向量组的线性有关性备课教案.docx

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1、定义 2 对 n 维向量及 1 ,m , 若有数组k1 , ,km使得 = k1 1 + km m， 称 为 1 ,表示m的线性组合成可由1, m线性第四章 向量组的线性相关性1 教学目的和要求：（ 1 ）理解 n 维向量、向量的线性表示的概念.（ 2 ）理解向量组线性相关、线性无关的定义，了解并会用向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.（ 3 ）了解向量组的极大线性无关组和向量组秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩.（ 4）了解向量组等价的概念以及向量组的秩与矩阵秩的关系.（ 5）理解线性方程组解的性质.（ 6 ）理解齐次线性方程组的基础解系及通解的概念。掌握齐次线性方程组的基础解

2、系和通解的求法.（ 7）理解非齐次线性方程组的解结构系及通解的概念.（ 8）会用初等行变换求解线性方程组.2 教学重点：向量组的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解的结构.3 教学难点：（ 1 ）向量组的线性相关性中相关定理的证明.（ 2 ）求向量组的秩及最大线性无关组.（ 3 ）线性方程组的解的结构定理及其应用.1例1 设113021314111534 教学内容：线性表示?解设4k1k2 2k33 ，比较两端的对应分量可得于是有k1k2k3求得一组解为k1k2k33 , 即 4可由1, 2,3 线性表示k1 k2 k 注 取另一组解k 3时,有 4213203定理1向量b能由向量组 A：a

3、1， ，am线性表示的充分必要条件是矩阵A= (a1， ，am)的秩等于矩阵的秩B = (a1 , , am,b) .定义3设有两个向量组 A：a1，am及B：bi， ，bl,若B组中每个向量都能由向量组A线性表示,则称向量组 B能由向量组 A线性表示.若向量组 A与向量组B能互相线 性表示 , 则称这两个向量组等价.定理2 向量组B:b1， ，bl能由向量组 A:a1， ，am线性表示的充分必要条件是矩阵A = (a1, ,am) 的 秩 等 于 矩 阵 的 秩 (A, B) = (a1, ,am,b1,bl) 的 秩 , 即R(A) R(A,B)推论向量 组 A ： a1, ,am 与向

4、量 组 B ： b1 ,bl等 价的 充 分必要 条 件 是R(A) R(B) R(A，B),其中a和b是向量组A和B所构成的矩阵.定理3 设 向 量 组B ： b1,bl能 由 向 量 组A：a1, ,am 线性表 示 , 则R(b1, ,bl)R(a1, ,am)课后作业： 习题四 1 ， 2， 3， 4， 5§ 2 向量组的线性相关性定义 4 线性相关：对 n 维向量组1 , , m, 若有数组k1, , km 不全为0, 使得k1 1 + km m = 0则称向量组1 , m 线性相关, 否则称为线性无关线性无关：对 n 维向量组1 , m , 仅当数组k1 , ,k m 全

5、为 0 时 , 才有k1 1 + km m = 0则称向量组1 , m 线性无关, 否则称为线性相关 注 对于单个向量：若 = 0 , 则 线性相关；若W0,则线性无关.对于两个向量的向量组,若对应分量成比例,则该向量组线性相关,否则线性无关.例2 判断例1中向量组1，2， 3，4的线性相关性.设k1 1 + & 2 + k3 3 + k4 4 = 0，比较两端的对应分量可得ki113 50k20 1130卜311110k4即Ax 0 .因为未知量的个数是4,而R( A) 4,所以Ax有非零解，由定义知 1，2，3，4线性相关.例3 已知向量组1，2，3线性无关，证明向量组因为1， 2

6、,k1k30k1k20k2k30101110系数行列式011,0,1)112,223,331线性无关.证设 k1 1 + k2 2 + k3 3=0,则有(k1 k3)1 (k1 k2)2 (k2 k3)3 03线性无关，所以101kl01 10k20,即011k3020,该齐次方程组只有零解.故1， 2， 3线性无关.例4 判断向量组G (1,0,0,0) 02(0,1,0,0) . en (0,0,的线性相关性.解设 k1e1 + k2e2 +knen =0,则有(k1,k2, ,kn)=0?只有 k10,k20, ,kn 0故e1,e2, ,en线性无关.定理4(1)向量组 1, 2,

7、个向量线性表示.证必要性 已知使得m (mk12)线性相关m线性相关，1 + k2 2 +其中至少有一个向量可由其余则存在k1*2, ,km不全为零+ km m = 0不妨设k1充分性不妨设0,则有1 k2 21 ( A 2k1因为(1)1),k2,+ k2 2 + km m(2)若向量组证因为1,使得，km不全为零，所以m线性无关，1 ,m线性表示，且表示式唯一.则有k1ki从而有卜面证明表示式唯一:k11则有因为1,证因为k1 1m线性相关.线性相关，则 可由线性相关，所以存在数组k1,km,k不全为零，+ km m + k+km m = 0匕)k) 1k10,(k1 - l1 ) 1 +

8、7 km0 .矛盾！2, m线性无关，所以k1110, km 1m 0的表示式唯一.r线性相关1, r线性相关，所以存在数组+ kr r = 0k1 1 +k1(m7km 1 mr)线性相关.k1,kr,kr不全为零，使得+ 0 r+1 +0 m = 0数组 k1，kr，0，0不全为零，故r, r1, m线性相关.推论向量组线性无关任意的部分组线性无关.定理(ai1,ai2,a),i 1,2,ma11a12(2)k1m线性相关m线性无关a21a22am1am2a mn? (R)A<? (R)A =1 + k2 2 + km比较等式两端向量的对应分量可得a11a21am1k1°a

9、12a22am2k2°a1na2namnkm°即 ATx0 由定可得：1 , Am n , m 线性相关ATx 0有非零解R(A)T m R(A) m推论1在定5 中, 当mn 时, 有1,2,n线性相关detA °2 2)1 ,2 ,n 线性无关detA 0推论2在定5 中, 当mn 时, 有(1) 1,2,m线性相关A中所有的m阶子式Dm°(R)A<m)；(2) 1,2,m线性无关A中至少有一个m阶子式Dm°(R)A=m)推论在定m n 时 , 必有 1 , 2 ,m 线性相关推论R( A)T1：m , 由定 5(1)即得(ai1 ,

10、ai2,air ), i 1,2,mT2 ：(ai1,ai2,air ,ai,r 1, ,ain ), i 1,2, ,mR(B)mT2 线性无关1a11a12a1r2Am ra21a22a2rmam1am2amr1a11a1ra1,r 1a1n2 mna21a2ra2,r 1a2nmam1amram,r 1amnT1 线性无关R( A)m(即无关组添加分量仍无关).证R(B)R( A)mA是B的子矩阵则T2线性无关若 T1 线性无关,定 6 划分(1) A 中某个 D r, 则有° A 中“ Dr 所在的” r 个行向量线性无关；A 中“ D r 所在的” r 个列向量线性无关(2

11、) A 中所有 D r 0 A 中任意的r 个行向量线性相关；A 中任意的r 个列向量线性相关证 只证“行的情形”：i1Brn设Dr位于A的il， Jr行，作矩阵ir , 则有线性无关rank B ri1Brn(2)任取A中r个行，设为i1， ，ir行，作矩阵ir ,则有 R(B) ri1, ir 线性相关注称1，2，m为A的行向量组，1，2，n为A的列向量组.§ 3 向量组的秩定义 5 向量组的秩：设向量组为A ， 若(1)在A中有r个向量 1，2， r线性无关；(2)在A中任意r 1个向量线性相关(如果有 r 1个向量的话)称1，2，r为向量组为 A的一个最大线性无关组，称r为向

12、量组 A的秩，记作：秩 (A)= r 注 (1) 向量组中的向量都是零向量时， 其秩为 0A 的一个最大无关组(2)秩(人)=r时，A中任意r个线性无关的向量都是例如 ，101021， 2线性无关1231421 ，2 的秩为 2 1 ， 2 是一个最大无关组1， 3 线性无关1，3 是一个最大无关组 注 一个向量组的最大无关组一般不是唯一的 定理7设R(Am>) = r 1，则(1) A的行向量组(列向量组)的秩为 r；(2) A中某个Dr 0 A中Dr所在的r个行向量(列向量)是A 的行向量组(列向量组)的最大无关组证 只证“行的情形”：(R)A = r? A中某个Dr 0，而A中所有

13、Dr 10由定理6 A中Dr所在的r个行向量线性无关A中任意的r 1个行向量线性相关由定义：A的行向量组的秩为r, A的向量组的最大无关组.且A中Dr所在的r个行向量是例5 向量组A :1322022314320150求A的一个最大无关组.解构造矩阵A 1求得R（A）2秩(A) = 2W0矩阵A中位于1,2行1,2列的二阶子式故1,2是A的一个最大无关组.注A为行向量组时，可以按行构造矩阵.、一A_ B_定理 8 Am n, Bm n, ck 列”线性相关（线性无关）(2)若A B,则“ A的r1,rk行”线性相关（线庄无关）“ B 的 r1,rk行”线性相关（线性无关）证（1）划分Am n1

14、2nB m n12,行行由A B可得c1ckc1ckX10c1ck故方程组Xk0X10c1ck与方程组Xk0问解.于是有c1 ,ck线性相关x1, xk不全为0,使得 x1 c1xk ck“ B 的 c1 ,ck歹线性相关（线性无关）列nxkck0定义 6 等价向量组：设向量组T1 :1 , 2 , r T2 :1 , 2,存在 x 1 , xk 不全为 0, 使得 x 1 c1c1 , ck 线性相关(2) 注 通常习惯于用初等行变换将矩阵A 化为阶梯形矩阵B , 当阶梯形矩阵 B 的秩为 r 时 , B 的非零行中第一个非零元素所在的r 个列向量是线性无关的若i (i 1,2, ,r)可由

15、1 , 2，, s线性表示，称T1可由丁2线性表示;若T1与T2可以互相线性表示，称T1与T2等价.(1) 自反性： T1 与 T1 等价(2)对称TT1与T2等价T2与T1等价(3) 传递性：T1与T2等价，T2与T3等价T1与T3等价定理 9 向量组与它的最大无关组等价证 设向量组T 的秩为 r , T 的一个最大无关组为T1 : 1, 2, r(1) T1 中的向量都是T 中的向量T1 可由T 线性表示；(2) 任意T , 当 T1 时 , 可由T1 线性表示；当T1 时 ,1 , 2 , r , 线性相关, 而 1 , 2 , r 线性无关则 可由 T1 线性表示故T 可由T1 线性表

16、示因此 , T 与 T1 等价推论 向量组的任意两个最大无关组等价定理 10 向量组 T1 : 1 , 2 , r , 向量组 T2 : 1 , 2 , s若 T1 线性无关, 且 T1 可由T2 线性表示, 则 rs 证 不妨设i 与 j 都是列向量, 考虑向量组T: 1, 2, r, 1, 2, , s易见 , 秩 (T) 秩 (T1 )r 构造矩阵A1r1s因为T1可由T2线性表示,所以列A 001s rank A s于是可得r 秩 (T) R(A) s推论1若T1可由T2线性表示,则秩(T1)秩U2).证 设 秩 (T1 )r , 且 T1 的最大无关组为1 , , r ；秩(T2 )

17、 s,且T2的最大无关组为s,则有T1可由T2线性表示1， 可由T2线性表示1，r可由1 , s线性表示r s (定理10)推论2 设向量组T1与T2等价，则秩"I秩二).注由“秩(T1)秩(T/"不能推出“ T1与丁2等价”！正确的结论是:T1可由T2线性表示秩(T1)秩(T2)T1与T2等价T2可由T1线性表示秩(T1)秩(T2)T1与T2等价例 6 设 Aml,Bl n,则 R(AB)R( A) R( AB) R( B) ,B证设Aaj ml,Ci aibAAB CC1blcm ,则ail bl (i 1,2, m)即Ci,Cm可由b1, ,bl线性表示，故R(C)

18、R(B).根据上述结果可得R(C) R(CT)R(BT AT) R( AT) R( A)§4线性方程组解的结构ana12a1nXib1a21a 22a2nx2b2Axbam1am2amnx nbm齐次方程组Ax0非齐次方程组Axb(b0)行结论(1) AbCd, Axb与Cx d同解.(2) Ax 0 有非零解rank A n .(3) Ax b 有解 rank A rank A . 一(4)设 R(A) R(A) r ,则r n时，Axb有唯一解；r n时，Axb有无穷多解.k1k210,01,00,依次令kn r001b1,r 1b1,r 2b1nbr,r 1br,r 2brn1

19、120n r0010可求得0,01,，因为(1)1, 2, n r线性无关所以1, 2, , nr是解空间S的一个基，称为Ax 0的基础解系.02定义7 (1) Ax解集合S0的解空间：x Ax0, xRnx, yS, A(x y) AxAy 0x S,k R,A(kx)故S构成向量空间,称为Axk(Ax) 00的解空间.(2) Ax不妨设Ax0的基础解系0的一般解为xi口 ,r *1x2b2,ri kib1,r 2k2b2,r 2k2blnkn rb2nkn rXrbr,rXrikkbr,r 2k2brnknXrk2xnknki,k2, ,kn r R(2)x S x k1 1k2 2kn2

20、 ,求Ax 0的一个基础解系.10244x42x4,同解方程组为X3XiX22x32x3依次取(3) AxA设AxAxx4可求得基础解系为b解的结构1 b AA(2)A( 1是Axb的解0的一个基础解系为b的特解为同解方程组为般解为k1 1,则有女2 2k2 2knkn rkiR)4 ,求 Axb的通解.x1X22x32x33Ax 0基础解系:Ax b通解:k1 1例9设23厂2Ax4x42x4k2Axk1 , k2b特解:R)(b 0)的3个解2，3满足1 ,求 Axb的通解.解R( A) = 2? Ax = 0的基础解系中含有3 21个解向量因为A( 1( 1所以2)(13)012 )(1

21、3)11是Ax 0的基础解系1又 A2( 12) b11-(12)021是Ax b的特解故Ax b的通解为x k ( k R)例 10 设 R( AnW)=r (r < n) ,0 , 1 ,n r 是 Ax b (b10，n r Ax 0的基础解系 0，1，0)的解，证明:n r线性无关.1111证 (1)必要性设数组k0，k1， 左乘A,利用A i b可得,kn r使得卜0 0 卜1 1(k0k1kn r)b 0kn r )因为b 0,所以k0 k1 由此可得k1( 10)kn r 0k0(k1kn r( nr 0)0因为10，n r 0是Axk10, kn r 0故0，1，nr线性

22、无关.(2)充分性A( i 0)0设数组k1， ，kn r使得k1( 1(k1kn r ) 0 k10的基础解系，所以线性无关，从而有 k00i 0是Ax 0的解向量0) kn r( nr 0)0, k01n r n r因为0，1，n r线性无关，所以只有(k1kn r) 0 k1 0，kn r 0，故向量组 10， ，n r0线性无关.因此 10，nr 0是Ax 0的基础解系.§5 向量空间定义8 (1)向量空间：设V是具有某些共同性质的 n维向量的集合，若对任意的， V，有V ;(加法封闭)对任意白VV，k R，有k V .(数乘封闭)称集合V为向量空间.例如Rn x x ( 1

23、，2，n)，i R是向量空间V0 xl x (0，2，n)，i R是向量空间ViX x (1, 2,0 (1, 2, n)例11 给定n维向量组1,V k1是向量空间.称之为由向量组,n), i R不是向量空间(0,0,，0) V1,即数乘运算不封闭.m (m 1) ,验证1 km m, kiRm)V ,则k1 1m mt1 1tm m于是有1, , m生成的向量空间，记作L(k13) 1 (km tm) m Vk (kk1) 1(kkm) m V ( k R)由定义知，V是向量空间.V2,称V1为V2的子空间.(2)子空间：设V1和V2都是向量空间，且V1 例如前面例子中的V0是Rn的子空间

24、.(3)向量空间的基与维数：设向量空间V ,若V中有r个向量 1, r线性无关； V可由1, r线性表示.称1, 为V的一组基，称r为V的维数，记作dimV r或者V注零空间0没有基，规定dim0 = 0.由条件(2)可得：V中任意r 1个向量线性相关.(自证)1, r,贝 / L( 1,kr r L V Lkr r V L V若dimV r,则V中任意r个线性无关的向量都可作为 V的基.例12 设向量空间V的基为证 Vk1 1Lk1 1(4)向量在基下的坐标：设向量空间V的基为 1 , , r,对于r下的坐标表示式X1 1 Xr r唯一，称(x1, ,Xr)为在基1,(列向量).3例13 设向量空间V的基为1(1,1,1,1)T 2(1,1, 1,1)T3 (1, 1, 1,1)T,求 (1,2,1,1)T在该基下的坐标.解设X11X22X33，比较等式两端的对应分量可得:1111Xi1112X21111X31111100111120101 2X111111100111 2X21 211110000X31 23注 是4维向量， 在V 的基 1, 2, 3下的坐标为3维列向量.1 向量组及其线性组合定义1n个有次序的数1, n所组成的数组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量,第 i 个数称为第i 个分量 .