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1、所以存大 c 亡 F , c # 0，使 d1(x) = cd2 (x)。(证毕)4.4多项式的最大公因式授课题目：4.4多项式的最大公因式教学目标：掌握最大公因式的概念、性质、求法以及多项式互素概念和性质授课时数：4学时教学重点：最大公因式的概念与性质、多项式互素概念和性质教学难点：多项式的最大公因式的矩阵求法教学过程：一、多项式的最大公因式的定义1、定义(公因式与最大公因式)定义1若h(x)既是f (x)的因式，又是g(x)的因式，则称h(x)是f (x)与g(x)的公 因式。因c| f(x), c| g(x),c尹0,所以任意两个多项式都有公因式。定义2设d(x)是f (x)与g(x)的
2、一个公因式，如果对于 f (x)与g(x)的 任一个公因式h(x)，都有h(x)|d(x),则称d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式。2. 几个直接的结果1) g(x)|f(x)n g(x)与cg(x)都是f (x)与g(x)的最大公因式。2) 0多项式是0多项式与0多项式的最大公因式3、最大公因式之间的关系定理4.4.1如果d(x)是f (x)与g(x)的一个最大公因式，那么它们的所有最大公因式都是形如cd(x)(c F,c = 0)的多项式。证 设d(x),d2(x)是f(x)与g(x)的两个最大公因式，根据最大公因式的定义，有d(x) |d2(x),d2(x) |d(x)。由Th
3、.4.4.1，只要能求出f与g的一个最大公因式，就可以求出它们的所有最大公因式。我们用(f (x), g(x)来表示首项系数为1的那个最大公因数。当 f(x)=g(x)=0 时，规定(f (x), g(x) =0 .注意：这里所说的两个多项式的最大公因式是唯一的，是指不计零次因式的差异意义与的唯一，即本质唯一。从数域F过渡到数域F时(F W F) , f (x)与g(x)的最大公因式没有改变，但从数域F到数域F时，多项式f(x)与g(x)可能获得与旧有的本质不同的公因式。二、最大公因式的存在性引理 1 设 f (x), g(x),q(x),h(x)E Fx, g(x) ,0 ,且f(x)=g(
4、x)q(x)+h(x) ,(1)则f(x)与g(x)及g(x)与h(x)有相同的公因式，因而有相同的最大公因式，且(f (x), g(x) =(g(x),h(x)。证 由(1)式知，对f(x)与g(x)的任意公因式 m(x),有m(x)|h(x),因此，m(x)是g(x)与h(x)的公因式.另一方面，对g(x)与h(x)的任一公因式n(x), 有n(x)|f(x),因此n(x)是f(x)与g(x)的公因式，这样f(x)与g(x)和g(x)与h(x)有相 同的公因式，因而有相同的最大公因式，于是(f (x), g(x) =(g(x), f (x)。(证毕)定理4.4.2 Fx的任意两个多项式f
5、(x)与g(x) 一定存在最大公因式。分析：分两种情形讨论21. f(x), g(x)中有一零多项式，由结论 1), 2)立得；2. f(x) #0, g(x) #0,对 k = mingf(x), gg(x)用数学归纳法(第二)证 如果f(x)木日g(x)中有一个是零多项式，由前面的例1和例2知结论成立。设f (x)以0, g(x)部。对k =min罗(f (x)，罗(g(x)用数学归纳法。不妨设S(g(x)=k,k= 0时，有g(x)| f(x)。由例2知结论成立。设k0，并设结论对于小于 k的非负整数均成立。根据带余除法，有q(x), r(x)我 Fx使得f (x) = g(x)q(x)
6、+r(x),这里r(x)=0或罗(r(x0) <S(g(x) =k。由引理1知，只须证g(x)与r(x)有最大公因式。当r(x)=时，由例2知g(x)与r(x)有最大公因式；当r(x) #0寸，因为罗(r(x) < k ,由归纳假设知g(x)与r(x)有最大公因式。(证毕)三、最大公因式的矩阵求法1. 几个简化计算的结论为了简化计算，我们给出下面三个结论。引理2设c是数域F中的非零常数，则(f(x),g(x)=(qf(x),C2g(x)。证 记d(x) = (f (x), g(x), d?(x) = (qf (x),qg(x)。利用最大公因式的定义不难得出d(x) |d2(x),
7、d2(x) |d(x),利用d| (x)与d2 (x)的首项都是1,得d|(x) = d2 (x)。(证毕)还有(f(x), g(x) ) = (g(x), f(x)(f(x) + g(x)q(x), g(x) ) = ( f(x), g(x).(引理 1)2.最大公因式的矩阵求法1) 一元多项式矩阵定义3由a,j (x)在Fx (i =1,2，,m； j =1,2，,n)排成的m行n列的一个矩阵0i(x)a2( x)a2(x)a22(x)lam1(X)am2(X)an(x)a2n(x)amn(x)J称为数域F上的一元多项式矩阵。用符号A(x), B(x)等来表示。2) 一元多项式矩阵的初等行
8、变换(1) 互换矩阵的两行的位置；(2) 矩阵的某一行乘以一个非零常数 c；(3) 矩阵的某一行的q(x)倍加到另一行上.一元多项式矩阵的初等行变换不改变多项式的最大公因式3) 求最大公因式的矩阵法八f(x) 一系列初等行变换i'd(x)A =gJ。)d(x) =(f (x), g(x)例 1 设 f (x) =x42x2+4x-3 ,_ 32-g(x) =2x -5x 4x+3。*分别用不分离及分离系数法计算四、最大公因式的一个重要性质1、2阶一元多项式初等矩阵(0 1 )(1) 换法阵；<1 0J，、fc 0、Z1 0)、E(2) 倍法阵或 这里0#cF;<0 力<
9、;0 C；H q(x)、W 10(3) 消法阵I或/、，这里q(x)在Fx。<01)vq(x) 1)显而易见，对2乂1 一元多项式矩阵A(x)，施行三种初等变换的结果分别等于A(x)的左边乘以相应的数域 F上的2阶一元多项式初等矩阵。2、最大公因式的一个重要性质定理4.4.3设d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，那么存在u(x),v(x) Fx,使d(x) =u(x)f (x) +v(x)g(x)。证 以f (x),g(x)为元素排成一个2乂1矩阵如下A(x) ='f(x)、<g(x) >对A(x)施行初等行变换，用逐步消去f(x),g(x)中次数校高的那个
10、多项式的首项的办法，降低其次数，直至一个多项式变为0为止，也即A(x)可以通过一系列初等行变换化为B(x)='d(x)、< ° J于是有(f(x),g(x) =(d(x),0)(可以假定d(x)为首1)。用矩阵等式来表示，即是说存在数域F上2阶一元多项式矩阵Ei(x),E2(x)，Et(x)，使得E1(x)E2(x)E1(x)A(x) =B(x)。记为和所以EQ) E2(x)Ei(x)=u(x) v( x) <s(x) t(x)'u(x)v(x)，f(x) ='d(x)'<s(x)t(x)J<g(x)°o= E(x),
11、u(x) f (x) +v(x)g(x) =d(x)。(证毕)93、求u(x), v(x)的方法由等式E(x) =E(x)I =Et(x)Ej(x)E2(x)Ei(x) I可知，在对 A(x)施行一系列初等变换将 A(x)变为B(x)的同时，对单位矩阵I施行同样的行初等变换，I就变成E(x),从而也就得到u(x),v(x),即(A(x),I)一系列初等行变换 jP(x)X °u(x)s(x)v(x)t(x)4、几点注意a) 定理4.4.5的逆命题不成立，加一条件(d(x)| f(x),d(x)|g(x)即可;b) 适合定理4.4.3的u(x),v(x)不一定唯一;c) 可推广到多个多
12、项式的情形;d) 最大公因式不会随着数域扩大而发生改变。定理4.4.4 若d(x)是f (x),g(x)在Fx中的公因式，则d(x)是f(x),g(x)的最大公因式的充分必要条件是 存在u(x), v(x)我Fx,使得d(x) =u(x) f (x) +v(x)g(x)。例1令F是有理数域，求出 Fx的多项式f (x) =4x4 2x3 16x2 +5x +9, g(x) =2x3 x2 5x 十4使得 u(x)f (x)+v(x)g(x) =d(x)成立的 d(x), r(x),v(x)，其中 d(x) = (f (x), g(x)。'f (x)解 我们把I拼在 * '的右边
13、一起做行初等变换<g(x) J，f(x)10)Qx4 -2x3 -16x2 +5x + 910、件又-2)<g(x)01厂一 32-I 2x -x 一 5x + 401>?6x2-3x+91 -2x'2+1*1,-6x2-3x+91 -2x'2x3 -x2 -5x+4 01 ；q6x3 -3x2 15x+12 030*sx-1 -(x-1) -x -x-12I一-T ：333-3x+3x-1 -2x2+2x+3 f)八*30*12 2 2所以 d(x) = x T,u(x) = (x T), v(x) =_ x x 1。333五、多项式的互素(一) 多项式互素
14、的定义与判断1、定义f (x),g(x)互素，即两定义 1 如果 f(x),g(x) WFx,而(f(x),g(x) =1 ,那么就说个多项式只有零次公因式时，称为互素。的公因式，就称这两个多项式互素2、判定定理定理4.5.1Fx中的多项式f (x), g(x)互素当且仅当存在两个多项式u(x)和v(x),使得f (x)u(x) + g(x)v(x) = 1。证 若(f (x), g(x) =1,则存在 u(x),v(x产 Fx,使得u(x) f (x)+v(x)g(x) = 1。反之，若f(x)u(x)+g(x)v(x) =1成立，则显然f(x),g(x)的任意公因式必整除f (x)u(x)
15、+g(x)v(x)，因而必是1的因式，这样f(x)与g(x)的公因式必为非零常数，故(f(x),g(x)=1。(证毕)(二) 多项式互素的性质(1) 若f (x), g (x)都与h(x)互素，那么f(x)g(x)也与h(x)互素(2) 若 h(x) | f (x)g(x),且 h(x)与f (x)互素，那么 h(x) | g(x)(3) 若 g(x) | f (x), h(x) | f (x),且 g(x)与h(x)互素，那么 g(x)h(x) | f(x)。(三) 、互素概念的推广1、多个多项式的互素定义5f1(x), f2(x)，,fn(x)的最大公因式d(x)是指满足以下条件的多项式：1) d(x) | fi(x),i =1,2,n;2) 若h(x)| fi(x),i =1,2，n，则h(x)|d(x).定义 6 若(f1(x), f2(x)，fn(x) =1,则说f(x), f2(x)，,fn(x)是互素的.如果(fi(x), fj(x)=1，逐 j,i,j=1,2，n,则称 fi(x), f2(x)，,fn(x)为两两互素的.2、整体互素与两两互素的区别与联系整体互素U两两互素，若两两互素。则不一定整体互素作业：P142, 110 题