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1、因数与倍数应用题答案一、求因数的个数类应用题1 、筐内有96 个苹果，如果不一次拿出，也不一个一个地拿，要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，共有多少种拿法分析解答：依题意，每次拿由的苹果数X拿的次数=96,这个等式说明了什么呢说明了每次拿的苹果数和拿的次数是 96 的因数（或约数），这样一分析，我们就知道解答此题实际上是要求96 的因数分个数有多少个。96=3 X25,因因数个数定理公式知：96的因数个数是：（1+1） X （5+1） =12 个；12 个因数包括了1 和 96这两个因数，题目要求不能一次拿完，即：1次X 96个=96个，这种情况要排除；同时也不能一个一个地拿，即：
2、96次X 1个=96个也要排除；所以共有：12 2=10（种）拿法。2 、 （ 1996 年日本算术奥林匹克竞赛）有50 张卡片，分别写着1 50 这 50 个数字，正反两面写的数字相同，卡片一面是红，一面是蓝，某班有50 名学生，老师把50 张卡片中蓝色的一面朝上摆在桌子上，对同学们说： “请你们按学号顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：凡是卡片上的数是自己学号的倍数，就把它翻过来，蓝翻红，红翻蓝”，那么当每个同学都翻完后，红色朝上的卡片有几张分析解答：由“凡是卡片上的数是学号的倍数，把它翻过来”知道，卡片翻几次的由卡片上的数的因数个数决定的，卡片上的数的因数个数是几，就翻动几次。那么一张卡片翻
3、动几次红色朝上呢我们需要找规律，怎样找规律呢老师讲过从特殊到一般找规律。我们要一下找出 50 张卡片的规律有困难，我们只研究一张卡片。开始时是“蓝色朝上”翻动一次，红色朝上；翻动两次蓝色朝上（还原到原来的状态）翻动 3 次又的红色朝上翻动 4 次蓝色朝上；从中找到规律：翻动奇数次的卡片是红色朝上的；翻动偶数次的卡片是蓝色朝上。下面思考，1 50 这 50个数中那些数的因数个数是奇数我们学习了因数的个数定理：一个完全平方数的因数是奇数个，其它的数的因数是偶数个（包括1 和自身因数），这样问题就得到了解决，看1 50 中那几个数是完全平方数，显然只有：1， 4， 9， 16，25， 36， 49。
4、下面的问题就是怎么叙述解答过程，关于怎么叙述问题，这是现在五年级学生面临的一个难点，因为此题的解答过程包含证明推理，而命题的证明要到初中二年级才开始学习。为了家长帮助学生建立这方面的能力， 什么是推理和证明推理是反映从已知判断得出新的判断的思维形式。一般地讲逻辑推理只有两种形式，即：假设判断一一如果A推由B （大前提），如果有A这个条件（小前 提），则必定有B （结论）；第二种形式就是选言判断，或者B 成立或者B 的否定成立（大前提），如果 B 的否定不成立，（小前提），则必有B 成立（结论）。数学问题解答过程虽然不必规定唯一的叙述形式，但应有统一的要求，即叙述形式应合乎逻辑。五年级学生没有学
5、习命题的证明，只要能够把推理的过程说清楚就可以了，现在说明推理的过程是有一定的困难，不要紧，从现在去慢慢练习，也为上中学作准备。下面叙述如下：解答示范：每张卡片翻动奇数下红色朝上，根据规则，凡是卡片上的数是学生学号的倍数，就把卡片翻动一次。也就是 1 50 这 50 个数它有多少个因数，卡片就翻动它的因数个次数。因为完全平方数的因数个数是奇数，1 50 中完全平方数“1， 4， 9， 16， 25， 36， 49”的因数是奇数个，这些卡片被翻动了奇数次，所以，红色卡片朝上的一共有7张，它们分别是：写有数的“1， 4， 9， 16， 25， 36， 49”卡片。3 、在 100 至 300 之间
6、，只有三个因数的数是多少分析及解答：通过上面一题的解答，我们知道“完全平方数的因数个数是奇数个”， 100 至 300 之间的数的因数个数只有 3 个的数一定是完全平方数。但要清楚是不是完全平方数的因数都是3 个呢我们研究一下，42=16 是完全平方数，它的因数个数是：42=24，根据学习过的因数个数定理：16 的4+1=5 个。同学们发现什么规律没有只有质数的平方的数的因数是3 个，如22， 32， ， 52， 72， 112，132,，我们把问题转化为求“100至300之间有那几个数是质数的平方的数”。解答：因为只有质数的平方的数的因数是3 个，在 100 至300之间只有7个完全平方数：
7、112, 122,172,但只有11， 13， 17 是质数。所以只有112=121， 132=169， 172=289这三个数的因数是3 个。二、分解质因数类应用题1 、有 4 个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1 岁，并且他们年龄的乘积是360，那么其中年龄最大的一个是多少岁分析解答像这种题，有的地方中考都出过，主要考察学生灵活运用知识的能力。对于小学生此题解答的思考不会出现干扰，但中学生因为方程的知识比较牢固，认为问题中的数量关系明显，列方程解答一定能够解出来。设4 个人的年龄分别是：X， X+1 ， X+2， X+3 列方程是：X（ X+1） （ X+2）（ X+3） =360，这个
8、方程是高次方程，一般中学生是解不出来，只有学习了奥数的同学才有办法解答。下面用学习过小学奥数“转化的思想”老师解答一下，再次说明，学习数学要学习数学方法，看看小学奥数学习过的“转化数学思想” 的作用。X （ X+1） （ X+2） （ X+3） =360，高次方程我们通过转化把它转化学习过的知识处理：初中一元二次方程。原方程变形为：（ X2+3X） （ X2+3X+2）360=0；（ X2+3X） 2+2（ X2+3X）360=0上面转化为我们学习过的一元二次方程了，这中关键的一步。设： （ X2+3X） =Y，即：Y2+2Y 360=0，解答 Y1= 20（舍去）， Y2=18；因假设知：（
9、 X2+3X） =18，解这个一元二次方程：X1= 6（舍去）， X2=3这样4个人年龄中最大的是：X+3=6岁。方法二，分解质因数方法从上面解答过程看，用代数的方法解答过程是复杂的，有时，在解答数学问题中，算术方法更为简便。这在中学处理有些问题中也经常用到。特别是在解答选择和填空题时。360=23 X 32X 5;然后按照题意，把上面分解后的6 个数进行组合成为4 个数的乘积，即：360=3 X 4X 5X6; 显然最大的年龄是 6岁。2 ，某班王老师带领全班同学去植树，学生恰好平均分成三组，如果老师与同学每人植树一样多，则共植树572 棵，那么这个班有学生多少人，每人植树多少棵分析解答一一
10、依题意知道，植树总数=每人植树棵数x师生总数，师生总数=每组学生数X 3组+1名老师，说明师生总数除以 3，余数是1。572=2 X2X 11 X 13,依题意，把分解得到是质因数进行组合得：572=11 X 52=11 X (51+1)因此，这个班学生51 人，每人植树11 棵；注意：572=44 X 13=44 X ( 12+1),这里，全班人数 12人,老师 1 人，每人植树44 棵情况不符合题意一个班学生人数应该不是12 人；三、奇数与偶数类应用题自然数按奇偶性分类，分为奇数与偶数，利用奇数和偶数的性质可以解决一些有趣的问题。奇数与偶数的性质奥数教材第21 页进行了归纳，这些性质要熟记
11、。几点要注意：1 ，偶数个奇数的和是偶数，奇数个奇数的和是奇数；2 ，在运算中，加法与减法运算结果的的奇偶性不变。也就是： 偶数个奇数的差是偶数，奇数个奇数的差仍然是奇数；3、奇数片偶数例题 1： 9 只杯子全部口朝上，每次翻动其中的4 只杯子，能否经过若干次翻动，使9 只杯子开口全部朝下分析解答由题目知道，每次翻动 4 只杯子，翻动若干次，那么具体一共翻动的次数的确切数是无法确定的。审题后要知道，一个问题只能用奇偶性解决。我们先研究一只杯子，翻动1 次口朝下，翻动2 次口朝上，翻动3 次口朝下，每只杯子要口朝下必须翻动奇数次，这样问题就找到了解答的方案。叙述解答过程：每只杯子只有翻动奇数次口
12、才能朝下，要使 9 只杯子口全部朝下，翻动的总次数是9 个奇数的和。因为奇数个奇数的和是奇数，所以，翻动的总次数是奇数。依题意，每次翻动4 只杯子，翻动的总次数是4 的倍数，这个总次数是偶数，前后矛盾，即奇数K偶数，所以，无论怎么翻动，都不能使9 只杯子的口朝下。例题 2（奇偶性中的周期问题）一个会议室有9 盏灯，从1 9 依次编号，开始时，只有编号是2， 6， 9 的灯是亮着的， 一个同学按1 9， 再按 1 9 顺序不停地拉动开关，一共拉了300 下，这时编号是几的灯是不亮着的。分析解答每盏灯拉动开关奇数下改变原来的状态， 即暗的变亮，亮的变暗。300 +9=333,所以，1, 2, 3号
13、灯拉动了 34次，拉了 偶数下，不改变原来的状态，即原来是亮的仍然亮，原来是暗的仍然暗；4， 5， 6， 7， 8， 9 拉了 33 下，是奇数下，改变原来的的状态，原来亮的变暗，原来暗的变亮。所以不亮的灯是：1， 3， 6， 9 号。四，数的倍数（整除）类应用题数论问题是数学“王国”中最有趣的数学知识，无论你的学历高低都能够研究这部分的内容，通过对数论的研究，可以训练人的分析问题和逻辑推理能力。要熟练地解答整除问题类应用题，必须对2，5；4，25；8，125；3，9；7，11，13 倍数的数的特征（或能够被以上数整除的数的特征）十分清楚，并能够把知识灵活运用。例题1（奥数教材第29 页练习3
14、）六一儿童节快到了，四（ 2）班的同学分成4 组做绸花，每个小组做的绸花一样多，马大哈统计了一下说“还是人多力量大，大家一共做了 246朵绸花” ，马大哈统计对了吗为什么分析解答一一四（2）班同学做的花总数=每个组做的花x4，花的总数是4 的倍数；下面就看246 朵是不是4 的倍数，问题就解决了。答：马大哈统计错了。因为，花的总数=每个组做的花X 4,花的总数是4 的倍数；4 是倍数的数的特征是末两位数的4的倍数，而246 的麦两位数46 不能被 4 整除， 246 不是 4的倍数，所以，马大哈统计错了。例 2、 有 72 名学生，共交课间餐费元，平均每人交多少元分析解答一一把课间餐费化为分，
15、则总钱数A527B （分）一定是总人数72的倍数，又72=8X9,所以，A527B是8和 9 的倍数。根据8 的倍数特征：一个数的后三位组成的数是8 的倍数，这个数就是8 的倍数。即：27B 是的的倍数，只有B=2,这个数变为了 A5272,又这个数是9的倍数，它的各位数字之和是 9的倍数，A+5+2+7+2=A+16所以，A=2,72 名学生的课间餐费总数是：25272 分；平均每个同学交：25272 + 72=351 （分）=（元）例题 3（奥数教材第34 页练习4） 、新学期开学了，学校为了使同学们有一个更加方便的读书环境，新买了18 个书架，可是会计不小心把发票给弄污了，单价只剩下2
16、个数字“ 2*0 元” ， 总价也只剩下2 个数字“ *4*8* 元”你能帮助算出单价和总价吗分析解答一一由题意，总价一定是18的倍数，又18=2 X 9,总价一定能够被2 和 9 整除，又单价的个位数字是0， 18 乘以单价的个位数字一定是0，所以，总价的个位数为0，即：总价是：A4B80元，这个数是2、9的倍数。又知道单价是2千多元，总价一定：18 X2000<总价 <18X2990, 36000V总价 <53820,而总价的千位上的数字是4，所以总价万位的的数字只能是4，所以总价是：44B80， 4+4+B+8+0=16+B 要是 9的倍数，则B=2，总价是44280元，单价是：44280+18=2460 （元）