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1、第九章欧氏空间习题答案16、填空题1.。；1 2 3.为，£2X26"x ; 3. A' b2 ； 4.月；5. A; 6. (2, 2,1);b37. 2小，；8.6; 9. k 2; 10.2线性变换在某基下的矩阵；11.0 , J2 ； 12.它们的维数相同；13. A, 1; 14.1;15.正交；16. ； 17.正定的。二、判断题1-5 XX- 6-10 C，11-15 MWx， 16-20 WxVx三、选择题1-5 CDBCC6-10 CACB(BD) 11-15BDAAA 16-18 ABB四、计算题1.(2)(1)(4) 0 ,故特征值为2,1,4
2、 。2时，有4x12x12x22x23x23x302x3 0 ,则基础解系为01(,1,1)',单位2化为11时,X2x12x22x22x300 ,则基础解系为 2(1,X31，一,1)',单位化为222 (31 2 ,一)3 34时,2x12x12x22x23x24x302x30 ,则基础解系为01八(1,1,-)',单位化2(一，一，一)'。3 33122333人 212则令T 2-,333221333t 112.(1) A 1t 111 t为正交阵，有T 1ATt,由于二次型正定，则t2t321。400 ，即t 2。3t 2 0111(2)当 t 1时，则
3、 A 11111 12)2(1) 0,特征值为 2,2, 1。故标准形为f 2 yl2 2 y2 y；。2b03. 二次型矩阵为A b a 2023由于正交变换得到的标准形为-2 一 2_ 2fy 2y2 5y3 ,则 A 的特征值为 1,2,5，故 2 a 3 1 2 5 ,A 1 2 5 10可得 a 3,b 0。当 1时，有x1 02x2 2x3 0 ,则基础解系为2x2 3x3 01(0,1, 1)',单位化为2时，有x2 2x30 一.,则基础解系为2 (1,0,0)',单位化为2x2 x3 02 (1,0,0)；3x105时，有2x2 2x3 0 ,则基础解系为3
4、(0,1,1)',单位化为2x2 2x3 011。进一步得到1(cos jx,cos kx)cos jx cos kxdx1,2jk5cos(j k)x|01 cos(j2( j k)(sin jx,sin kx)sin jxsin kxdx12122T%cos(j k)x|02T%cos(j k)x|0(sin jx,cos kx)sin jx coskxdx1212Esin(j k)x|02Tsin(j k)x|02 k)x|000010则令T0 ,为正交阵，有T 1AT22至0/224. 设属于特征值1的特征向量为(x1,x2,x3)',则(，1) 0,即X2X30,基础
5、解系为2 (1,0,0)' ,3(0, 1,1)'。把2 (1,0,0)',3(0,1,1)单位化为 2(1,0,0),3 (0,) o1(0,1,1)单位化22为1(0,孚,鸟。22 0，为正交阵，有T 1AT22.2、2022 当j k时，则故对于任何整数，该集合均为正交向量组。6. 令R2的一组基为1(1,0), 2 (0,1),则有(x1,y1),(x2, y2)2xiX2 %y xy2 2y1y2可得在这组基下白度量矩阵为 A由 E A (1)(3),特征值为1,3。当 1时，有XiXix20x20则基础解系为1(1,1),单位化为1(#,#)'22当
6、3时，有凶X27.(1)X1X20 ，一， ,则基础解系为0221,1)',单位化为2 (,)'22为正交阵，使得T令 f (x, y, z)正交变换：由特征值为0,1,4。当 0时，有(0E当 1时，有(E.33 .3(一,一,一)；333当 4时，有(4E3y2A)xA)xA)x1ATO则对角阵不是单位阵。2xy2xy2 yz对应的二次型矩阵为则特征向量为则特征向量为0 ,则特征向量为(1)(4) 0,故(1,0, 1)',单位化为(1, 1,1)',单位化为(1,2,1)',单位化为史6旦,为正交阵，有T3,一 662244。平 移(y z)2 (
7、y z)2 3y2x y zy ，即 f (x, y, z)z2y 4z,2x 2y 2z,4x2.323则令T 0-33 . 2.23则标准形为f(x, y,z)(2)2f(x, y,z) x 2x( y z)即 f(x, y,z) (x y1作非退化线T替换 238.(x, y,z) (x0 i _ AT 14变 换：z24 不妨设 (x, y,z),则 A,其中A 22 2 2yzi22 224。12 42y z) (x, y, z) 22 2421设R3的一组标准正交基为1, 2, 3,则(1, 2, 3)(1, 2, 3)A。因为A是对称矩阵，则 是对称变换3)2(6) 0,故特征值
8、为3, 3,63时，有（3E A）x 0,则特征向量为 1(1, 2,0), 2 (0, 2,1),52.5 2, 12.56,5 3.5.单位化为1 (, ,0)', 2 (, 一,)'；5525255当 6时，有(6E A)x 0,则特征向量为3 (2,1,2)',单位化为W 1 2丫3( _ > > ) °3 3 3则令T,512.5252532.56.51525303.5523,为正交阵，则存在一组标准正交基1, 2 , 3使得(1, 2 , 3)2, 3江，则有T 1AT9.(为？2?3)且(3) 0,2,2x12x1X210.X3(1,
9、2, 2)。把1 ),2,3正交单位化如下(2,1,0)，+(2,13(1,2,1)1)2 4(一,一 ,1)。5 51,0)2)。2(1 , 2,5/2 4 八一(一，一，1),3 5 53为R3的一组标准正交基。3) 0,故特征值为0,0,3 。0时，有(A)x 0,则特征向量为1 ( 1,1,0), 2 ( 1,0,1)',属于特征值0的全部的特征向量为k1 1k22,其中k1,k2为任意常数。单位化为1(2 ' 2 oyT,T,0),(鱼，牝骂；666当 3时，有(3E A)x则特征向量为3 (1,1,1) ,单位化为则令T222,2. 661662.66为正交阵，则存
10、在一组标准正交基i倚(1, 2,3)(1, 2, 3)T ,则有 T AT五、证明题1. 网 A B |A'| A B| |E A'B |B'B A'B| |B' A| B |A A B，即 A B 0。2. 令(xi,x2,x0,(yi,y2,y3), 则A (Xi X3, X22x3,Xi 2X2 X3), A(y1心$2y3,y12y2y)。则(A , )xy X3y1 X2y2 2X3y2X1y32X2y3X3y3,(A , ) X1 y1 X3y1 X2y2 2X3y2 X1y3 乜小头3、3,即(A , ) (A ,),则A是一个对称变换。3
11、. 必要性是显然的。下面来证明充分性。由于ker0(,) 0 ,即(，)00,因此 ker 0,从而 是单射，又由于存在双射：VV',并且 ， V有(,)(,)。因此欧氏空间V与V'一个同构映射。4. 不妨设1, 2,|", s是向量组1, 2,|, m的一个极大线性无关组，下证1, 2,|, s是向量组1, 2,|, m的一个极大线性无关组。令 k11 k22111kss 0,则 j 1,2,|,m有0 (k1 1k2 2 I" ks s,j) k1(1, j)k2(2, j) ks(s, j)K(1,j)k2( 2,j)| ks( s,j)(k11k22
12、|kss, j)则 k11k22 I"kss 0,由于1,2,|, s 线性无关，则 k1k2 III ks 0,即 1, 2,|, s 线性无关。根据 1,2,|, s 的极大性，则 j 11 1122III ls s,即 j 111 12 2 Ml 1s s0。故 j11112 2 "Ils s,也即是说1, 2,|, s是向量组1, 2,|, m的一个极大线性无关组，即dimV1 dimV2,从而M V2。5.(,)(1)左22)2( , ) 2( , ) 2 |2(2)右边1(44K(,6.(又因为7.AXA'8.tE)4()2(,)14(，) (，)都是对
13、称变换。则上式可化为是对称变换。(aij)nX 0同解设实对称矩阵2(,),(),n, X则tEai2IIIainP(i)'Xt anai2IIIaliA的i阶顺序主子式,故可得A是正定矩阵。9.i , 2,(Xl,X2,|,Xn)',(b1,b2,|,bn),则秩(A,aiai2III aina12a2nA'A'A'Xa12a22a2nain0( ,X)aina2nann0。aiia22a2ia2i.it(aiit aii1,2,|,n。故当t充分大时,P(i)A )ti0, ii III1,2,|,n。是正交变换，则(i， j) ( i，j) ( i
14、，j) , i, j i,2,|,no设i, 2,"I，r是向量组i, 2,|", m的一个极大线性无关组，则r是向量组i, 2,|,m的一个极大线性无关组。否则的话1, 2,I), r 1线性无关。因为1, 2,"I，r的极大性，则1, 2,|", r , r 1线性相即存在不全为零的k1,k2,|, kr,kr 1, 满足k1 1k2 2kr r K 1 r 1。，从而(k1 1 k2 2 |" kr r kr 1k1(1 ,1 )卜2( 2,1 )k1(1 ,1 )k2 ( 2,1 )(k11k22 I"krrkr即 k11k2
15、2 "Jkrrkir 1, 1)kr(r,1)kr1(r 1,1)kr(r,1)kr1(r 1,1)1 r 1 , 1 )1 r 1 0 5 8P 1, 2,11|, r,r 1线性相关这是矛盾 的。 再将1, 2,|", r 单位化为 1, 2,|, r ,即(1, 2,|, r)( 1, 2,|, r)T ,其中 Tt11 0 III 0t12t22t1r12 rtrr，由于V 1 V2 ,1, 2,1", r也使正交单位向量组。分则令(1, 2,|, r)( 1, 2,|, r)T ,从而别扩充为V的两组标准正交基，既有1, 2,批 r, r 1,", n ；1, 2, |, r , r 1,11 , n。定义:V V ,使得i i , i 1,2,|,n 。为正交变换，从而(1,|，)( 1,|, r)( 1, 2,|, r)T,则(1, 2,|, r)T ( 1, 2,|, r)T ,即(1, 2,"")( 1, 2,", r)。从而 i i, i 1,2,|,r o 进而 s s, i 1,2,|,mo1 2 2一 , 一 ,一)3 3 3421