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1、第一章三角函数1.正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角。按边旋转的方向分 零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。角I负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角。2 / 6的J第象限角分:象限角第二象限角类第三象限角I按终边的位置分丿第四象限角 Ik 360° VaV 90° +k 360 ° ,k Z a |90° +k 360 ° VaV 180° +k 360° ,k Z a 180° +k 360 ° VaV 270° +k 360° ,k Z a 270
2、76; +k 360 ° VaV 360° +k 360° ,k Z或 a -90° +k 360° VaV k 360° ,k Z轴上角(象间角)：当角的终边与坐标轴重合时叫轴上角，它不属于任何一个象限.2终边相同角的表示：所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合 S= = a + k 360° ,k Z即 任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整个周角的和。3几种特殊位置的角：终边在X轴上的非负半轴上的角：a = k 360° ,k Z终边在 X轴上的非正半轴上的角：a =180 °
3、+ k 360 ° ,k Z终边在 X轴上的角：a = k 180 ° ,k Z终边在 y轴上的角：a =90° + k 180° ,k Z终边在坐标轴上的角：a = k 90° ,k Z终边在 y=x上的角：a =45 ° + k 180° ,k Z终边在 y=-x 上的角：a = -45 ° + k 180 ° ,k Z 或 a =135 ° + k 180° ,k Z终边在坐标轴或四象限角平分线上的角：a = k 45° ,k Z4弧度：在圆中，把长度等于半径长的弧所对
4、的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。5一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.6如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为I ,那么，角a的弧度数的绝对值是|a |=丄rn rI |rC1 I2 n r1II 2SI rI r18023602相关公式：1807角度制与弧度制的换算：1o rad (2)1rad (-80)01808单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆。9利用单位圆定义任意角的三角函数：设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (X, y)那么:y叫做a的正弦，i己作Sin a即Sina =yX叫做a的余
5、弦，记作 COSa, 即卩(30S a =X叫做a的正切,记作 tan a,即tan a = (X 0)XX10.2f平方关系：SinCQS21Sin、1 CQS2; CQS.1 sin2同角三角函数的基本关系J商的关系【当ak + (k Z)：2CQSSintan11三角函数的诱导公式12三角函数的图像与性质正弦函数y=sinx余弦函数y=cosx正切函数y=tanx定义域RRx|x k , k Z2值域-1,1（有界性）-1,1（有界性）R零 点xx k , k Zx|x k , k Z2x|x k , k Z周期性T=2 T=2 T= 奇偶性奇函数偶函数奇函数单 调 性增区间：2k 二
6、2k (k Z) 2 22k ,2k (k Z)(-+k ,二+k )(k Z)2 2减区间3才 2k ,+2k (k Z)2 22k I2k (k Z)对 称 性对称轴X k (k Z)2X k (k Z)对称中心(k ,0)(k Z)(；+k ,0)(k Z)2k= ,0)(k Z)2图像3,2,1|、f /,-41 :/I IIII :/JrIII I -2 I I I /-21-30 I I I 2 II TIIiI1I1 '2I I I !/I I6公Sink 2Sin式COSk 2COS一 tank 2tan公 SinSin式 COSCOS公 SinSin式 COSCOS【
7、注】其中k Z公 SinSin式 COSCOS四 tantantantantanta n角函数值，等于的冋名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。公式一四可以概括如下:的三5k 2 k Z ,公 Sin COS公 Sin COS22式 COS Sin式 COS Sin22五 tan -COt六 tan COt22公式五和公式六可以概括如下：的正弦（余弦）2函数值，分别等于余弦（正弦）函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号O【奇变偶不变，符号看象限】注意：y Si nx周期为2； y ISi nx周期为; y ISi nx k |周期为2 ; y SinlXl不是周期函数。3
8、/ 613.得到函数y Asin （ X ）图像的方法 y=sinx平移变换y=s in(x+)周期变换 y=sinx周期变换向左或向右平移y Sin X14.简谐运动解析式:yASin (X ),x0,+)振幅：A就是这个简谐运动的振幅。周期：T2 频率：f = 相位和初相1T2冗X称为相位，x=0时的相位ySin(X)振幅变换 y ASin( X)|_|个单位y Sin( X) 振幅变换y Asin( X)右函数的取大值为 a ,取小值为b,血若 Aa- bIa+b则有A , k 2 2_J称为初相。7 / 6第二章平面向量1. 向量：数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量。数量：我
9、们把只有大小没有方向的量称为数量。2. 有向线段：带有方向的线段叫做有向线段。有向线段三要素：起点、方向、长度。UUInUUUUUU3. 向量的长度（模）：向量AB的大小，也就是向量 AB的长度（或称模），记作IAB I。r4. 零向量：长度为O的向量叫做零向量，记作 O ,零向量的方向是任意的。单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。r rra ,都有 O / a。5. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。若向量 a、b是两个平行向量，那么通常记作a / 平行向量也叫做共线向量。我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任一向量6. 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等
10、向量。若向量 a、b是两个相等向量，那么通常记作 a =b。r rUUur r UUU rUUU r rr r7.如图，已知非零向量a、b ,在平面内任取一点 A ,作AB = a , BC =b ,则向量AC叫做a与b的和，记作a b ,r r UUUUUUUUlU 即 a b AB BC AC。向量的加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法。这种求向量的方法称为向量加法的三角形法则。8.对于零向量与任一向量 a，我们规定:a+0=0+a=ar r r r|a+b | |a|+| b|r r r r r r(a+b ) +c a (b+c) r叫做 a的相反向量，记作-a。a和-a互为相反向U
11、UUUJUUuUUlUrUlUUUr9.公式及运算定律：A1A2 +A2A3+.+ AnA 1 = 0 r rrr a+bb a10.相反向量：我们规定，与a长度相等，方向相反的向量,量。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。r r r r r 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+ (-a)=( - a)+a = 0。 如果a、b是互为相反的向量，那么 a = -b , b = - a , a b= 0。 我们定义a-b= a+(- b)，即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量。11.向量的数乘：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘。记作a ,它的长度与方向
12、规定如下：Irr a IrI a当> 0时，a的方向与a的方向相同；r当v 0时，的方向与a的方向相反；=0时，a =0rrrrrrrr12.运算定律:(a)()a()aa a(ab) = arrrrrrr()a(a)(a)(ab) = abrrrrr rr rrr13.定理：对于向量a ( a 0 )、b ,如果有一个实数入，使 b = a ,那么a与b共线。相反，已知向量 a与b 共线，a 0 ,且向量b的长度是向量a的长度的倍，即Ibl= a,那么当a与b同方向时，有b = a ；当a 与b反方向时，有b= a。则得如下定理：向量向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数入，r
13、 r使 b = a。IrIrr14.平面向量基本定理：如果e、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数 1、2 ,使a1e12e2。我们把不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。r rr rIUIr rUlUr r15.向量a与b的夹角：已知两个非零向量 a和b。作OA a，OB b ,贝U AOB ( 0° 180° )叫做向量a与b的夹角。当 =0°时，a与b同向；当 =180°时，a与b反向。如果a与b的夹角是9。°,我们r rr r说a与b垂直，记作a b。16. 补充结
14、论：已知向量a、b是两个不共线的两个向量，且m、n R ,若ma nb 0,则m=n=0。17. 正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。rr18两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)。即若a (1,y1) , b (x2, y2),则r rr ra (x1, y1),贝U a ( x1, y1)一 _a b (x1 x2,y1 y2), a b (x1 x2, y1 y2)19. 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。即若r r r r20. 当且仅当x1y2-x2y1=0时，向量a、b ( b 0 )共线AIUlll2i.定比
15、分点坐标公式：当PiPUuuIPP 2时，P点坐标为(iX2当点P在线段PiP2上时，点P叫线段PiP2的内分点，>Cy2当点P在线段PiP2的延长线上时，P叫线段PiP2的外分点，v -i ；当点P在线段Pi P2的反向延长线上时，P叫线段Pi P2的外分点，-i vv 0.22.从一点引出三个向量，且三个向量的终点共线,UULrUUU UuU则 OC OA OB ,其中 + =i23.数量积（内积）已知两个非零向量 a与b ,我们把数量I a |b ICOS叫做a与b的数量积（或内积），记作a b即a b = |； |b |cos 。其中是；与b的夹角，| a |cos （| b |
16、 cos ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。我们规定，零向量与任一向量的数量 积为0。24. a b的几何意义：数量积a b等于a的长度丨:丨与b在a的方向上的投影|bcos的乘积。Prrrr rr r r rr r Prrrr25. 数量积的运算定律： a b = b a（入 a ） b =入（a b ）=a（ b ）3（ a + b） c = a c + b C9 / 62rb)r a2r br br a22r a2rb) r a2r br br a22r arb)r rb)2r b2r a26.两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。即a bXi X2yy。则:若a (x
17、, y),则 | a|2 X2y2 ,或 IalX2。如果表示向量a的有向线段的起点和中点的坐标分别为(Xi,yj、（ X2，y2），那么 a(X2Xi，y2%),|a| .(XXI)2 (y? y)2设a( Xi，%)，b ( X2,鬧，则X1X2y227.设a、b都是非零向量,a (Xi,y)， b(X2，y2)， 是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得： CoSabXi X221Xi2yyyI 2 2.X2 y2第三章三角恒等变换i.两角和的余弦公式【简记C（a+）】：coscoscosSinSincoscoscosSinSin:左加号，右减号。同名函数之积的和与差。的余弦值
18、。）“正用”、“逆用”、“变用”SinSincoscosSinSinSincoscosSin2两角差的余弦公式I简记Oa- ）：3.两角和（差）余弦公式的公式特征 叫复角，通过单角的正、余弦求和（差）4.两角和的正弦公式 【简记S（ +）】：5.两角差的正弦公式 【简记S（ a - ）】：a、B叫单角，a±6.两角和（差）正弦公式的公式特征及用途:左右运算符号相同。右方是异名函数之积的和与差，且正弦值tan tan1 tan tantan tan1 tan tan9两角和（差）正切公式的公式特征及公式变形:左边的运算符号与右边分子的运算符号相同,右边分子分母在前，余弦值在后。用途：可
19、以由单角的三角函数值求复角（和角与差角）的三角函数值。7.两角和的正切公式【简记T（ +）】：tan（8两角差的正切公式【简记T（- ）】：tan（111 / 6运算符号相反。公式变形：tantantan()(1tantan ) tan tan tan()(1tan tan )10.辅助角公式：acosxbsin X,a2 b2(a.a2 b二 COSX=SinX)2.a2 b2令Sinacosb其中为辅助角，tana b11 .倍角的正弦【简记S2】、余弦【简记C2 J1、正切【简记T2J公式（升幕公式）sin 22sin coscos22 2 cosSin2cos2112s in22ta ntan22 ,(k,2kJk)1 tan224作用：缩角升幕. acosx bsinx 、a2 b2 Sin(x)12.半角的正弦【简记S刁】、余弦【简记C迈】、正切【简记TP】公式（降幕公式）1cos212cos212cos21coscos2tan2sin2sin 2Sin 2(Sin(Sincoscos(1 tan B)2)2)2Sincoscos13.补充：若A,则(1 tanA)coscosSinSin2 sin(,2 sin(2 cos(、2 cos(