(浙江专版)高中数学第二章数列2.4等比数列学案新人教A版必修5.doc

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1、1 2.4 等比数列 第一课时 等比数列的概念及通项公式 药习课本 P4850,思考并完成以下问题 _ 等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列? (2) 等比数列的通项公式是什么？ (3) 等比中项的定义是什么？课前自主学习，基稳扌能楼髙 2 （1） 若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列 （ ） （2） 等比数列的首项不能为零，但公比可以为零 （ ） （3） 常数列一定为等比数列（ ） （4） 任何两个数都有等比中项（ ） 解析：（1）错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数 列. （2） 错误，当公比为零时，根据等比数列的定

2、义，数列中的项也为零. （3） 错误，当常数列不为零时，该数列才是等比数列. 错误当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项. 答案：(1) x (2) x (3) x x 2下列数列为等比数列的是 （ 2 2 A. 2,2 3X2， 1 1 1 B.a,孑 a3 C. s-1, (s- 1)2, (s- 1 2 3 D. 0,0,0， 解析：选 B A、C D 不是等比数列， A 中不满足定义，C :、D 中项可为 0,不符合定义 9 12 3. 等比数列的首项为 石，末项为孑 公比为孑，则这个数列的项数为（ ） 8 3 3 A. 3 C. 5 解析：选 B 2 n 1 3 ， n 1

3、= 3， n= 4. a1 = 2,且 3( an+ an+2) = 10an+1,则公比 q= 1 22 I _ 1 因为a1 = 2 且数列知为等比递增数列，所以 q = 3. 3 1 答案：3 8 27 2 n 1 3 ， 4.已知等比数列an为递增数列, 3 解析：设公比为 q,则 3( an+ anq ) = 10anq,即 3q 10q+ 3= 0,解得q= 3 或q= 3 又4 典例 在等比数列an中，ai =4 5, q= 2, an= 32,则项数n为( ) A. 3 C. 5 D. 6 (2)已知等比数列an为递增数列，且 a!= aio,2(an+ an+ 2) = 5a

4、n+1,则数列an的通项公 式 an = _ . . 1 1 . 1 1 n 1 - 解析(1)因为an= aq ，所以 f 2 = 32，即卩 2 = 2，解得n= 5. 2 1 2 9 2q - 5q+ 2= 0? q= 2 或,由 a5= a10= ag 0? a10,又数列 an递增，所以q= 2. 2 4 2 9 n a5= a10? (aq) = ag ? a1= q= 2，所以数列an的通项公式为 an= 2 . 答(1)C (2)2 n 活学活用 在等比数列an中， (1) a4= 2, a7= 8，求 an； a2 + a5 = 18, a3 + & = 9, an=

5、 1，求 n. B. 4 (2)由 2( an + an+2)= 5an+1 5 等比数列通项公式的求法 (1) 根据已知条件，建立关于 a1, q的方程组，求出a1, q后再求an,这是常规方法. (2) 充分利用各项之间的关系，直接求出 q后，再求a1,最后求an,这种方法带有一定 的技巧性，能简化运算. a2+ a5= aq + ag6= 18, 2 5 a3 + a6= aq + aq = 9, 1 由得q= ，从而a1= 32. a7= a1q , ag = 8, 3 3 l 3 由得 q= 4，从而 q= .4，而 aq = 2, 于是a1=W= 1 2 所以 an= an 1 =

6、 2 3 |. 6 1 又 an= 1，所以 32 x 2 n 1= 1 , 即 26n= 20,所以 n= 6. 1 法二：因为 as + a6 = q(a2+ a5)，所以 q = 2* 由 ag+ a1 q = 18,得 a1 = 32. 由 an= aq = 1,得 n = 6. 等比中项 1 典例 在等比数列an中，a1 =q= 2，则a4与a*的等比中项是( ) 8 A. 4 D. 已知b是a, c的等比中项，求证：ab+ be是a2+ b2与b2 + c2的等比中项. 答案：A 证明：因为b是a, e的等比中项, 所以b2= ae,且a, b, e均不为零， 又(a2+ b2)(

7、 b2 + e2) = a2b2 + a2e2 + b4 + b2e2 = a2b2 + 2a2e2+ b2e2, (ab+ be)2= a2b2 + 2ab2e + b2e2= a2b2+ 2a2e2 + b2e2，所以(ab+ be)2 = (a2 + b2)( b2+ e2), 即ab+ be是a2 + b2与b2 + e2的等比中项. G b 2 f (1) 由等比中项的定义可知 a= G? ab? G=ab所以只有a, b同号时，a, b的 等比中项有两个，异号时，没有等比中项. (2) 在一个等比数列中，从第二项起，每一项 (有穷数列的末项除外)都是它的前一项和 后一项的等比中项.

8、 (3) a, G, b成等比数列等价于 ab( ab0). 活学活用 1. 如果一 1, a, b, e， 9 成等比数列，那么( ) A. b= 3, ae= 9 B . b= 3, ae= 9B. 4 C. 解 1 n 1 n4 一 (1)由 an= x2 = 2 知, a4= 1, a*= 24,所以a4与a*的等比中项为土 4. 7 C. b= 3, ac= 9 D . b= 3, ac= 9 解析：选 B 因为b2= ( 1) x ( 9) = 9,且b与首项一 1 同号, 所以b= 3，且a, c必同号. 所以 ac= b2= 9. 2. _ 已知等比数列an的前三项依次为 a

9、1, a+ 1, a+ 4，贝U an= _ 2 解析：由已知可得(a+ 1) = (a 1)( a+ 4), 解得 a= 5,所以 a1 = 4, a2= 6, 3 答案：4X 2 一嗣* 等比数列的判定与证明 典例 在数列an中，若an0,且an+1 = 2an+3(n N*).证明：数列an + 3是等比数 列. 证明：法一定义法 an0,. an+ 30. 又an + 1 = 2an+ 3, an+1 + 3 2an + 3 + 3 2 an+ 3 = = = 2. an+ 3 an+ 3 an+ 3 数列an+ 3是首项为a1 + 3,公比为 2 的等比数列. 法二等比中项法 / a

10、n0 , an+ 30. 又 an+1 = 2an+ 3, an +2= 4an+ 9. - (an+2+ 3)( an + 3) =(4 an +12)( an+ 3) 2 =(2 an + 6) =(an+1+ 3) 即 an+ 3, an+1 + 3, an+2+ 3 成等比数列, 数列an+ 3是等比数列. 所以q= i= 3 2, 所以an= 4x n1 8 DO9 证明数列是等比数列常用的方法 定义法： = q(q为常数且qz 0)或= q(q为常数且qz 0, n2)? an为等比 an an-1 数列. (2)等比中项法：al 1 = an an+2(anz0, n N)? a

11、n为等比数列. 活学活用 (1) 已知各项均不为 0 的数列an中，ai, a2, a3成等差数列，比，a3, a4成等比数列， a3, a4, a5的倒数成等差数列，证明： ai, a3, a5成等比数列. 1 (2) 已知数列an是首项为 2,公差为一 1 的等差数列，令bn= 2 an,求证数列b是等 比数列，并求其通项公式. 证明：(1)由已知，有 2a2= a1+ a3, 2 a3= a2 a4, 2 1 1 a = a + a. a4 a3 a5 由得a2=岂+吏 a1 + a3 a5 a3 = ，即 a3(a3 + a5)= a5(ai + a3). a3+ a5 化简，得a2=

12、 a1 a5.又a1, a3, a5均不为 0，所以a1, a3,空成等比数列. 依题意 an= 2 + (n 1) x ( 1) = 3 n, 于是bn= bn bn 1 数列 bn是公比为 2 的等比数列，通项公式为 bn= 2n3. 由得04= a3 + a5 a3 a5 ，所以 a4= 2a3 a5 a3 + a5 a1 + a3 2a3 a5 a3+ a5 =2. 将代入，得 课祈层级训练步步提升桂力 10 层级一学业水平达标 1. 2+3 和 2- 3 的等比中项是（ ） A. 1 B.- 1 C. 土 1 D . 2 解析：选 C 设 2+ 3 和 2 3 的等比中项为 G 则

13、（2 + 3）（2 3） = 1, G= 1. 2. 在首项a1= 1，公比q = 2 的等比数列an中，当an= 64 时，项数n等于（ ） A. 4 B . 5 C. 6 解析：选 D 因为an= aq 1,所以 1X2 1 = 64,即 2 1 = 26,得n 1 = 6,解得n= 7. 3. 设等差数列an的公差d不为 0,a1 = 9d,若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于（ ） A. 2 B . 4 C. 6 D. 8 解析：选 B /an = (n+ 8)d，又T a= a 血， ( k+ 8) d 2= 9d - (2 k+ 8) d, 解得k= 2(舍去)或k=4. 4.

14、等比数列an的公比为q,且| q|丰1, a = 1,若am= a a2 a3 a4 a5， 贝U m等 于（ ) A. 9 B . 10 C. 11 D . 12 解析：选 C / a1 a2 a3 2 a4 a5 = a1 aq aq 3 4 5 10 10 m aq aq = a1 q = q , am= ai q 1 m 1 =q ， 10 m 1 . _ . . q = q , 10 = m- 1, m= 11. 5.等比数列an中，|a| = 1, as= 8a2, asa2,贝U an等于( ) n 1 n 1、 A. ( 2) B . ( 2 ) C ( 2)n D . ( 2

15、) 解析：选 A 设公比为q,则ag4= 8aq, 3 又 a“0, qz0,所以 q = 8, q= 2, 又 a5a2,所以 a2v0, a50, n _ 1 从而 a1 0,即 a1= 1,故 an= ( 2). 6.等比数列 an中，a1 = 2, a3= 8，贝U an= _ 11 a? 2 2 8 解析： a；=qq = h=4, 即 q=2.12 当 q = 2 时，an = aiq = 2 x( 2) = ( 2)； 当 q = 2 时，an= aqn 1 = 2x2 1= 2. 答案：(一 2)n或一 2n 1 a$+ a9 7已知等比数列 g的各项均为正数，且孑它3细成等差

16、数列，则a6+ = - 解析：由题设ai, 2a3,2a2成等差数列可得 ai+ 2& = a3，即q2 2q 1 = 0,所以q= ：2 + a8+ a9 a8 1 + q ae+ a7= ae 1 + q 答案：3 + 2 2 &已知三个数成等比数列，其积为 512,如果第一个数与第三个数各减去 2,则此时的 三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于 _ . 解析：依题意设原来的三个数依次为 a q, a, aq. M a a aq= 512, a= 8. q 又第一个数与第三个数各减去 a q 2 + (aq2) = 2a, 2 1 - 2q 5q+ 2= 0, q= 2

17、 或 q =刁 原来的三个数为 4,8,16 或 16,8,4. / 4+ 8+ 16= 16+ 8+ 4= 28, 原来的三个数的和等于 28. 答案：28 9.在四个正数中，前三个成等差数列，和为 48,后三个成等比数列，积为 8 000，求 这四个数. 解：设前三个数分别为 a d, a, a+ d,则有 (a d) + a+ ( a+ d) = 48,即 a= 16. b 设后三个数分别为q, b, bq,则有 b 3 q b bq= b = 8 000 , 即卩 b= 20, 这四个数分别为 m,16,20 , n, 202 m= 2x 16 20= 12, n=花花=25. 即所求

18、的四个数分别为 12,16,20,25.1, =q2 = 3+ 2 2. 2 后的三个数成等差数列, 4 13 5 5X 243 1 1 + 2a6= 5x3 ,二 a6= 2 = 607. 4. 如图给出了一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行 数成等比数列，而且每一行的公比都相等, 1 1 2 410.已知递增的等比数列an满足a2 + a3+ a4= 28,且a3 + 2 是a?和a4的等差中项，求 an. 解：设等比数列an的公比为q.依题意，知 2(a3+ 2) = a?+ a4, 二 a2 + a3 + a4 = 3a3 + 4 = 28, a3 = 8,

19、a+ a= 20, 8 i q+ 8q= 20,解得 q= 2 或 q=空(舍去). 层级二应试能力达标 1设 a1, a2, 2a1 + a2 a3, a4成等比数列，其公比为 2,则 2空+ a的值为（ ） 1 A.- 4 1 B. 1 C.8 解析: 选 A 原式= 2a1 + a2 2 q 2a1+ a2 2. 1 在等比数列an中，已知a1 = 3, a5 = 3,贝U a3=( A. C. D . 3 解析：选 A 由 a5= a1 q4 = 3,所以 q4 = 9,得 q = 3, 2 1 a3= a1 q = 3 x 3= 1. 3 3. 设 a1 = 2, 数列1 + 2an

20、是公比为 3 的等a6等于（ ） A. 607.5 B . 608 C. 607 D . 159 解析：选 C 1 + 2an = (1 + 2a X3 n 1 14 4, 8，16 记第i行第j列的数为aj （i , j N），则a53的值为（ B.8 D.5 A A A 1 S 解析：选 C 第一列构成首项为：，公差为二的等差数列，所以 a5i = - + （5 1） x -=-. 4 4 4 4 4 又因为从第三行起每一行数成等比数列， 而且每一行的公比都相等，所以第 5 行构成首项为 5 - 5 1 c 5 4 公比为 2 的等比数列，所以 a53 = 5x 2 2=活 5若数列an的

21、前n项和为S,且an= 2S 3，则的通项公式是 _ . 解析：由 an= 2Sn 3 得 an-1 = 2Si-1 3（ n2），两式相减得 an an-1 = 2an（ n2）, an -an = an1(n2), = 1(n2). an 1 故an是公比为1 的等比数列, 令 n = 1 得 a1= 2a1 3,. a1= 3,故 an = 3 ( 1)n 1 答案：an= 3 ( 6.在等差数列an中，a1 = 2, a3= 6，若将 a, a4, a5都加上同一个数，所得的三个数 依次成等比数列，则所加的这个数为 解析：设等差数列an的公差为d,所求的数为 m a1= 2, 则 .

22、d = 2,. a3= a1+ 2d= 6, a4= 8, a5= 10,T a1+ rq a4 + a5+ m成等比数列，二 2 m = (2 + m(1o + m，解得 m= 11. 2 (a4 + m) = (a1+ a5 + m)，即(8 + 答案：11 7.已知数列an的前n项和Sn= 2 &，求证：数列 an是等比数列. 证明：.Sn= 2 ai，S+ 1 = 2 an + 1. -an + 1 = S + 1 Si= (2 an + 1) (2 an) = an an+ 1. 1 an + 1 = ?an. 又S = 2 a1, a1 = 1 工 0. 又由 an+ 1

23、= 知 anM 0, 15 an + 1 1 石=2. 数列an是等比数列. IY 屁耳童踵 &已知数列an是各项为正数的等比数列，且 a2= 9, a4 = 81. (1) 求数列an的通项公式an； 若bn= log 3an，求证：数列 bn是等差数列. 解：(1)求数列an的公比为q, 2 a4 81 T a2 = 9, a4= 81.贝U q =石=9, a2 9 又T an0,. q0,. q= 3, 故通项公式 an = a2qn_2= 9X3 n_2= 3n, nN*. (2) 证明：由(1)知 an = 3 , bn= log 3an= log 33 = n, bn+1

24、- bn= (n+1) n= 1(常数)，n N,故数列bn是一个公差等于 1 的等差数列. 第二课时等比数列的性质 谀前自卞宁习，第私才雄楼商 预习课本 P53 练习第 3、4 题，思考并完成以下问题 等比数列项的运算性质是什么？ 新知初探 等比数列的性质 (1) 若数列an , bn是项数相同的等比数列， 则 an bn 也是等比数列.特别地， 若 an 是等比数列，c是不等于 0 的常数，则c an也是等比数列. (2) 在等比数列an中，若 n+ n= p + q,贝U anan= ap. (3) 数列an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积. (4) 在等

25、比数列an中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比 数列，公比为qk+1.16 当m n, p(m n, p N*)成等差数列时，am, an, ap成等比数列. 小试身手 1. 判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“ x”) (1) 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积 ( ) (2) 当q1 时，an为递增数列( ) (3) 当q= 1 时，an为常数列( ) 解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确. (2) 错误，当q1, a10 时，an才为递增数列. (3) 正确，当q= 1 时，数列中的每一项都相等，所以为常数

26、列. 答案：(1) V (2) x (3) V 2. 由公比为q的等比数列a1, a2,依次相邻两项的乘积组成的数列 a, a2a3, a3a4, 是() A. 等差数列 B. 以 q 为公比的等比数列 C. 以 q2为公比的等比数列 D. 以 2q为公比的等比数列 解析：选 C 因为乳+1弘+彳= q2为常数，所以该数列为以 q2为公比的等比数列. anan+1 an 3. 已知等比数列 an中，a4= 7, a6= 21,则 a8的值为( )A. 35 B. 63 C. 21 ,3 D . 21 :3 解析：选 B /an成等比数列. a4, a6, a8成等比数列 又 a4a8 = 4,

27、 2 2 2 - (a4 + a8) = a4 + a8 + 2a4a8 = 41 + 8 = 49, 数列各项都是正数， -a6 a4 a8，艮卩 a8 21 =63. 4.在等比数列 an 中， 各项都是正数, 解析： a6ae= a8, a3a5= a4, 2 2 a4 + a8 = 41, a6ae+ a3a5= 41, a4a$= 4，贝U a4 + a$= a4 + a8 = 7. 17 等比数列的性质 典例 (1)在 1 与 100 之间插入n个正数，使这n+ 2 个数成等比数列，则插入的 个数的积为( ) A. 10n B. n10 C. 100n D . n100 在等比数列

28、an中，a3= 16, aia2a3aio= 265，则a?等于 解(1)设这n+ 2 个数为a1,比，an+1, an+2, 则 a2 a3 . an+1= (ai an+2) 2 = (100) 2= 10 . (2)因为 aa2a3a10= (a3a8)7 = 265，所以 a3a8= 21： 又因为a3= 16 = 2，所以a8= 2. 5 因为a8= a3 q，所以q= 2. 所以 a?= a8= 256. q 答(1)A (2)256 有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量 a1和q的方程组，先 解出a1和q,然后利用通项公式求解但有时运算稍繁，而利用等比数列的性

29、质解题，却简 便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用. 4 3 故 ai+ aio= 3+ a7 q = 7. 活学活用 1.已知an为等比数列，a4+ a?= 2, a5a6= 8，贝U a1+ a10=( ) A. 7 B . 5 C. 5 D . 7 解析：选 D 因为数列an为等比数列， a4 + a = 2, 所以 a5a6 = a4a7= 8，联立 a4a7= 8， a4= 4， a4= 2, 解得 或 a7= 2 a7= 4, 3 1 3 所以 q = 2或 q = 2, 題型一 18 q 2. 已知等比数列an的公比为正数，且 4a2a8= a4, a2= 1，

30、贝U a6=( ) 典例(1)有四个数成等比数列， 将这四个数分别减去 1,1,4,13 成等差数列，则这四 个数的和是 _ . (2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为 216,后三个数成等差数列， 且它们之和为 12，求这四个数. 解析(1)设这四个数分别为 a, aq, aq2, aq3，则 a 1, aq 1, aq2 4, aq3 13 成 等差数列即 2 2 aq 1 = a 1 + aq 4 , 2 3 2 aq 4 = aq 1 + aq 13 , 2 a q 1 = 3, 整理得 2 解得a= 3, q= 2.因此这四个数分别是 3,6,12,24，其和 aq q

31、 1 = 6, 为 45. 答案45 (2)解：法一：设前三个数为 a, a, aq, q “a 则- a aq= 216, q 所以a3= 216.所以a= 6. 因此前三个数为6, 6,6 q. q 由题意知第 4 个数为 12q 6. 2 所以 6+ 6q+ 12q 6= 12,解得 q= 3. 故所求的四个数为 9,6,4,2. 1 1 A.- B. 8 16 1 1 C D. 64 32 解析：选 B 由 4a2a8= a4,得 4a；= a4, q= 1 . 4 1 _2，a6= a2q = 16 甌型二 灵活设元求解等比数列问题 19 1 2 1 2 法二：设后三个数为 4 d,

32、4,4 + d,则第一个数为-(4 d)，由题意知-(4 d) X (4 20 d) x4= 216,解得 4 d= 6.所以d= 2.故所求得的四个数为 9,6,4,2. 几个数成等比数列的设法 a (1)三个数成等比数列设为 -，a，aq. q 推广到一般：奇数个数成等比数列设为： a a 2 2, , a, aq, aq 四个符号相同的数成等比数列设为: q，aq, aq. M 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为: a a a 35 q5, q3, q, aq, aq , aq 四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为: 2 3 a, aq, aq , aq. 活学活

33、用 在 2 和 20 之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的 两个数的和为( ) A. B . 4 或 35 C. 4 72 2 解析：选 B 设插入的第一个数为 a,则插入的另一个数为 |. 2 2 a a 由a, , 20 成等差数列得 2x = a+20. 2 a a20 = 0,解得 a= 4 或 a = 5. 2 a 当a= 4 时，插入的两个数的和为 a+ - = 4. 当a = 5 时，插入的两个数的和为 a2 35 等比数列的实际应用问题 a+ 2= 2 典例某工厂 2016 年 1 月的生产总值为a万元，计划从 2016 年 2 月起，每月生产总

34、值比上一个月增长 r%那么到 2017 年 8 月底该厂的生产总值为多少万元？ 21 解设从 2016 年 1 月开始，第n个月该厂的生产总值是 an万元，贝y an+1 = an+ a.n% . n 1 数列an是首项a1 = a,公比q= 1+ n%的等比数列.二 &= a(1 + n%). 2017 年 8 月底该厂的生产总值为 a20= a(1 + n%)201= a(1 + n%)19(万元). CDOO 数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系， 建立数学模型是解决这 类问题的核心，常用的方法有：构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求 和公式解；通

35、过归纳得到结论，再用数列知识求解. 活学活用 如图，在等腰直角三角形 ABC中，斜边 BC= 2/2.过点A 作BC的垂线，垂足为 A ;过点 A作AC的垂线，垂足为 A;过 点A作AC的垂线，垂足为 A ;，依此类推.设 BA= a1 , AA =a2 , AA2= a3， AA = a7，贝V a7= _ . 解析：等腰直角三角形 ABC中,斜边BC= 2,2 所以AB= AC= a1= 2, AA= a2= ,：2, an=*an= 2X *n，故 a7 = 2x 乎 答案：4 1.等比数列x, 3x+ 3,6 x+ 6，的第四项等于（ ） A. 24 B. 0 C. 12 D. 24

36、解析：选 A 由题意知（3x + 3） = x（6x + 6），即x + 4x + 3= 0，解得x = 3 或x= 1（舍 去），所以等比数列的前 3 项是一 3, 6, 12,则第四项为一 24. 2对任意等比数列an，下列说法一定正确的是 （ ） A. a1, a3, a9成等比数列 B . a2, a3, a6成等比数列 C. a2, a4, as成等比数列 D. a3, a6, a9成等比数列 . a6 a9 3 an + 1 an =1 + m%. n A1An= an+1=sin7 22 解析：选 D 设等比数列的公比为 q,因为一=一=q, a3 a623 2 即a6= asa

37、9，所以a3, st, a9成等比数列.故选 D. a5 3. 在正项等比数列 an中，an+ 1+ 2)( x2 nx+ 2) = 0 的四个根组成以 2 为首项的等比数列，则 3 2 B. 2 或 3 D .以上都不对 2 2 _ 解析：选 B 设a,b,c,d是方程(x mx+ 2)( x nx+2) = 0 的四个根，不妨设acdb, 1 则a b= c d= 2， a= ，故b= 4，根据等比数列的性质，得到 c = 1，d= 2，贝U m= a+ b 9 9 m 3 2 =-，n= c+ d= 3，或 m= c+d= 3， n = a+ b= ;，卩一=;或；，故选 B. 2 2

38、n 2 3 5. 已知各项均为正数的等比数列 an中，lg( a3a8a13) = 6,则 a1 a15 的值为( )A. 100 B . 100 C 10 000 D . 10 000 解析选 C - a3a8a13= a8， lg( a3a8a13)= lg a8 = 3lg a8= 6. - - a8= 100.又 a1a15= a8 = 10 000，故选 C. 6在 3 和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去 6,成等比数 列，则此未知数是 _ . 2a = 3 + b, 解析：设此三数为 3, a, b,则 2 a 6 = 3b, a= 3, a= 15, 解得

39、或 所以这个未知数为 3 或 27. A.5 解析：选 D 设公比为q,则由等比数列 an各项为正数且 an+ ian 知 0q1 的等比数列，若 a4, a5是方程 4x2 8x + 3= 0 的两根，贝U a6 + a7= _ 1 3 a5 解析：由题意得a4= 2，a5=2q=04=3. 答案：18 &画一个边长为 2 厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第 2 个正方形，以 第 2 个正方形的对角线为边画第 3 个正方形，这样一共画了 10 个正方形，则第 10 个正方形 的面积等于 _ 平方厘米. 解析：这 10 个正方形的边长构成以 2 为首项， 2 为公比的等比数列

40、an(1 1 的等比数列，若 a2 015和比016是方程 4x2 8x+ 3 = 0 的两根，则 a2 017 + a2 018 的值是 解析：设等比数列的公比为 q. 2 a2 015和a2 016是方程 4x - 8x + 3= 0 的两个根, 3 a2 015 + a2 016 = 2, a2 015 a2 016 =匚， 4 2 故由得, 2 2 1 + q 2_= 16 -q = 3=亍 4 又因为q1，解得q= 3, 所以a2 017 + a2 018 = a2 015 q2 + a2 015 q . 2 2 =a2 015(1 + q) q = 2x3 = 18. 答案：18

41、6. 已知一 7, a1, a2, 1 四个实数成等差数列，一 4, b1, b2, b3, 1 五个实数成等比 a a1 数列，则T- b2 1 7 2 a2 a1= 3 = 2, b2= ( 4) x ( 1) = 4.又因为 b2是等比 3 a2 a1 2 b2与第一项同号，即 b2= 2,所以= = 1. 答案：1 7. 已知数列an为等差数列，公差 0,由an中的部分项组成的数列 ab1, aH, 因为 所以 所以 a2 015(1 + q) = 2， a2 015 3 - -a2 015 q= 4， 解析：由题意，知 数列中的第三项，所以 29 ab，为等比数列，其中 b1= 1,

42、 b2= 5, b3= 17.求数列 bn的通项公式.30 解：依题意 a5= aiai7,即(a + 4d)2= ai(ai+ I6d)，所以 aid= 2d2,因为 dz0,所以 a a5 ai + 4d =2d,数列abn的公比 q= - = = 3, 所以 abn = ai3n 因为 ai = 2dz0,所以 bn = 2x3 1 1. &已知数列an满足 a1= 1, a2= 2，且 an+1 = 2a + 3an1( n2, n N). (1)设 bn= an+1 + an( n N*)，求证bn是等比数列； 求数列an的通项公式. 解：(1)证明：由已知得 an+1 +

43、an= 3(an+ an1)( n2, n N*)，贝U bn+1 = 3bn, 又b1= 3,则bn是以 3 为首项，3 为公比的等比数列. 、九 -n 山 1 1 设 Cn=亍，贝9 Cn+ 1+ 36=-, 3 3 3 1 1 1 可得 Cn+ 1 4 = 6 4 , 1 亠 1 1 1 又 c1=3,故 64=石x 3 3n 新知初探 1. 等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数， 那么这个数列叫做 等比数列，这个常数叫做等比数列的公比常用字母 q表示(q0). 点睛(1) “从第 2 项起”，也就是说等比数列中至少含有三项； (2) “每一项与

44、它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”； (3) “同一常数q”，q是等比数列的公比，即 q=-( n2)或q =色工特别注意，q不 an-1 an 又 abn= ai+ (bn 1) d= bn+ 1 ai, 由得ai3 bn+ 1 2 (2)由 an + 1 + I = 3 , -n + 1 1 盯+ 3 an 1 3n= 3. 31 可以为零，当q=1 时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列. 2. 等比中项 如果在a与b中间插入一个数 G使a, G b成等比数列，那么 G叫做a与b的等比中 项，这三个数满足关系式 G= ab. 点睛(1) G是a与b的等比中项，贝U a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存 在等比中项. G= .ab，即等比中项有两个，且互为相反数. (2)当G= ab时，G不一定是a与b的等比中项.例如 0* 1 2 = 5X 0,但 0,0,5 不是等比数 列. 3等比数列的通项公式 等比数列an的首项为a1,公比为q(qz0)，则通项公式为：an= agn-1. 小试身手 1. 判断下列命题是否正确.(正确的打“V”，错误的打“ x”) 3 3 a4= a1q , ag = 2, 解：因为 6 所以 6