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1、会姚二中 何金山、向量有关知识复习（1）向量共线的充要条件：IIIa与Z?共线Oa =a-(xvyi)= (x2， )皿 b o 屛兀禺” =°向量垂直的充要条件：丄»。打=0（芥6,46）III I° 二（心 yb 二（耳2）怎丄 bo v2+二 0（3）两向量相等充要条件：f 77 g -trntona二bo a二b,且万向相同。III I° 二（心 yb =（心 %）辺=b<xi=xvy=y2（4 ）平面向量基本定理a = Aei +vei,其中幺血不共线。2, v为唯一确定的常数:、应用向量知识证明平面几何有关定理例1、证明直径所对的圆周角
2、是直角如图所示，已知0O, AB为直径，C 为0O上任意一点。求证ZACB=90° A分析：要证ZACB=90° ,只须证向圜花丄丽，即正CB = Qo 解：设AO=a,OC=bMMIM IIUUB4 I IB贝 AC = a + b.MLH CUII II I由此可得:ACCB= (a+b)(a-b)即 AC CB = O , ZACB=90° 思考：能否用向量坐标形式证明?二、应用向量知识证明平面几何有关定理例2、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和已知：平行四边形ABCDo 求证脑 + BC2 + CD2 + DA2 二 AC2 + BD2 分析：因目
3、平彳警边形对边平行且相 等，故设ABADb其它线段对应向人量用它们表不。解：设二AD 二& ,贝U BC = b,DA= a,AC = a+ bDB =a-b-*2f-*->2->2ff->22f 2a +2ab + b +a -2ab + b =2a +b=2a+b< )I丿->|2 AB2+BC2+CD2+DA2=2(J AC2 +BD2 =i + bj +©-莎f 2 + b ) AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例3、已知：如图AD. BE、（尺是厶ABC三条高 求证：
4、AD、BE、CF交于一点分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证 CHI AB,即高CF与CH重合，即CF F 过点HMUMMUU只须证明B4丄CH 由此可设BC = a CA. = b BCH = pCM MUUED C如何证p-BA = 07 利用AD丄BC, BE丄CA,对应向量垂直。：pa + pdOnp(a+i)二0 => CH BA = 0 a CH 丄 84三、应用向量知识证明三线共点、三点共线 例3、已知：如图AD、BE、CF是AABC三条高 求证：AD、BE、CF交于一点 解：岂D与BE交于H,BC = aCA = bCH =pHAl.BCn(bp)a=Onbapa=O
5、 f f f f卩。+卩0二0=卩(。+ 0)二0CH BAOCH LBA即高CF与CH重合，CF过点H, AD、BE、CF交于一点。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线PM B例4、如图已知ZABC两边AB. AC的中点分别为M. N, 在BN延长线上取点P,使NP=BN,在CM延长线上取点Q， 使MQ=CMo求证：P、A、Q三点共线解：= a. AC b贝IAN = -b,AM = -a2 _ 2 由止匕可得BN = NP = -b-a.，2一 _ CM =MQ = -a-b一 一 一一 2 一PA=AN+NP,PA=(b ci) = u b -AQ = AM-MQ,AQ-(b-a)-a
6、-b 即莎=应故有PA/AQ,且它们有 公共点A，所以P、A、Q三点共线四、应用向量知识证明等式、求值例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折起,使点A与M重合，设折痕为EF,若正方形面积为64,求aaem的面积d|LFc分析：如图建立坐标系，设E(e,0), M(8,4),N是AM的中点，故N(4,2) MAM =(8,4)EN = AN-AE =(4,2)-(e,0)=(4-e,2)MULAUMUUIABAM 丄 ETV o (&4)(4一匕2) = 0解得：e=5故ZXAEM的面积为10四、应用向量知识证明等式、求值例5、如图ABCD是正方形M是BC的中点，将正方形折
7、起,使点A与M重合，设折痕为EF, 求AAEM的面积解：如图建立坐标系，设E(e,O),由 正方形面积为64,可得边长为8 由题意可得M(&4), N是AM的 中点，故N(4,2)AM = (&4)EN = AN-AE =(4,2)(eQ)=(4®2)若正方形面积为64,CM»BAM 1ENO (8,4)(4 匕 2) = 0解得：e=5 即AE=54|肚卜|酗|二10练习：PQ过AOAB的重心G,且OPwOAQQsOB求证:+ = 3m n分析:由题意O P=mOA,OQ=nOB9 联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。 由 PO=mOA, QO
8、=nOB 可知:BO分砂的比为加，O分Q册比为PO = mOA QO = nOB由此可设P(®O)0(兀2宀)由向量定比分点公式，可求 P、Q的坐见而G为重心，其坐标也可求出，进而 由向量PG/GQ.得到加的关系。四、应用向量知识证明等式、求值练习：PQ过MAB的重心G, KOP=/wOA,OQ=nOB 求证丄+丄=3m n 证：如图建立坐标系， 设 P(%! ,0)(2(x2 , y2 )A(u,0), B(b, c) 所以重心G的坐标为(弓弋丄)33由 PO=mOA, QO=nOB 可知:PO = mOA QO = nOB即O分云 的比为-%, O分的比为F 求得 P(jnaSy)Qnb, nc)* a + bc、 z , a + bme-33PG (ma，一) GQ = (fib 由向量花更可得：化简得总+a + bc ca + b(ma)(nc)(nb) = 03333五、小结、巩固练习:练习1：证明对角线互相垂直平分的四边形是菱形练习2：如图0为厶ABC所在平面内一点，且满足+BC2 =OB2 +CAC求证:ABXOC