第17讲力矩转动平衡问题.docx

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1、第17讲 力矩转动平衡问题1 .力臂：从转轴到力的作用线的F垂直距离.2. 力矩：力F与力臂上的乘积.即 M=FL，力矩的单位是 N - m3. 作用：反映力对物体的转动效果，是使物体的转动状态发生改变的原因.4. 力矩的平衡：有固定转动轴的物体的平衡条件是力矩和等于零.即习M=0或习M逆=习 M顺。5. 力矩的计算方法力对某转动轴的力矩，顺时针方向，规定为负力矩；逆时针方向，规定为正力矩.当 力与转轴平行时，力对该轴没有力矩，当力与转动轴成任意角度时，力对这一转动轴的力 矩，可将力分解为与轴平行和垂直的两个分力，垂直于轴的分力对轴的力矩也就是该力的 力矩.6. 有固定转动轴物体受力分析的要点

2、：首先认准转动轴，只分析作用线不通过转动轴的力，因作用线过转动轴的力的力矩为零，对物体的转动不产生影响.作受力分析图时，力的作用点、作用线不能随意移动，这与用共点力的平衡研究问题时的受力分析图有一定区别， 共点力平衡问题讨论的是物体的平动问题，可以把物体视为质点看待，画受力图强调的是 方向问题，作用力的作用点，作用线不作要求.力矩的平衡问题讨论的是转动问题，物体 不可以视为质点，则力的作用点，作用线要求准确，不能在物体上随意移动.7. 一般物体的平衡对一般物体来说，其平衡条件必是满足习F=0,对任意轴的力矩有E M=0.8. 利用力矩平衡条件解题的一般程序是：（1）确定研究对象，即明确要研究哪

3、一个物体的转动趋势.（2）确定转动轴.转动平衡物体的转轴理论可任意选择， 选轴的一般原则：使未知力尽可能多地通过轴， 以减少方程数.（3） 对研究对象进行受力分析，并作出受力示意图.（4）根据受力分析，确定每一个力对转动轴的力臂.（5）计算每一个力对转动轴的力矩，并确定各个力矩的正、负号.（6）根据力矩平衡列方程.必要时要根据题给条件列出辅助方程.（7）求解方程，并对所求结果进行必要的讨论，（一）力矩概念的考查1.如图所示，直杆 OA可绕O点转动，图中虚线与杆平行，杆端 A承受两个力Fi、F2 的作用，力的作用线跟 OA杆在同一竖直面内， 它们对转轴O的力距 打:.分别是Mi、M2,则力矩间的

4、大小关系是（）.凡A. Mi> M2B. Mi= M2、'C. Mi< M2D.无法推断IY一 F|2. 如图所示直杆 OA可绕O点转动，图中虚线与杆平行，杆端 A点受四个力Fi、F2、F3、 F4的作用，图中力矢量的长短表示力的大小， 力的作用线跟 OA杆在同一平面内，它们对转轴O的力矩分别为 Mi> M2、M3.M4,则力矩间的大小关系为（）£戏二"了A . Mi= M2= M3= M4B . M2> Mi= M3> M4C. Mi> M2> M3> M4；D M2> Mi> M4> M3N匕虫i

5、3. 质量分布均匀，边长为a的正方体，重力为 G.在与水平成0=45°角的n力F作用下将绕边棱 M翻转，此时正方体共受 4个力作用，如图1 117 '产 所示，请说明各个力的力矩大小.4. 如图所示，重为 G的均匀立方体 A端支在竖直墙的凸处，C端被一轻绳固定，绳的另一端固定在竖直墙上。已知绳子与BC边（水平）成a角，求绳上张力。5. 如图所示，把长为 °.1m的直棒的O端用皎链连在大花板上，在另一端施加1°N的水平拉力F,使棒偏离竖直方向0= 6°°而保持静止，求力 F的力矩.（二）力矩平衡条件的考查1 .如图所示，质量为 m的匀质木

6、杆，上端可绕固定轴 O自由转动，下端搁在木板上，木 板置于光滑的水平地面上，静止时杆与竖直方向的夹角为45°,杆与木板间的动摩擦因数a=°.5 .今用水平力 F匀速拉动木板，则ryysA. 向右匀速拉动木板时，F= mg/6B. 向右匀速拉动木板时，F= mg/4普C. 向左匀速拉动木板时，F= mg/2D. 向左匀速拉动木板时，F= mg/82. 如图所示是一种手控制动器，a是一个转动着的轮子，b是摩擦制动片，c是杠杆，O是固定转动轴，手在 A点施加一个作用力 F时，b将压紧轮子，使轮子制动，若使轮子制 动所需的力矩是一定的，则下列说法正确的是A.轮a逆时针转动时，所需的

7、力 F较小。B .轮a顺时针转动，所需的力 F较小心？降C. 无论a逆逆时针转动还是顺时针转动，所需的力F相同危洪D. 无法比较F的大小a而让 b端3. 如图所示，质量为 ml的光滑球，置于竖直墙和倾斜木板ab之间，木板的质量不计,端固定在墙壁的转轴上， b端受一竖直向上的力 F作用，今保持F的方向不变， 缓慢下降至木板水平，在这一过程中，下列说法正确的是A . F变大，其力矩不变B . F变大，其力矩也变大C . F不变，其力矩也不变D . F变小，其力矩也变小4.如图所示，BO是一根质量均匀的横梁，重量Gi=80N , BO的一端安在O点，可绕通过 B点且垂直于纸面的轴转动，另一端用钢绳A

8、O拉着。横梁保持水平，与钢绳的夹角0 =300。在横梁的 O点挂一个重物，重量G2=240N。钢绳对横梁的拉力 Fi=5 .一个质量为 m、半径为R的金属球上固定一根长为 L的轻质细杆，细杆的左端用皎链与墙连接，球下边垫有一块木板，木板放在光滑的水平地面上，此时细杆恰好水平。如图所示，球与木板之间的动摩擦因数为a ,现将木板向右匀速拉出，则作用在木板上的水平拉力F =6. 如图所示，质量不计的杆 OiB和O2A,长度均为l, Oi和。2为光滑固定转轴，A处有 一凸起物搁在 OiB的中点，B处用绳系在 O2A的中点，此时两短 '_ 咛杆便组合成一根长杆， 今在OiB杆有C点（C为AB的中

9、点）悬挂一 芥' 广 Z重为C的物体.则A处受到的支承力大小为 , B处绳的拉力大小为7. 如图所示，重 30N的物体放在倾角为 30°的光滑斜面上.一根重 24N的均匀直棒 AB 水平放置，A端用光滑皎链固定于竖直墙上， B端搁在物体上，若用平行斜面上的推力 F =20N推物体，使物体匀速向上运动，求棒与物体之间的动摩擦因数.148. 如图所示，将重为 mg的均匀木杆AB, 一端用光滑皎链固定于墙上，另一端搁在一个 表面光滑、半径为 R、重Mg的半圆柱形物体上，此时杆 AB处于水平，杆 AB与地面的高度为h = h/2,且都静止不动，则地面对半圆柱体的静摩擦力大小为多少9.

10、 图中是用电动砂轮打磨工件的装置，砂轮的转轴过图中 。点垂直于纸面，AB是一长度l=0.60 m,质量mi=0.50 kg的均匀刚性细杆，可绕过A端的固定轴在竖直面（图中纸面）内P到AB杆的垂直距离 d=0.10m . AB杆始终 =0.60.F0=100N ,无摩擦地转动.工件 C固定在AB杆上，其质量m2=1.5kg,工件的重心、工件与砂轮的接 触点P以及。点都在过AB中点的竖直线上.处于水平位置.砂轮与工件之间的动摩擦因数则施于B端竖直向下的力 Fb应（1）当砂轮静止时，要使工件对砂轮的压力 是多大？F0=100N ,则施于B端竖直向下（2）当砂轮逆时针转动时，要使工件对砂轮的压力仍为

11、的力Fb'应是多大？（三）力矩平衡中极值问题和临界问题1 .如图所示，A、B是两块相同的均匀长方形砖块，长为 l,叠放在 一起，A砖相对B砖右端伸出l/4的长度，B砖放在水平桌面上，砖 的端面与桌边平行，为保持两砖都不翻倒，B砖伸出桌边的长度 x的最大值是 （）A. l/8B. l/4 C. 3l/8D. l/22. 如图所示，一个质量 m = 50kg的均匀圆柱体放在台阶旁边，圆柱体 的半径为R，台阶高h是R的一半，圆柱体与台阶接触处摩擦力足够大, 现在图中 A点施加一力使圆柱体滚上台阶，则施加的力最小值为 N .3. 如图所示，质量为 m的运动员站在质量为 m的均匀长板 AB的中点

12、，板位于水平地面上，可绕通过 A点的水平轴无摩擦转动，板的B端系有轻绳，轻绳的另一端绕过两个定滑轮后，握在运动员的手中，当运动员用力拉绳子时，P 志滑轮的两侧的绳子都保持在竖直方向上，则要使板的B端离开地面，运 oj动员作用于绳的最小拉力是 虽一七4.如图所示，“L”形支架可绕固定轴 C转动，AC=2 73r, BC=2R,其中R为球。的半径，悬绳长也为 R,球重100N;为使支架BC保持水平，需在 BC段施一作用力F,试求 力F的最小值：5. 如图所示，某杆 A一端与固定顶部皎链连接，另一端放在物块B上，现给B施一水平力F欲使之向左运动，杆与竖直方向夹角满足何种条件才可行？（杆与物块间动摩擦

13、因数为6. 如图所示，放在水平面上半径为r的光滑圆柱体轴水平固定，将一根长为L、重为G的均匀杆AB垂直于圆柱体的轴线斜靠在圆柱体上.如果杆与水平面的夹角为0时，AB刚好不发生滑动，则这时地面对杆的摩擦力是多大7. 两根均匀的直短棒 AB、CD都可绕其固定光滑转轴在竖直平面内转动， 棒的上面且两棒互成直角，如图所示.AB棒与地面成。角，AB棒质量为为m,如果两棒均处于平衡，则两棒间动摩擦因数至少应为多少AB棒放在CDM , CD棒质量8 .如图是一台起重机的示意图，机身和平衡体的重量Gi=4.2 M05N ,起重臂的重量G2=2.0 M04N。其他数量如图中所示。起重机最多能提起多重的货物？9.

14、质量m=2.0kg的小铁块静止于水平导轨 AB ,的A端，导轨及支架 ABCD形状及尺寸 如图它只能绕通过支架 D点的垂直于纸面的水平轴转动，其重心在图中的 。点，质量M=4.0kg，现用一细绳沿导轨拉铁块，拉力 F=12N，铁块和导轨之间的动摩擦因数=0.5,重力加速度g=10m/s2.从铁块运动时起，导轨(及支架)能保持静止的最长时间是多少？o,加10 .如图所示，光滑斜面的底端a与一块质量均匀、水平放置的平板光滑相接，平板长为2L, L=1m，其中心C固定在高为 R的竖直支架上，R=1m,支架的下端与垂直于纸面的 固定转轴。连接，因此平板可绕转轴O沿顺时针方向翻转.问：(1) 在斜面上离

15、平板高度为ho处放置一滑块 A;使其由静止滑下，滑块与平板间的动摩擦因数=0.2,为使平板不翻转，ho最大为多少？(2) 如果斜面上的滑块离平板的高度为h1=0.45m，并在h1处先后由静止释放两块质量相同的滑块A、B，时间间隔为 t=0.2s,则B滑块滑上平板后多少时间平板恰好翻转.力加速度g取10m/s2)11 .有三个质量相等、半径均为r的圆柱体，置于一块圆弧曲面上，为了使下面两个圆柱体不分开，则圆弧曲面的半径 R最大是多少？整个装置如图所示，所有摩擦均不计。12.两个半径为r、重为G的相同的光滑球放在圆柱形筒内，圆筒半径为R,且R<2r,若圆柱形筒无底，筒重为何值时，筒才不会翻倒

16、？(四) 天平和杆秤问题1. 如图所示杆秤，。点处为提纽，B点处为秤钩，秤钩和秤杆的重力为 G0, C点处为其 重心，秤泥重力为 G|.当秤钩上不挂重物时，秤花放在 A点处，杆秤水平平衡. A点是刻 度的起点，称为定盘星.试分析杆秤的工作原理.2. 有一没有游码的托盘大平，其最小石去码质量为100mg.用该夭平称量某物体，当右盘中加36.20g石去码时，天平指针向左偏1.0格，如图中实线所示.若在右盘中再加100mg的缺码，天平指针则向右偏1.5格，如图中虚线所示.试求待测物的质量.0左Y石3. 如图所示杆秤有甲、乙两个提纽.；使用甲提纽时最大称量为5kg.已知秤杆与秤泥的质量为1kg, OA

17、=6cm , OB=4cm，问改用乙提纽时最大称量为多大？4. 天平的横梁(连同指针)是一个有固定转动轴的物体，转动轴过中央刀口O且与纸面垂直。横梁的自重为G,重心C在指针上离转动轴 O为h的地方，天平两个盘中物体的质量 相等时，作用在横梁两端的力 F相等，横梁平衡，指针指在标尺的中央，即指针停在竖直 方向。天平两盘中物体的质量稍有不等时，横梁就要倾斜，指针随着就要偏移到较轻的一 方，自重G对转动轴O的力矩将阻止横梁的倾斜，最后横梁在某一倾斜的位置上达到平 衡。设指针与竖直方向成0角时横梁平衡，可以证明：tg 0 =L(F i_ F2)/Gh=gL(m i_m2)/Gh试应用有固定转动轴物体的

18、平衡条件证明上式5. 有人设计了一种新型伸缩拉杆秤，结构如图，秤杆的一端固定一配重物并悬一挂钩，秤杆外面套有内外两个套筒，套筒左端开槽使其可以不受秤纽阻碍而移动到挂钩所在位置（设开槽后套筒的重心仍在其长度中点位置），秤杆与内层套筒上刻有质量刻度。空载 （挂钩上不挂物体，且套筒未拉出）时，用手提起秤纽，杆秤恰好平衡.当物体挂在挂钩上时，往 外移动内外套筒可使杆秤平衡，从内外套筒左端的位置可以读得两个读数，将这两个读数相加，即可得到待测物体的质量.已知秤杆和两个套筒的长度均为16cm,套筒可移出的最大距离为15cm，秤纽到挂钩的距离为2cm,两个套筒的质量均为0.lkg .取重力加速度g=l0m/

19、s2.求：（1）当杆秤空载平衡时，秤杆、配重物及挂钩所受重力相对秤纽的合力矩；（2）当在秤钩上挂一物体时， 将内套筒向右移动 5cm,外套筒相对内套筒向右移动8cm,杆秤达到平衡，物体的质量多大？l千克处杆秤恰（3）若外层套筒不慎丢失，在称某一物体时，内层套筒的左端在读数为 好平衡，则该物体实际质量多大？（五）用力矩平衡条件求解共点力的平衡问题（含虚拟刚体法的应用）对于转动平衡的问题中，如果研究所受的力为共点力，我们可以将转动问题转化为共 点力平衡问题，用共点力平衡的方法求解.利用力矩平衡条件求共点力平衡时，应注意巧 选转动轴，具体是：尽可能使较多的力通过转动轴；使较难分析求解的力通过转动轴；

20、同一直线上等大反向的两个力对任何转动轴的合力矩为零，故列力矩平衡关系时可以不 考虑这样的个力.1. 如下图所示，粗细均匀的木棒斜浮于水中，一端悬挂重为G而体积可以不计的小铁球，另一端露出水面，其长度为棒长的1/n.求木棒的质量是多少 ？B三三 主 Z 二二2. 如图所示，在竖直固定的光滑圆环上，套着质量为 M和m的小球A和B,并用细线连 接在一起.当两球平衡时，细线对圆心（O）的张角为a,求细线与竖直方向的夹角。是多大？3. 如图所示，质量为 & kg的A球和质量为3 kg的B球，被轻质细线连接后，挂在光滑的圆柱面上恰好处于静状态，已知ZAOB = 90°,求OB与竖直方向的

21、夹角.4. 如图所示，A球和B球用轻绳连接并静止在光滑圆柱面上。若 的质量为m,则B球的质量为（）。A. 3m/4 B. 2m/3 C. 3m/5 D. m/2A球5.如图所示，两个质量分别为mi、m2,带电量分别为 qi、q2的金属小球，用两根等长的绝缘轻绳悬挂于同一点O。平衡时，轻绳与竖直方向夹角分别为a、6,则（）。tan.刍 m1A.-tan - m2B. R tan -miD.mim2sin :m2sin I-m16.如图所示，两个质量分别为mi、m2,带电量分别为qi、q2的金属小球，用两根绝缘轻绳悬挂于同一点O。平衡时，两球恰好位于同一水平面上。tan 3 mtan m2轻绳与竖

22、直方向夹角分别为 a、tan 艺 _m2 sin .岂 _ m1B tanm1' si"m27. 如图所示，甲、乙两个带同种电荷的小球套在固定的光滑绝缘圆弧上，均处于平衡状态，甲离最低点较近，乙较远.下列说法中正确的是（）。<（A）甲球带电量一定大于乙球带电量；（B）甲球带电量一定小于乙球带电量（C）甲球质量一定大于乙球质量侦-（D）甲球质量一定小于乙球质量7.如图所示，两根粗细均匀的棒AB、BC用光滑皎链结于 B点，它们的另外两端分别皎链于两墙上，BC呈水平状态，a、b、c、d、e、f等箭头表示力的方向，则 BC棒对AB棒 的作用力的方向可能是 .玄8. 两根质量均为

23、 m的杆AB和CD甩无摩擦皎链连接，如图所示，已知 AB杆与竖直方 向成45o角，CD杆与AB杆成90o角，两杆长度相等。为使系统平衡，施加在 D点的外力F应为多大？方向如何？9. 在半径为 R、内壁光滑的球形容器中，放置两个半径均为r=R/3、重分别为 Gi、G2的小球A和B,如图所示，求球体处于平衡状态时OA与竖直线夹角 a的大小.10. 如图所示，用细绳将一光滑球沿一光滑斜面匀速向上拉,分析绳子拉力F的变化情况.11. 如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的.一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为m和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m的小球与O点的连线与水平线的夹角为a= 60°.两小球的质量比 m2/m 1 为 () &yrA . <3/3 B. < 2/3 C .号D .号