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1、第十二讲排序不等式与切比雪夫不等式知识概要1.排序不等式定理1 设ai意的两个排列,*2 湖I 川 <an,bl玄 b2#11111bn ,il,i2,|in 与jl,j2,| jn 是 1,2,3|心的任则：2 Hlainbjn £ab a b 甘I aqaiibjia。2.山ag_aibna bn_i |l|anb 1可以简单的理解为2.切比雪夫不等式:反序和乱序和定理2设a1 a2Mil川 Ma。,bF则:nnakbk/ k4kJ()(n nn'、' akbk)_ n定理3设a1a2<IHIH <an, bi Zb2则:nn寸ak寸bkk -1
2、k X()()n nnakbkk -4>n3. 籍平均不等式定理4设正实数昌*2,|山|,翕，且 0< E，则(a+al>+a <(.（等号成立当且仅当 a1 =a2 =l|l| =an）.定理5设正实数ai,a2,|仙，知且a界0，则（帝+相圳+竣页蛆2“1+a%（等号成立当且仅当31=32=111111 =an）.二、解题指导例1 .设a, b, c, d满足ab +bc +cd +da =1的非负实数，d33求证： ab c d.33bca c d badb a c 3例 2.已知 a,b,cR +,1abc =1，证明:3a (b c)11 333b (a c)
3、 c (a b) 2n例3.设xi ,X2, X3,|Xn(n芝2)都是正实数，且 £ x=1 ,求证:i 4nn x'、X'、X、.y . 1 *. n 1例4.设正实数a” a? ,|0满足司+a? +|+an =1 ,证明:aa?an(a1a2 呈志 T| 去4)( - IH )a? , a? a3 a3a , an>-n 1例5.设 Xi0(i =1,2, 3,|, n),求证:X1 -X2 -X3 XnX1X1 X2X2 X3XM|lXnX _(X1 X2 I | I Xn )二、习题演练1.用排序不等式证明下列不等式:(1)(2)a3 +b3 +c3
4、 芝3abc ；.2 22222b c c a a b_abc;(3) 2(a3 +b3 +c3)芝a2 (b +c)柏2 (a +c) +c2 (a +b).2.设 a,b, c>0 , a b 111+=1 ,求证： a 十b+c Zab 十bc+ac .b c 1 c a 1.8. 883.设 a,b, c0，求证： _+_+_、_3/ 3c a b ca3b3c34. 设 x, y, z0 ,满足 x +y +z =1 ,求证：一火f. 12z x云 z.x(1 x) . y(1 y) . z(1z)，1 x ,1y ，1 z5. 将1,2,3|"n这n个正整数任意排列可以得到n!个不同的数列，问其中是否存在4个数列:ai , a2 , a3，I I I an，, Q ,炫，I | I bn，ci , c2 , c3 , > I > cn , d, d2 , d3 , 1 P1 d n使得 abi a2b2 T|l anb =2(qd_ , c?d2 qc | ,).n n 16. 设0 <p &k刍(k =1,2,3,|n)，试求:f =(Z aQ(Z )的最大值与最小值 i ± i ± ak