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1、具有相同 Engel 和 Sylvester 展式的点集合的 Hausdorff 维数 本文主要介绍了数论中 Engel 展式、 Sylvester 展式的定义及其相关度量性 质,并着重证明了具有相同 Engel 和 Sylvester 展式的集合及其推广集合的 Hausdorff 维数.第一部分绪论 ,主要介绍了问题研究的背景意义、 研究现状以及 本文的结构安排 . 与数的十进制展式类似 ,Engel 展式和 Sylvester 展式是数的另 外两种无穷级数表示.早在1971年J.Galambos1-3,P.Erd?s4等人就对Engel 和 Sylvester 展式做过系统地研究 , 并给
2、出 Engel 和 Sylvester 级数的度 量性质及其证明 .C.M.Goldie5,J.Wu6-8,Y.Y.Liu9,10,B.W.Wang11-13 等讨论了与 Engel、Sylvester 展式有关的例外集的分形性质 . 一直以来 , 大量数 学家都对具有相同Engel和Sylvester展式的集合E很感兴趣,集合E是有正的 Lebesgue测度还是零测集呢？若集合E的Lebesgue测度为零，那么它的 Hausdorff维数又是多少呢？J.Galambos14-16证明了集合E的Lebesgue测度 为零, 至于它的 Hausdorff 维数, 他认为这还是一个尚待解决的问题
3、.J.Wu17 研 究了此集合,并证明了集合E的Hausdorff维数是1?2,本文则进一步将集合E进 行推广,得到的更一般的集合M,并给出集合M的Hausdorff维数是1?a的相关证 明.第二部分预备知识 ,介绍了 Engel 展式和 Sylvester 展式的定义,与之相关的 度量性质、和Hausdorff测度与维数,为第三章证明集合 M的Hausdorff维数为 1? a做准备.第三部分则主要证明了具有相同 Engel和Sylvester展式的集合的 推广集合M的Hausdorff维数是1?a .分为上界估计和下界估计两个部分.其中, 通过构造自然覆盖给出集合 M的Hausdorff维数上界为1?a .巧妙构造集合M的 子集G,利用质量分布原理这一有力工具,证明集合G的Hausdorff维数下界为1?a .从而证明了集合 M的Hausdorff维数为1?a .