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1、.填空题：（每题 3 分，共 15 分） 1. 设 A、B 为两事件，P ( A) = 0.7, P ( B) = 0.6, An B，则 P(A B) = 0.25 . 2. 若随机变量 X 在0,1上服从均匀分布，Y = 2X +1 的概率密度为： 2 4.若随机变量 X 服从参数为 2 指数分布 X e（2），则E（X X ）= 1 5.若随机变量 X 的数学期望与方差分别为 EX = 1, DX = 1，且P X -1 叭，根据 .选择题： （每题 3 分，共 15 分） 1. 设 A、B、C 为三事件，贝y ABUBCUAC表示.D . A、B、C 至多发生一个 变量 . C .不独
2、立同分布 . 4 .设随机变量 X 在a，b上服从均匀分布，且 为.B . a= 1， b = 5 fY(y)二 21 【0, 1乞y辽3 其它 3 若随机变量（X，Y ）的联合概率密度为 &5y） 心科0, ,x 0,y 0 其他 ，则 C = 切比雪夫不等式, ；应满足 0 ： ； 一23。 2.设随机变量 X 的密度函数为 4x3,0 ： x :： 1 其他 则使 P (X a) = P (X a)成 立，a 为 . A . 2 _4 3.若随机变量（X，Y ）的概率密度为 f (x,y)二 1/兀,x2 +y2 兰 1 0, 其它 则 X 与 Y 的随机 EX=3，DX=4/3
3、，则参数 a，b的值 5.若X1,X2,lH,Xn是取自总体N（M2）的一个样本，已知，二未知，则以下是统计 量的是 . n _ . A . (Xj -X)2/ J i # 三判断题：(每题 2 分，共 10 分) 1. 若 A 与 B 互斥，则P (AB) = 0 。 (对) 2. 若F(x)是连续变量 X 的分布函数，贝 U F(x)dx=1。 (错) 3. 若(X , Y )的联合概率函数与边缘概率函数之间存在关系式 P(x$)二Px(xJ R(yj) , i、j 2川，则 X 与丫 独立。(对) 4. 若随机变量 X 与 Y 独立，则有D(XY)二DX DY。 (错) 5. 若X!,X
4、2JH,Xn是取自总体 X 的简单随机样本，则 人与X2同分布。 (对) 四| 计算题：(每题 10 分，共 60 分) 1.按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有 90%的可能考试及格，不努力学习的 学生有 90%的可能考试不及格据调查，学生中有 80%的人是努力学习的，试问： (1) 考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ (2) 考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设 A=被调查学生是努力学习的，则A=被调查学生是不努力学习的 .由题意知 P (A) =0.8 , P ( A ) =0.2，又设 B=被调查学生考试及格.由题意知 P (B|A) =0.9, P (B
5、|A ) =0.9，故由贝叶斯公式知 P(AB) P(A)P(B A) P(B) P(A)P(B|A) P(A)P(B A) 即考试不及格的学生中努力学习的学生占 30.77%. 2. 从五个数 1 , 2 , 3 , 4 , 5 中任取 3 个数X1, x, x3,求：(1 )随机变量 X二maxx, x2, x3的概率分布；(2)随机变量 X 的分布函数；(3) PX虫4。 (1) P(A B)= 0.2 91 0.8 0.9 0.2 0.1 =-0.02702 37 即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占 2.702% P(A P(AB) P(B) P(A)P(B|A) P(A)P(B|
6、A) P(A)P(B A) 0.8P1 0.8 0.1 0.2 0.9 -0.3077 13 解：(1) X 的可能值是 3, 4, 5.易知 因此，所求的概率分布为 X 3 4 5 P ( xi) 0.1 0.3 0.6 (2)根据 F(x)二 PX x八 p()得 心 0,x 3 卩&)0.1,34 (注意区间分段) 0.4,4 Wxc5 1,x _ 5 (3 )故所求的概率为 PX _4 =PX =3 PX =4 = 0.1 0.3 =0.4 3. 设随机变量(X, Y)的概率密度为 求条件概率密度 fYi X (y I x), 【解】fx(x) = J-f (x, y)dy x
7、 J Jjdy =2x, 0 ex v1, 0, 其他.P(X =3) P(X =4) P(X =5) C；C； CT C|C； C； c：c； CT 1 0.1 10 I)3, f (x, y)=丿 r 1, 0, y ： x, 0 ： x 1, 其他. fxi Y (x I y). 题 3 图 1 二 2T |ykx,(注意区间分段) o, 其他. fXY(x|yrf fY(y) ,y x 1, 1 - y 1 ,y ：x：1, 1 y 0, 其他. 4. 设随机变量 X 的概率密度为 1 _N f (x) e , - ： : x ： 2 求随机变量 X 的数学期望 EX 与方差 DX。
8、解：由题设可得 EX 二.x f(x)dx 严 1 4 = x e dx =0 2 (偶函数在对称区间上的数学期望均为 0) -edx 2 =0 2xedx=2 (-x)de* J0 0 DX 二 EX2 - (EX)2 =2-0 = 2 5 .设总体 X 的概率密度为所以 k 1 f 1dx = 1+y, _1cyc0, i fY(y)二 j 二 f(x,y)dx 二 1dx=1 -y, 0 一 y ： 1, 其他. JjoO y 0, fYix(y|x)(X，y) fx (x) o o -be EX2 x2 f(x)dx x2 ：X2 = (-x2)e -x dx = j0 (-x2)de
9、 0：eg2) 2 xQA,0 x 0，如果取得的样本观测值为 为公2,川山.，求参数0的最大似然估计值。 解：由于总体 X 的概率密度为 ,0 ： x : 1 ,其他 故似然函数为 取对数，得 In L(R=T Inr (-1)1 n 幻 i二 i n =nln 日 +(日 一1)瓦 In x. 对二求导数，并让它等于零，得似然方程 dlnL( SO 日i =1 由此解得二的最大似然估计值为 -丄- n In x i =1 6 某工厂正常情况下生产的电子元件的使用寿命 X N（1600,802），从该工厂生产的一 批电子元件中抽取 9 个，测得它们使用寿命的平均值为 1540 （小时），如果
10、使用寿命的 标准差二不变，能否认为该工厂生产的这批电子元件使用寿命的均值 J =1600 （小时）？ (附：检验水平 G =0.05, 5.05 =1.645,U0.025 =1.96, t .05 (8) = 1.86,0025(8) = 2.31 ) 解：提出待检假设： H。=1600 ; H1 -1600 选取统计量： 对于给定的检验水平 a = 0.05 ,查表确定临界值 u = 5.025=1.96，从而给出拒绝X -1600 80/9 N(0, 1) 域： P u u a = 1.96 = a = 0.05 2 计算判断： 1540-1600 80/ 9 -2.25 1.96 故拒绝H。，接受H1，即：不能认为该批电子元件的平均使用寿命为 1600 小时。