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1、 班级 学号 姓名 密 o 东北大学研究生院考试试卷 20082008 2009 2009 学年第 1 1 学期 课程名称： 数值分析 总分 一(1 1-8 8) 一(9 9- -1010) 二 三 四 五 o 线 一、解答下列各题：(每题 5 分，共 50 分) 1. 111 的近似值 x 具有 5 位有效数字，求 x 的绝对误差限。 由于.帀=10.5. =0.105.102，所以 10 (1 2、 2设 A= ，求 P(A)和 Cond(A)1。 I3 4丿 r(A) =5 33，Cond(Ah =21。 5.已知满足条件 f(0)= 0, f(1) = 1, f(2) = 7 f(3)
2、= 2, f (0)= 0, f (3)= 1 的三次样 1 条插值函数S(x)在区间1,2的表达式为S(x)= ；(31x3-130 x2 159x- 53),试 求S(x)在区间0,1的表达式。 由已知可得 S(0) = 0S(0) = 0,S(1) = 1 , S (1 - 8，所以在0,1上有： 1 2 S(x)八 了 X2(22X_ 29) 6.求区间0，1上权函数为(X)二1的二次正交多项式 F2(x)。 P0(x) = 1， R(x) = X_ P0 = x_ (P0,P0) 2 9 x 3. x 为何值时，矩阵A= x 8 G为下三角矩阵。 由A正定可得，0 ： x ： 8，
3、x=6时有: 9 6 3 勺 13 2 r A = 6 8 4 2 2 2 1 1， 2九 2人 扎 所以，Gauss-Seidel 迭代法不收敛。 三、(12 分)已知方程x = I nx 2， 1. 证明此方程在区间(1,七)内有唯一根：； 2. 建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值 e,2e都收敛，说明收敛理由和 收敛阶。 3. 若取初值 X。二 e，用此迭代法求精度为；二10,的近似根，需要迭代多少步？ 1 1.记 f (x) = x - In x - 2，贝U f (x) = 1 - ： 0, (x 1) x 又由于 f (e) =e_3 ： 0, f (2e) = 2e- In 2
4、_ 3 0 所以，方程在区间(1,七)内有唯一根，而且卅三(e,2e)。 2 建立迭代格式：xk ./I n xk 2, k = 0,1,2,.，迭代函数为:(x) = I n x 2 1 1 由于对任何 xe,2e有：e ： 3乞(x)乞 In 2 3 ： 2e，而且 | ：(x) |： 1 x e 所以，对任意初值 x0 e,2e都收敛。 1 又由于r )= .0，所以收敛阶等于 1。 Ct 1 3.由于X1=3, L=，所以 e (1 一 L)呂 k_ln In L 10.704 X1 - X0 即,需要迭代 11 步。 1 3 四、(16 分) 1.确定参数 AO,A,A2,XI ,使
5、求积公式x2f(x)dx： Aof(-1) Af (xj A2f (1)具有 1.由于 f n : fn h 2 - fn fn 2 - fn 2 3、 k2 = fn h(- - fn) (- 2_ 2 fn - 2 fn V O(h ) ex cy 2 ex dxcy dy o 密 o 尽可能咼的代数精度，并冋代数精度是多少？ 1 2 .利用复化 Simpson 公式 Sn计算计算定积分 I exdx，若使 11 - Sn卜：；=10-4, 问应取 n 为多少？并求此近似值。 , 2 2 2 1 由 AO A1 A2 ，- AO A1X1 A2 = 0, AO A1X1 A2 , 3 5
6、-A + Ax； + A2 = 0,可得：A。= A?=丄,A1 = Xj = 0 ,具有 3 次代数精度。 5 15 1 +丸 yn+1 = yn + hfn 3 .3 - 2 h - (: 6 2. n 42880 10* 1.75，所以取n = 2 I ： S2 1 (e e 2e0.5 - 4e0.25 - 4e0.75 1.7183188 12 五、(12 分)已知求解常微分方程初值问题： = f(x,y), a,b (a) 的差分公式： k h yn 十 yn +(k1 k1 = f(Xn, yn) k2 = f (Xn +ah,yn +PhkJ JO =A 1. 确定参数，使差分
7、公式的阶尽可能高，并指出差分公式的阶。 y=_5y 0EX2 2. 用此差分公式求解初值问题 丿 八 时，取步长 h=0.1,所得数值 ,(0)=0 解是否稳定，为什么? ；:f 2 ,丸h /云花亠甘Cfn - (芒- 3 ；:x . . 2 2 二 Tn f 2 2 ；x ：xy fn O(h4) y(Xn 1)= y(Xn) y (Xn)h h； y (xn) 6 2 6 h2 cfn cfn Tn + hf= + 3 2 2 h3 : fn : 営一2n 2 :X h3 -2 d + a a n a 2 :xy :y y (Xn) O(h4) 2 :fn :fn : fn 2 4 n2 一 * (2fhO(h4) ex cy cy 于是，当 =2， = 3J = 3时，差分公式的阶最高，是 2 阶方法。 4 4 2.带入试验方程有： h 3h yn 1 二 yn * -5yn -10(yj(-5yn) 3 4 = (1-5h 25 h2)yn 2 h=0.1时，由于 yn d = 0.625yn，所以，所得数值解是稳定的。