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1、4.3.2空间两点间的距离公式第四章4.3 空间直角坐标系学习目标1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离 题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考知识点空间两点间的距离公式如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？答案梳理题型探究例1如图，正方体ABCDABCD的棱长为a，|AN|2|CN|，|BM|2|MC|，求|MN|的长解答类型一求空间两点间的距离解 建立如图所示空间直角坐标系，过M作MF垂直BC于F，连接NF，显然MF垂直于平面ABCD，所以MFNF，因
2、为|BM|2|MC|，所以|BF|2|FC|.又|AN|2|CN|，所以NFAB，在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用反思与感悟跟踪训练1如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|CB|CA|2，ACCB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度解答解以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系|C1C|CB|CA|2，C(0,0,0)，A(
3、2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，例2已知点A(4,5,6)，B(5,0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|PB|，则点P的坐标为_类型二求空间点的坐标答案解析(0,0,6)解得z6.点P的坐标为(0,0,6)解析设P(0,0，z)，由|PA|PB|，引申探究1.若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得ABP是以AB为底边的等腰三角形？解答解与例2的结论一样，P(0,0,6).2.若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？解答解设P(0，y，0)，由
4、|PA|PB|，(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标.(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.反思与感悟解答跟踪训练2设点P在x轴上，使它到点P1(0， ，3)的距离是到点P2(0， 1， 1)的距离的2倍，求点P的坐标. 解因为P在x轴上，所以设P点坐标为(x,0,0).因为|PP1|2|PP2|， 所以x1，所以点P的坐标为(1,0,0)或(1,0,0).例3已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|
5、BN|(1)求|MN|的长；类型三空间两点间距离公式的应用解答解平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，ABBE，BE平面ABCD，AB、BC、BE两两垂直.过点M作MGAB，MHBC，垂足分别为G、H，连接NG，易证NGAB.|CM|BN|a，以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，(2)当a为何值时，|MN|的长最小.解答距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值.反思与
6、感悟跟踪训练3如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上.当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值.解答Q点在CD上，设Q(0,1，z)，z0,1，当堂训练234511.坐标原点到下列各点距离最大的点是A.(1,1,1) B.(1,2,2)C.(2，3,5) D.(3,0,4)答案234512.已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4)，且|AB| 则实数x的值是A.3或4 B.6或2C.3或4 D.6或2答案解析解得x6或x2.解析由空间两点间的距离公式
7、， 234513.已知三角形的三个顶点A(2，1,4)，B(3,2，6)，C(5,0,2)，则过A点的中线长为答案解析解析BC的中点坐标为(4,1，2)，4.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCDABCD，AC的中点E与AB的中点F的距离为答案解析解析A(a,0，a)，C(0，a,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)， 234515.已知点A(1，a，5)，B(2a，7，2)，则|AB|的最小值为_.答案解析23451规律与方法1.空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.2.若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可.若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解.本课结束