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1、星形线与力学目录：1. 内摆线2. Matlab作内摆线的图形3. 星形线与性质4. 随意平衡5. 通过问题6. 公共汽车门开启时间问题1.内摆线图1内摆线与方程y/1-/二* D/&yoX m""",；xRA如图1所示，半径为r的小圆在另一个半径为 R的大圆内作纯滚动，小圆边缘上的 M点轨迹称为内摆线。为确定 M点的轨迹方程，设初始时，M点与定点A重合，并建立直角坐标系如图1。由于小圆作纯滚动，弧长AD等于弧长AM，故有于是M点的坐标为Rr(1 Rx(Rr)cos 丄Rr cos(1R)y(Rr)叫r sin(1R)(1)记m r/R，摆线方程为m)m)
2、利用三角公式由4得消去后,x 3R/4 cosR/4cos3y 3R/4sinR/4sin 3cos34 cos33cos ,sin 3 3sin4 sin3Rcos3y Rs in32. Matlab2/3X2/3yr2/3作内摆线的图形暂缺图2内摆线x R(1 m) cosm r cos(1y R(1 m)si nm r si n(1当m 1/4, 2/5, 1/2, 2/3的内摆线如图2所示。令m r/R 1/4就得到星形线的方程3.星形线与性质图3星形线的性质作大圆半径OHD，其中D是两圆的接触点，HD是小圆的直径。过M与H点作直线, 分别交x轴和y轴于B点和E点。由于弧长 AD等于弧
3、长DM，及r/R 1/4，有DOM 4 HOB 4 , DHB 2及HBO HOB , HOE HEO -2所以 HOB与 EHO都是等腰三角形，故有EB EH HB 2OH R(7)及p OB Rcos , q OE Rsin(8)由于D点是小圆的速度瞬心， 其上M点的速度垂直于 DM，即指向H点，于是BE是 星形线的切线。我们得到如下结论：(A)星形线任一切线被x轴和y轴所截长度为R的线段，切线方程为(9)x_y_Rcos Rsin(B)如长度为R的线段两端点分别限制在两相互垂直的直线上移动，其包络线是星形 线。4随意平衡问题:问题：在一堵光滑铅直的墙面与光滑曲面S之间搁置一根长度为 21
4、的均匀杆，光滑曲面S应为什么形状，使杆在任何位置都能平衡？因为杆在任一位置可保持平衡其重心高度为一常值，即重心C在同一水平线上，另外杆的端点A始终在铅直线上，因此S应为星形线，如果坐标系如图4所示，那么其方程为：2/32/3, 2/3x y l(10)图4随意平衡问题5.通过问题:图5通过问题问题：有一直角过道两边各宽柜子AB如图放置时其宽为L L()a和b，问能容许多宽的柜子通过?a_bsincos(11)显然容许通过柜子的宽度应小于上述函数的最小值，令解出dLa cosdsi n2bsin2cos(12)tan1/3 a b(13)1/3aSin-2/3J/31/2， C0(a b )/
5、2/3(a1/3b 2/3、1/2b )容易计算出:d2L3(bs in acos)sin _cos(14)Lmax2/3. 2/33/2L( ) (a b )(15)解法二:星形线方程为x2/32/32/3y l(16)墙角的坐标为(xD,yD)(a, b)恰好在星形线(16)上,由此条件得到Lmax/ 2/3. 2/3、3/2(ab )6公共汽车门开启时间问题:EyaMa力c a0Bx(b)2a(C)图6公共汽车门开启问题折叠门开启时间:如图6(a)所示，C点坐标：3xca cos2系统动能：yc1 .asin2(17)T动能定理：!(!ma2) 2 丄(丄ma2) 22 32 121m(
6、xf1 2 2 2 ma (1 3sin ) M3由(19)2 1 2 2 2yc)ma (1 3sin )(18)(19)参数：a 0.8m, M(待算)(20)250Nm,m 20kg。普通门开启时间： 如图6(c)，门的动能为:1 1 2 夫m(2a)22 2ma3动能定理:由(22)2ma2 2 M33.14 20 3 2500.23s(21)(22)(23)7. 公共汽车门开启所占空间问题折叠门所占空间问题我们来讨论公共汽车们开启过程所占空间问题。如图6(a)，在折叠门在开门过程中，直线簇BE的包络线是星形线，其方程为c3小 3x 2a cos , y 2asin(24)由直线簇形成包络线的过程，可知门在空间所占的位置如图中曲线CNP，x轴和y轴正向所包围的区域(图6(b)，其中NP星形线的一段(0/4 )， N点的坐标为上2a,丄2 a。将S分成Si, S2和S3，其中的面积为:2 2S1，S21 . 22(a)而S32a2 ydx2a sin32(6a cos )(sin)d20.412a sin2 . cos d32a1 2 aa274164SS1 S2S31 a21 2 a32 1 2 aa5 2 a8416416门所占空间问题如果用普通的门图 6c，那么S -4(2a)2a2S/S§16