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1、1.全概率公式贝叶斯公式1.某保险公司把被保险人分成三类：,'谨慎的"、"一般的"和 ,'冒失的"。统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.3。并且它们分别占投保总人数的20% , 50%和30%。现已知某保险人在一年内出了事故，则他是"谨慎的"保险户的概率是多少？解：设A、处、氏分别表示 ,'谨慎的"''一般的"和"冒失的"保险户，B表示,'发生事故"，由贝叶斯公式知P(Ai |B)=P(A)P(B|
2、 A1)P(Ai)P(B|Ai) P(A2)P(B| A2) P(A3)P(B| A3)0.2 0.050.2 0.05 0.5 0.15 0.3 0.30 0.0572.老师在出考题时，平时练习过的题目占60%.学生答卷时，平时练习过的题目在考试时答对的概率为90% ,平时没练习过的题目在考试时答对的概率为30%,求:(1) 考生在考试中答对第一道题的概率；(2) 若考生将第一题答对了,那么这题是平时没有练习过的概率3.在蔬菜运输中，某汽车运输公司可能到甲、乙、丙三地去拉菜的概率依次为0.2,0.5,0.3。在三地拉到一级菜的概率分别为10% , 30% , 70%1)求能拉到一级菜的概率；
3、2)已知拉到一级菜，求是从乙地拉来的概率。解：1、解：设事件 A表示拉到一级菜，B1表示从甲地拉到，B2表示从乙地拉到，B3表示从丙地拉到则 P(B)=0.2 , P(B2)=0.5 ； P(B3)=0.3P(A/B)=0.1 , P(AB2) =P(Ag) =0.7则由全概率公式得3P(A) =£ P(Bj) P(A/ Bj)=0® 0.1+0.5尺0.3 + 0.3乂0.7 = 0.38(7分)i目拉的一级菜是从乙地拉得的概率为P(B2. A) = P(B2)5如)°P(A)0.39470.3810分)2.一维随机变量.一 2X5. 设随机变量x在区间0,1上
4、服从均匀分布，求随机变量Y=e的密度函数.6. 已知X N(H,。2),用分布函数法证明： Y =# N(0,1).cr证明：设Xf x(x), Y =aX+ b，则 a # 0 时,yf Y(y) = g fY(峭)J T XRJ.1FY(y) = pW 苴 y=苴 y； = PX 苴 uy+ p =FX(；y勺fY(y) = FY(y) = FX(y )=fX(二y )'-一e、2 二。2：2 y_ 二 e 2、2 二 6Y N(0,1)7.设随机7.变量X的密度函数:1f (x) = ,1 x0X -1求(1) c的值；(2)1PX <2)(3) EX(4) X的分布函数解
5、：(1)由密度函数的性质二1得:+ ;f(x)dx-+ :f(x)dx-:+ 二 cdx-二 1-x21 c-1=dx=11 -x2(4分)(2)1 PX 分)(3)EX：21方二.1 x2dx= arcsinx|(7 分)+ :.xf(x)dx-:8.设连续型随机变量 X的分布函数为求:(1)系数A; (2)X的分布密度f(x); (3)解：(1)A=1; (2)二",1-x2(x)dxPb mx £ 0.25?0 x : 1 f(x) = 2 x。其它；(3)0.5-1dx = 0 -( 10 分)10.设(X, Y)的分布为-101-11/ 81/81/801/ 80
6、1/811/ 81/81/83.二维随机变量证明X与Y不相关，也不独立。证明：cov ( X, Y) =EXY-EXEY (1 分)而 EXY=0EX=0 , EY=0 (3 分)/- cov(X,Y)XY 0故X与Y不相关。(5分)下证独立性PX =0,Y =0 =0 PX =0 =1/4 PY=0)=1/4(8分)P(X =0,Y =0 =PX =0 .PY =0故X与Y也不独立。(10分)22 .ii.(x,y)服从区域d上的均匀分布，D = ( x, y) x + y < 4，证明x与y不独立也不相关12.设随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布，其中 D=(x,y)|x 2+
7、y21,求:(1) X与Y的边缘密度函数；(2)判断X与Y是否独立。上丈X -1上丈y <1解： f 姒)= < 兀I 1, f Y(y)=兀30 其它0 其它X 与Y不独立。13.某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为4.中心极限定理0.7,各机床开关独立，开动时每部要耗电15个单位，问至少要供应该车间多少单位电能,才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.(4(1.64)=0.95,a 6.48).= 140，DX =423 分)P(X 史)=0.9515解：X 用表示任一时刻车间有同型号机床 ，则 X B(200,0.7)，则 EX假定至少需要 m单位电能，则有:
8、由中心极限定理可得：05(X蜀"驻°mm c140140< 15()(8 分). 42 42从而有:m14015l =1.64, 42故至少需准备2265单位电能所以m = 226510分)14.某学院校园网中家属区每晚约有400台电脑开机，而每台电脑约有4的时间登入互联网5并且假定各台电脑是否上互联网彼此无关,计算其中至少300台同时在互联网上的概率.('： (2.5)=0.99379)10个终端同时使用15.某计算机有120个终端，每个终端在一小时内平均有3分钟使用打印机，假定各终端使用打印机与否相互独立，求至少有打印机的概率。(：.： (1.68)=0.
9、95352,、5.7 * 2.3874)解：每个终端使用打印机的概率为p=1/20，设同时有 X个终端使用，则 XB(120,1/20) , EX=np=6, DX=npq=5.7 ,由于n=120很大，由中心极限定理，近似地XN(6,5.7).I 10-6.1P(X> 10)=1-F(10)=1-中()=1-中(1.68)=1-0.95352=0.04648100小时，将3个这样的元件串联在一个线路中，求：在 150小时后线路仍正常工作16.某种电子元件的寿命服从指数分布，已知其平均寿命为 的概率。解：由题可知 =0.01 -(2 分)则某电子元件的寿命超过150小时的概率为p = P
10、(X 150 =1 F(150) =e.545 e -故三个串联150小时仍正常的概率为(8分)(10 分)5极大似然估计17.设总体X的密度函数为 f (x；。=其它(U .0)，若(X 1,X2,Xn)为来自总体的一个样本,求未知参数日的最大似然估计值.18.设总体X的分布密度为f (x)0 : x 1,求未知参数 Q的最大似然估计。解：似然函数 L(X1, X 2, - X n,)=lnL=nln e +ln( e -1) '、ln Xii 1d ln L其他8 >0，若 X1, X2, Xn为来自总体的一个样本解得所求最大似然估计量？=19.设 X1, X2,，Xn为一 个样 本PX =k =(1 - p)kp, k =1,2,3，x，乂2,川,xn 为来自总体 X 然估计值.证明：X 的概率分布为的一个样本观察值，求P的极大似