，学会观察隐含条件.让学生独立思考后口头表达理由，由教师板演推理过程.教师引导学生作图.已知/ AoB,求作/ A o' B，使/ A o' Bf=Z AoB. 讨论尺规作图法，作一个角等于已知角的理论依据是什 么？教师归纳：什么是尺规作图；作一个角等于已知角的依 据是“边边边”.四、巩固练习教材第37页练习第1, 2题.学生板演.教师巡视，给出个别指导.五、小结与作业回顾反思本节课对知识的研究探索过程，小结方法及结 论，提炼数学思想，掌握数学规律.进一步明确：三边分别相等的两个三角形全等.
9、布置作业：教材习题 12.2第1 , 9题.本节课的重点是探索三角形全等的“边边边”的条件；运用三角形全等的“边边边”的条件判别两个三角形是否全 等.在课堂上让学生参与到探索的活动中，通过动手操作、 实验、合作交流等过程，学会分析问题的方法.通过三角形 稳定性的实例，让学生产生学数学的兴趣，学会用数学的眼 光去观察、分析周围的事物，为下一节内容的学习打下基础.第2课时“边角边”判定三角形全等.掌握“边角边”条件的内容.能初步应用“边角边”条件判定两个三角形全等.重点“边角边”条件的理解和应用.难点指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.一、复习引入.什么是全等三角形？.全等三角形有哪些性质
10、？.“ SSS具体内容是什么？二、新知探究已知 ABc,画一个三角形 A Bf c',使AB= A B / B=Z B , Bc= B c '.教师画一个三角形 ABc.先让学生按要求讨论画法，再给出正确的画法.操作：把画好的三角形剪下和原三角形重叠，观察能重合在一 起吗？上面的探究说明什么规律？总结：判定两个三角形全等的方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS'.三、举例分析多媒体出示教材例2.例2如图，有一池塘，要测池塘两端 A, B的距离，可 先在平地上取一个点 c,从点c不经过池塘可以直接到达点 A和B.连接Ac并延长到点D,使
11、cD= cA.连接Bc并延长到 点E,使cE= cB.连接DE那么量出 DE的长就是 A, B的距 离，为什么？分析：如果证明厶 ABZA DEc,就可以得出 AB= DE.证明：在厶ABc和厶DEc中，cA= cD,Z 1 = Z 2, cB= cE, ABcA DEc. AB= DE.归纳解决实际问题的一般方法是：分析实际问题，按要 求画出图形，根据图形及已知条件选择对应的方法.四、课堂练习如图，已知 AB= Ac，点D, E分别是AB和Ac上的点， 且 DB= Ec.求证：/ B=Z c.学生先独立思考，然后讨论交流，用规范的书写完成证明过程.五、小结与作业.师生小结：“边角边”判定两个
12、三角形全等的方法.在判定两个三角形全等时，要注意使用公共边和公共角.布置作业：教材习题 12.2第3, 4题.本节课的重点是让学生认识掌握运用“边角边”判定两 个三角形全等的方法，让学生自己动手操作，合作交流，通 过学生之间的质疑讨论，发现此定理中角必为夹角，从而得 出“边角边”的判定方法.不仅学习了知识，也训练了思维 能力，对三角形全等的判定掌握的也好，但要强调书写的格 式的规范，同时让学生感受到在证明分别属于两个三角形的 线段或角相等的问题时，通常通过证明这两个三角形全等来 解决.第3课时 “角边角”和“角角边”判定三角形全等.掌握“角边角”及“角角边”条件的内容.能初步应用“角边角”及“
13、角角边”条件判定两个三 角形全等.重点“角边角”条件及“角角边”条件.难点分析问题，寻找判定两个三角形全等的条件.一、复习导入.复习旧知：三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？ 三个角、三个边、两边一角、两角一边.到目前为止，可以作为判定两三角形全等的方法有几种？各是什么?.师在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们 研究了三种，我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三 角形全等.二、探究新知.师三角形中已知两角一边有几种可能？生两角和它们的夹边；两角和其中一角的对边.做一做：三角形的两个内角分别是 60°和80 °,它们的夹边为 4c,你能画一个三角形同时满足这些条件吗
14、？将你画的三角 形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么 规律？学生活动：自己动手操作，然后与同伴交流，发现规律. 教师活动：检查指导，帮助有困难的同学.活动结果展示：以小组为单位将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等.提炼规律：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.师我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个厶ABc,能不能作一个 A Bf c '，使/ A=Z A', / B=Z B，AB= A B 呢？生能.学生口述画法，教师进行多媒体演示，使学生加深对“ ASA的理解.生先用量角器量出/ A与/ B的度数，再用直尺量出AB的边长；
15、画线段A B',使A B'= AB;分别以A , B'为顶点，A B'为一边作/ DA B，/ EB ' A'，使/ DA B' =Z cAB,/ EB' A' =Z cBA;射线A ' D与B ' E交于一点，记为c '.即可得到厶A ' B ' c '.将厶A ' B ' c '与厶ABc重叠，发现两三角形全等.师于是我们发现规律：两角和它们的夹边分别相等的两三角形全等.这又是一个判定两个三角形全等的条件.出示探究问题：如图，在 ABc 和厶 DE
16、F 中，/ A=Z D,/ B=Z E, Bc=EF,A ABc与厶DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的 结论吗？证明：T/ A+/ B+/c =/ D+/E+/F= 180° ,/ A=/ D,/ B=/ E,/ A+Z B=Z D+Z E./ c =Z F.在厶ABc和厶DEF中，Z B=Z E, Bc= EF,Z c =Z F, ABZA DEF.于是得规律：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.例 如下图，点 D在AB上，点E在Ac上，AB= Ac,Z B=Z c.求证：AD= AE.师生共析AD和AE分别在 ADc和 AEB中，所以要证AD= AE,只需证明厶A
17、DcAAEB即可.学生写出证明过程.证明：在厶ADc和厶AEB中，Z A=Z A, Ac= AB,Z c =Z B, ADcA AEB AD= AE.师到此为止，在三角形中已知三个条件探索两个三角 形全等问题已全部结束.请同学们把两个三角形全等的判定 方法作一个小结.学生活动：自我回忆总结，然后小组讨论交流、补充.三、随堂练习.教材第41页练习第1 , 2题.学生板演.补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由.四、课堂小结有五种判定两个三角形全等的方法：.全等三角形的定义.边边边.边角边.角边角.角角边推证两个三角形全等，要学会联系思考其条件，找它们 对应相等的元素，这样有利于获得解题途径.
18、五、课后作业教材习题12.2第5, 6, 11题.在前面研究“边边边”和“边角边”两个判定方法的前 提下，本节研究“角边角”和“角角边”对于学生并不困难， 让学生通过直观感知、操作确认的方式体验数学结论的发现 过程，在这节课的教学中，学生也了解了分类思想和类比思 想.第4课时 “斜边、直角边”判定三角形全等.探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”.会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等.重点探究直角三角形全等的条件.难点灵活运用直角三角形全等的条件进行证明.一、情境引入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这 两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被 花盆遮
19、住无法测量.你能帮他想个办法吗？如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角；方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角.工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜 边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是 全等的”.你相信他的结论吗？二、探究新知多媒体出示教材探究 5.任意画出一个 Rt ABc,使/ c = 90° .再画一个Rt A Bf c '，使/ c '= 90°, Bf c '= Bc, A B'= AB.把画好 的Rt A B c'剪下来，放到 Rt ABc上，它们全等吗
20、？画一个 Rt A Bf c'，使/ c'= 90°, Bf c'= Bc, A B'= AB.想一想，怎么样画呢？按照下面的步骤作一作：作/ c' N= 90 °在射线c '上截取线段B c '= Be；以B'为圆心，AB为半径画弧，交射线 c ' N于点A'连接A B'. A Bf c '就是所求作的三角形吗？学生把画好的 A Bf c '剪下放在 ABc上，观察这两 个三角形是否全等.由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直
21、角三角形全等.简 写成“斜边、直角边”或“ HL”.多媒体出示教材例5如图，Ac丄Bc, BD丄AD,垂足分别为 c, D, Ac= BD.求证：Bc=AD.证明： Ac丄 Bc, BD丄AD/ c与/ D都是直角.在 Rt ABc 和 Rt BAD中，AB= BA, Ac= BD, Rt ABc Rt BADBc= AD.你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS, ASA AAS SSS还有直角三角形特殊 的判定全等的方法“ HL”.三、巩固练习如图，两根长度为 12米的绳子，一端系在旗杆上，另 一端分别固定在地面两个木桩上
22、，两个木桩离旗杆底部的距 离相等吗？请说明你的理由.学生独立思考完成.教师点评.四、小结与作业.判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边.直角三角形全等的所有判定方法：定义，SSS SAS ASA AAS hl.思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其 全等？.作业：教材习题 12.2第7题.本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基 础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生 充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理 解.在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、 猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力.3角的平分线的性质掌握角的
23、平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线 的性质和判定解题.重点角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性 质和判定解题.难点灵活运用角的平分线的性质和判定解题.一、复习导入.提问角的平分线的定义.给定一个角，你能不用量角器作出它的平分线吗？二、探究新知角的平分线的画法教师出示：已知/ AoB.求作：/ AoB的平分线.然后让学生阅读教材第 48页上方思考.通过对分角仪原理的探究，得出用直尺和圆规画已知角 的平分线的方法，师生共同完成具体作法.角的平分线的性质试验：让学生在已经画好的角的平分线上任取一点P;分别过点P作PD丄oA, PEL oB,垂足为D, E;测量PD和PE的长，观察P
24、D与PE的数量关系； 再换一个新的位置看看情况怎样？归纳总结得到角的平分线的性质.分析讨论PA PE的理由.角平分线的判定教师指出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的 平分线上.写出已知、求证.画出图形.分析证明过程.巩固应用：解决教材第49页思考三角形的三个内角的平分线相交于一点.例题：教材第50页例题.针对例题的解答，提出：P点在/ A的平分线上吗?通过例题明确：三角形的三个内角的平分线相交于一 占八、练习：教材第50页练习.三、归纳总结引导学生小组合作交流：本节课学到了哪些知识？你有什么收获？四、布置作业教材习题12.3第14题.教学始终围绕着角平分线及其性质、判定的问题而展 开，先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含 的数学知识，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而 更好的理解掌握角平分线的性质。发展学生应用数学的意识 与能力，增强学生学好数学的愿望和信心.