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1、第二章习题解答一个平行板真空二极管内的电荷体密度为foUod43 I 2 3，式中阴极板位于O，阳极板位于Xd ,极间电压为U0。如果U 040 V、d1cm、横截面 S 10cm 2，求:(1)区域内的总电荷量Q ；（2）X d 2和Xd区域内的总电荷量(1)dd ( 4 0U0d 4 3x 2 3)SdX 0 943doUoS4.72 1011C0U0d 4323)Sd3d(IoUoS0.97 10 11C一个体密度为2.32 10 7 C m3的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为的质子束，通过1000V的电压加速后形成等速2mm ,束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。解 质子的质
2、量m 1.7 10 27 kg、电量q 1.6 1019C。由qU1 2mv2V 、2mqU 1.37 106 m s0.318Am2106 AQ的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为 Z轴。设球内任一点 P的位置矢量为r ,且 r与Z轴的夹角为 ，贝U P点的线速度为Vr e r sin球内的电荷体密度为Q4 a3 3故JQ.V e3r Sin4 a33一 3Q .一亠e3 r SIn4 a3一个半径为a的导体球带总电荷量为 Q ,同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为Z轴。设球面上任
3、一点 P的位置矢量为r ,且r与Z轴的夹角为 ，则P点的线速度为球面的上电荷面密度为r e a sin4Q4 a2a sinQ .e Sin4 a两点电荷q 8C位于Z轴上 的电场强度。4处,q24C位于y轴上y 4处，求(4,0,0)处解 电荷q1在(4,0,0)处产生的电场为2e4ez4rI0 (4,2)3电荷q2在(4,0,0)处产生的电场为E2q241e4ey40 (4、2)3故(4,0,0)处的电场为EiE2eyez2一个半圆环上均匀分布线电荷32、20I ,求垂直于圆平面的轴线上Z a处的电场强度E (0,0, a),设半圆环的半径也为解半圆环上的电荷元a，l d如题Iad图所示。
4、在轴线上Z a处的电场强度为题图dEla d40 G 2a)3I ez (ex cosey s in )8& 0ad在半圆环上对上式积分，得到轴线上Z a处的电场强度为E (0,0, a) dE/2-十 ez (ex cosey S in )d8*2 °a2三根长度均为L，均匀带电荷密度分别为l (ez e2)8 2°al1、 l2 和 l3 地线电荷构成等边三角形。设l1 2 l2 2 l3，计算三角形中心处的电场强度。解 建立题图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为则d -ta n30：2EIeyJ (cos30'4 0dcos150)ey 23丄OL
5、(ex 3 ey)名8 OL ey)d80L点电荷Ei E2 E33 Ii 厉 3 Ii ey(ex ' 3 ey)2 OL8 OLq位于(a,0,0)处，另一点电荷Q(e,3 ey)-80 L2q 位于(a,0,0)处,3 11ey-y4 oL空间有没有电场强度E 0的点 解电荷q在(x,y,z)处产生的电场为q ex(x a)4电荷2q在(x,y,z)处产生的电场为2q ex(x a)ezZE1 24 o(x a)2eyy ezZ3 2y Z E2(x, y,z)处的电场则为E E14E2。o(x令EX 222l3 2a) y z 0，则有e(x a)ezzeyy22213(x a
6、) y Z 由上式两端对应分量相等，可得到2e(x a) eyy ezZ23 2(x a)E2(ex cos30 ey Sin30,)-32 OLE3 (ex cos30 ey sin30)-33(ex . 32 OL 故等边三角形中心处的电场强度为(X a)(x a)2 y2 z2322(x a)(x3 2a) y z y(xX 2223222a) y Z 厂 2y(x a) yz232z(x3 2a) y Z Y 2 z(x a) yz232当y0或Z0时，将式或式代入式，得a0。所以，当y0或Z O时无解；当y0且Z0时，由式，有(X a)(x a)32 (X a)(x3a)X3a 2&
7、#39;'2a不合题意，故仅在(3(3a2&)a2 2a,0,0)处电场强度E解得2.9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的Z轴上Z Zo处的电场强度E中，有一半是有平面上半径为3z0的圆内的电荷产生的。解 半径为r、电荷线密度为Idr的带电细圆环在Z轴上Z Z0处的电场强度为1dE e r z0drez2o(r2 z2)32故整个导电带电面在 Z轴上Z Zo处的电场强度为题图r ZodreZ22 32o2o(r2 Z2)32(r2 L2而半径为,3zo的圆内的电荷产生在 Z轴上Z 3zoE e r ZdrEeZ2 Z 322 o(r Zo)一个半径为
8、a的导体球带电荷量为当球体以均匀角速度Zo处的电场强度为Zo11e ' 22、122 o (rZo)1Q ,当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题图所示。求球心处的磁感应强度解 球面上的电荷面密度为Q4 a2绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r era点处的电流面密度为JS V reZeraQ . e a Sin e SIn 4 a将球面划分为无数个宽度为圆环的电流为d I JSdIdl adQ .sin4的细圆环，则球面上任d细圆环的半径为b asin ,圆环平面到球心的距离 d acos 的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为个宽度为dl ad细,禾U用电流圆环的轴线上0b2
9、dId B ez2, 2、3 22(b d )O Qa2Sin3 dz,2.222、32cos ) 8 (a Sin故整个球面电流在球心处产生的磁场为O QSin3 d ez8Qsin3d两个半径为b、同轴的相同线圈， 流I以相同的方向流过这两个线圈。(1)求这两个线圈中心点处的磁感应强度各有0ez08 aN匝，相互隔开距离为Qez 一6 ad ,如题图所示。电Bex Bx;(2) 证明：在中点处d B d X等于零;(3) 求出b与d之间的关系，使中点处d2 Bjdx2也等于零。解(1)由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度oa2223 2B eB ex(b2 d24)32(2)两线圈的电流在其
10、轴线上 X (0 X d)处的磁感应强度为得到两个线圈中心点处的磁感应强度为B ez2(a2 z2)3oNIb2所以题图15dBxd X故在中点XdBxdx(3)0NIb2(d2 “x)220Nlb2令 d2Bxdx2即0 ,有2b2 (d x)2725d2 4d2 472 d2 45d2 4b2b2故解得带,2e0NIb2ex 2(b2 X2)32 2b2 (d x)23223 0NIb X23 0NIb (d x)2(b2 X2)5d 2处，有3 0NIb2d 232b2 d2 4522b2d2 BX15 0NIb2x2dx 2(b X )73 0NIb25 22b (d x) 512b2
11、 (d x)2520NIb2d 2Od2 4523 0NIb222、5 22(b X )5b2 d2 452db导体带,重合,强每一细条带的电流题图ByBX宽为2a，中心线与Z轴 I。证明在第一象限内的磁感应04 a中、r和d如题图所示。可得位于X处的细条分为无数个宽度为 d X的细条 dI dx 。由安培环路定理，2a带的电流dI在点P(x, y)处的磁场为dB0dI2 Rdx4aRdBxd BSin24 a(x X)0y dx0I dxy212.1 2所以BXdByd B CoS4 a(x X )2y20 (x X )d X4 a(x)2y2OIy d X2 2a4 a(x X) y ar
12、ctan - X ayL arctan -XarctanX4By丄 X a arcta nyo ( ) (2 I)4 aa o(x X )d丄 X a arcta ny0iaX22-a 4 a(x X) y (X a)2 y2o |n r22 y24 ar1有一个电矩为甘(x X)2 yIIn8 a (X a)如题图所示,Pl的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为P2的电偶极子，位于矢径为r的某一点上。Fr3p1 p24 (Sin 1sin 2 cos4 or试证明两偶极子之间相互作用力为2cos I CoS 2)式中1 r, Pl，2 r, p2 ，是两个平面(r,p)和(r,p2)间的夹
13、角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大解电偶极子Pl在矢径为r的点上产生的电场为3( Pdr) rPlEI C r所以PI与P2之间的相互作用能为WeP2Ei13(Plr)(P2r)4 0题图因为 1 r, Pl，2r, P2 ,则Plp1r cos Ip2r cos 2P2又因为 是两个平面(r,pj和(r, P2)间的夹角，所以有2P1P2SInsin 2cos(r P)(r P2) r另一方面，利用矢量恒等式可得(rr2(P(rP1)rP2)P2) (rP1)(rp2)Pi) r P2r2P1 (r P1)rp2P2)(r P)(r P2)P1P2Sin 1 sin 2 cos
14、P1P2 cos I cos 2于是得到W严3 ( Sin 1 sin 2cos 2cos 1cos 2) Or故两偶极子之间的相互作用力为Pl P2 Zq const( Sin 1Sn 2 cos 2COS1COS4 0FrWer2)d(j3)d r r(Sin 1 sin 2 cos or2cos I cos 2)4由上式可见，当12 O时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。两平行无限长直线电流I1和I2,相距为d，解 无限长直线电流I1产生的磁场为Bi求每根导线单位长度受到的安培力F m 0e直线电流2每单位长度受到的安培力为F m122 r1 Qz B1dzOei20 1 22 d
15、式中ei2是由电流1指向电流2的单位矢量。F e 011 2F m12e12 二2 d一根通电流1的无限长直导线和一个通电流2的圆环在同一平面上，圆心与导线的同理可得，直线电流Ii每单位长度受到的安培力为F m21距离为d ,如题图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为Fm012(SeC 1)这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。 解 无限长直线电流11产生的磁场为0 1e2 rBi圆环上的电流元2dl2受到的安培力为d Fm 12 d l2 B1 d l2由题图可知所以Fmd l2 ( exsinezcosX d acos0a1 2 012ey2 X)ad2题图2 (d(ezsin a c
16、os )ex CoS)d0a 11 2 eX亍cosdO (d acos )证明在不均匀的r (P )E P E O解如题图所示，设T r2(rqr当dl1时，有E(r0a 11 2d _2a .d2 a2)e 012(SeC1)电场中，某一电偶极子P绕坐标原点所受到的力矩为qdl (dl qE(r2) r1 号)qE(r E(r 号)1),则电偶极子 P绕坐标原点所受到的力矩为qE(r1)dl2E(r(r 号)qE(r 号) 为 qJdl E(r 号)E(r 为dldlIr) E(r)dl(7)E(r)X题图dldlE(r -) E(r)(勺)E(r)故得到T r (qdl)E(r) qdl E(r)r (P )E P EI J （d2）2一个半径为a的球体内均匀分布总电荷量为