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1、圆周运动的向心力及其应用【学习目标】1、理解向心力的特点及其来源2、理解匀速圆周运动的条件以及匀速圆周运动和变速圆周运动的区别3、能够熟练地运用力学的基本方法解决圆周运动问题5、理解外力所能提供的向心力和做圆周运动所需要的向心力之间的关系，以此为根据理解向心运动和 离心运动。【要点梳理】 要点一、物体做匀速圆周运动的条件 要点进阶:物体做匀速圆周运动的条件：具有一泄速度的物体，在大小不变且方向总是与速度方向垂直的合外 力的作用下做匀速圆周运动。说明：从物体受到的合外力、初速度以及它们的方向关系上探讨物体的运动情况，是理解运动和力 关系的基本方法。要点二关于向心力及其耒源1、向心力要点进阶：（1
2、）向心力的上义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力.<2）向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。（3）向心力的大小：F. = m向=In = rnr向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积：对于确左的物体，在半径一泄的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平 方；线速度一立时，向心力反比于圆周运动的半径：角速度一沱时，向心力正比于圆周运动的半径。如果是匀速圆周运动则有:打寸=mcl;Il = In = mr = mr<4）向心力的方向：口速度方向垂直，沿半径指向圆心。（5）关于向心力的说明： 向心力是按效果命名的，它不
3、是某种性质的力； 匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改 变速度的大小； 无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不 变的，仅方向不断变化。2、向心力的来源要点进阶：（1）向心力不是一种特殊的力。重力（万有引力）、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力 都可以作为向心力。（2）匀速圆周运动的实例及对应的向心力的来源（如表所示）：图形受力分析力的分解方法满足的方程及 向心加速度$rFcos 0 亠 mg、 IASin 0 = 7w2sin , 或 /Igtall = sin 9a =gta m&
4、#163;.jizwgXIEhy F ACoS B 二 mg、Q FSin O = m2 (d +sin ), "gFr吨mg或 mgtan 0 = m ( d + ISin ) 9a =gtan X”Cr FNCOS = mg, LFNSin0 = m2r.OA2或 mgtan = rnr,a = gtan 0在水平面上F*料,Fj. COS = mg.<占2,F升 Sin = n r,或 mgtan = mr2,U = gtan FNyFN rng9<F拉=mg = mr, a = mfmT在水平面上mgX亠FNFitO mg要点三、匀速圆周运动与变速圆周运动的区别1
5、、从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动要点进阶：(1) 匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之也就是说物体受到的 合外力完全充当向心力的角色。例如月球用绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半 径指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。(2) 在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。例如用一根细线拴一个小球在竖直平而内做变速圆周运动，它的受力情况如图所示，物体受到线的拉力Fh和重力mg的作用，其合力分解为两个分量：向心力和切向力。向心力改变着速度的方向，产生向心加速度；切向力与线速度
6、的方向相同或者相反，改变着线速度 的大小使得物体做变速圆周运动。2、从圆周运动的规律看匀速圆周运动和变速圆周运动要点进阶：（1）匀速圆周运动和变速圆周运动所适用的共同规律F2无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心加速度的大小总是：G向= = r6?2 （公式中的In r每一个量都是瞬时量，任何一个时刻或者任何一个位置都可以用公式计算向心加速度。）换一种说法就是：2在圆周运动中的任何时刻或位置，牛顿运动左律都成立，即= Ina向=m- = mr2例如上而的例子，用一根细线拴一个小球在竖直平而内做变速圆周运动在图中所示的位置用牛顿 第二定律可得：% = F悅-Ing COS =叫=InCfiLrF
7、H) = Ing Sin = n 切（2）只适用于匀速圆周运动的计算公式:=m42Tr=ib4,2/2因为在匀速圆周运动的过程中各个量大小的平均值和瞬时值是相等的：如果将上式用在变速圆周运 动中，彗色结果仅是一个意义不大的粗略的平均值。要点四、圆周运动的实例1、水平而上的圆周运动要点进阶：(I)圆锥摆运动：小球在细线的拉力和重力作用下的在水平而上的匀速圆周运动，如图所示: 向心力来源：物体重力和线的拉力的合力，沿着水平方向指向圆心。 力学方程：吨辭,湖 问题讨论：乳物体加速度与夹角&的关系：d = gtan<9,向心加速度越大时，夹角0越大。b.角速度与夹角&的关系:，可
8、见角速度越大时，夹角&越大。(2)在水平圆盘上随圆盘一起转动物体向心力的来源：如图，在竖直方向上重力和支持力平衡，物体做圆周运动的向心力由物体所受的静摩擦力提供。静摩擦力的方向:当物体做匀速圆周运动时，这个静摩擦力沿着半径指向圆心：当做变速圆周运动时，静摩擦力还有一个切线方向的分量存在，用来改变线速度的大小。静摩擦力的变化：当水平圆盘的转速增大时，物体受到的静摩擦力也随之增大，当物体所需要的向心力大于最大静摩 擦力时，物体将相对于圆盘滑动，变为滑动摩擦力。2、竖直平而内的圆周运动 要点进阶：(1)汽车过拱形桥在竖直而内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。对于匀速圆周运动处
9、理起来一 般比较方便。对于变速圆周运动，定量的讣算通常是在圆周的最高点和最低点处用牛顿第二左律。例如: 汽车通过半圆的拱形桥因为桥而对汽车提供的只能是支持力。 汽车在点位置I最髙时，对车由牛顿第二左律得：>mg _ Fn =w A为了驾驶安全，桥而对车的支持力必须大于零，即血>0从而解得车的速度应满足关系v< ygR（如果V = 际,在不计空气阻力的情况下，车将做平抛运动） 孑2V 汽车在位置II时有2g径一FN =IU =>mgSin-FN= In-RJ又FN >0 解得VyqgRSin8（2）汽车通过圆弧型的凹处路而如图在最低点处，对车运用牛顿第二左律得：桥面
10、对车的支持力FiV = mg +r可岁:随考车的速些增大,路面对车的支持力变大。要点五、圆周运动中的超重与失重1、超重与失重的判断标准要点进阶：（1）运动物体的加速度方向向上或者有向上的分量时，物体处于超重状态，物体对水平支持而的压力 大于自身的重力。（2）运动物体的加速度方向向下或者有向下的分量时，物体处于失重状态，物体对水平支持而的压力 小于自身的重力。2、圆周运动中的超重与失重现象要点进阶：（1）失重现象：在竖直而上的圆周运动，物体处在圆周的最髙点附近时，向心加速度竖直向下，物体 对支持物的压力小于自身重力。V2例如在拱形桥顶运动的汽车，由上而计算有FN =ng-m,它对于桥而的压力小于
11、重力。R（2）超重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最低点附近时，向心加速度竖直向上，物体 对支持物的压力大于自身重力。2/MV 例如汽车通过圆弧型的凹处路面在最低点处，桥面对车的支持力巧=mg +大于自身重力。r要点五、关于离心现欽1、外力提供的向心力与做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响要点进阶：（1）外力提供的向心力：是某个力、几个力的合力或者是合力在半径方向上的分量，是实实在在的相 互作用。（2）做圆周运动需要的向心力：是指在半径为r的圆周上以速度V运动时，必须要这么大的一个力， 才能满足速度方向改变的要求。（3）供需关系对物体运动的影响：外力提供的向心力等于物体做
12、圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动；外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动一一离心运动外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动也可称之为向 心运动2、离心现象及其运用要点进阶：（1）被利用的离心现象：洗衣机甩干衣服：水珠和衣服之间的附着力不足以提供水珠高速转动时需要的向心力，而做离心运 动从而脱离衣服，使得衣服变干。离心沉淀器：悬浊液在试管中髙速转动时，密度大于液体密度的小颗粒做离心运动，密度小于液体 密度的小颗粒做向心运动，从而使得液体很快被分离。离心水泵：水在叶轮转动的作用下做离心运动，从而使得水从低处运动到高处，等等。（2
13、）需要防止的离心现象：高速转动的砂轮会因为离心运动而破碎，造成事故；火车或者汽车会因为转弯时的速度过大而岀现侧滑、倾翻，造成人员伤亡等。【典型例题】类型一、水平而上的圆周运动例1、如图所示，两个质量均为m的小木块a和b （可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴Ocr的距离 为1，b与转轴的距离为21,木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g, 若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速运动，用0表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是（）A. b泄比a先开始滑动B. a、b所受的摩擦力始终相等D当= 时，a所受的摩擦力大小为灯举一反三【变式】原长为L的轻弹簧一端固定一小铁块，另一端连
14、接在竖直轴00'上.小铁块放在水平圆盘上, 若圆盘静止，把弹簧拉长后将小铁块放在圆盘上，使小铁块能保持静止的弹簧的最大长度为5L/4,现将 弹簧长度拉长到6L/5后,把小铁块放在圆盘上，在这种情况下，圆盘绕中心轴OO'以一左角速度匀速 转动，如图所示.已知小铁块的质量为m,为使小铁块不在圆盘上滑动，圆盘转动的角速度最大不得 超过多少？类型二.实际生活中的圆周运动例2、质量不i的轻质弹性杆P插入桌而上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球 在水平而内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为如图所示，则杆的上端受到球对其作用力的大C. myg1 2 +R2D.不能确龙举一
15、反三【变式】铁路弯道的内外侧铁轨往往不在同一水平面上，质量为H的火车，以恒眾的速率在水平面内沿一段半径为r的圆弧道转弯，受力如图所示，已知内外铁轨的倾角为CU 例3、如图所示，在光滑的水平桌而上有一光滑小孔0, 根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m=l kg 的小球A,另一端连接质量为M=4kg的重物B.求：（1）当A球沿半径为R=O. 1 m的圆做匀速圆周运动，其角速度为 = 10rads时，B对地而的压力为多 少？（2）要使B物体对地面恰好无压力，A球的角速度应为多大？（g取10/Q）举一反三【变式1】建筑工地上常使用打夯机夯实地基，如图是英结构原理图。长为/的连杆（质量可忽略）固 左在轮盘月
16、上，轮盘月和连杆固泄在一起可一起绕轴0旋转，连杆列一端固立一质疑为0的铁块，电动 机通过皮带轮带动轮盘月和连杆，可在竖直平而内做圆周运动。当旋转的角速度达到一定数值，可使质 量为."（不包括铁块的质量e）的打夯机离开地而，然后砸向地而，从而起到夯实地基的作用。试分析 连杆转动的最小角速度。【变式2】一质虽为M、倾角为&的斜面体在水平地而上，质量为m的小木块（可视为质点）放在斜而 上，现用一平行于斜面的、大小恒上的拉力F作用于小木块，拉力在斜而所在的平而内绕小木块旋转一 周的过程中，斜而体和木块始终保持静止状态，下列说法中正确的是（ ）A. 小木块受到斜而的最大静摩擦力为JF+
17、OngsiMfB. 小木块受到斜而的最大摩擦力为F-mg sin C. 斜面受到地而的最大静摩擦力为FD. 斜而体受到地而的最大摩擦力为FCoSe【巩固练习】一、选择题：1、如图所示，在光滑水平而上，质量为m的小球在细线的拉力作用下，一速度y做半径为r的匀速圆 周运动。小球所受向心力F的大小为（）2A. m一C. mvrD. mvr22、一小球质量为b用长L的悬线固左于O点，在O点正下方L/2处钉有一根长钉。把悬线沿水平方向 拉直后无初速地释放，当悬线碰到钉子瞬间，则（）A. 小球的速度突然增大B.小球的向心加速度突然增大C.小球的角速度突然增大D.悬线的弹力突然增大3、飞行员的质虽为m,驾驶
18、飞机在竖直而内以速度V做匀速圆周运动，在竖直面上的圆周最高点和最低 点，飞行员对座椅的压力（）A. 在最低点和最髙点时相等B.在最低点比最高点大£-C.在最低点比最髙点大2第D.在最低点比最髙点大4、如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上，不 考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，F列说法正确的是（）AA的速度比B大B. A与B的向心加速度大小相等C. 悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D. 悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小5、如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做 圆
19、周运动，运动中小球所需的向心力是（）A. 绳的拉力B. 重力和绳拉力的合力C. 重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力D. 绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力6、如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A 和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动.则下列说法正确的是（）C.D.A. 球A的线速度必左大于球B的线速度B. 球A的角速度必左小于球B的角速度C. 球A的运动周期必左小于球B的运动周期D. 球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力7、质量为m的物体随水平传送带一起匀速运动，A为传送带的终端皮带轮，如图所示，皮带轮半径为 r,要使物体通过
20、终端时能水平抛出，皮带轮的转速至少为（）二. 填空题:1、一个做匀速圆周运动的物体，如果轨道半径不变，转速变为原来的3倍，所需的向心力就比原来大40N,则物体原来的向心力为:若转速不变，轨道半径变为原来的3倍，所需的向心力比原来大40N,那么物体原来的向心力为o2、一辆卡车，在丘陵地上以不变的速率行驶，地形如图所示，由于车轮太旧，途中“放了炮S你认为 在图中的A、B、C. D四处中哪一处“放炮”的可能性最大?3、如图，一辆汽车在水平路而上行驶时对地而的压力 汽车所受的重力：通过凹形路而最低处时对路面的压力 汽车所受的重力。（选填“大于S “等于”或“小于”）（选填“大于J “等于”或“小于”）
21、4、如图，小球用一细绳拴住在光滑水平而上绕光滑钉A做匀速圆周运动，当细绳碰到左侧的光滑钉B 后，小球圆周运动的半径将减小。此后，小球运动的线速度的大小将,角速度将,周期将,向心加速度将,细绳拉力的大小将（填“变大J “变小”或“不变”）。5、汽车起重机用5m长的绳吊着1吨的重物，以2ms的速度水平匀速行驶，如果突然刹车汽车停止运 动，这瞬间绳子所受的拉力增加No三、计算题:1、长为L的细线，拴一质量为m的小球，一端固定于0点，让其在水平而内做匀速圆周运动(这种运 动通常称为圆锥摆运动)，如图所示.当摆线L与竖直方向的夹角为U时，求：(1) 线的拉力F：(2) 小球运动的线速度的大小:(3) 小
22、球运动的角速度及周期.2、有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示长为L的钢绳一端系着座椅另一端固立在半径 为r的水平转盘边缘.转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动.当转盘以角速度匀速转动时，钢绳与转轴 在同一竖直平而内，与竖直方向的夹角为0不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度3与夹角0的关系3、如图所示，一个竖直放置的圆锥简可绕其中心轴Oey转动，简内臂粗糙，简口半径和筒髙分别为R 和H,筒内壁A点的高度为简高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：(1)当简不转动时，物块 静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；(2)当物块在A点随筒做匀速运动，且其所受到的摩擦 力为零时，筒转动的角速度.4、质量为In的物体，沿半径为R的圆形轨道滑下，如图所示，当物体通过最低点B时速度为U ,已知物 体和轨道间的滑动摩擦因数为，求物体滑过B点时受到的摩擦力的大小。5、如图所示，质量为In的小球沿半径为R的半球形碗的光滑内表而以角速度Q在一水平而内做匀速圆 周运动，求小球做匀速圆周运动的水平而离碗底的髙度氏（1）车的速率v。为多大时，使车轮对铁轨的侧压力正好为零？（2）如果火车的实际速率Vv0,分析铁轨对车轮的施力情况。