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1、因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法 .： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法 .在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，
2、例如：（1）(a+b)(a-b) = a2 -b2 -a2 -b2=(a+b)(a-b) ；(2)(a±b) 2= a 2 ±2ab+b2 a 2±2ab+b2=(a ±b) 2 ；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a 3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ；(4)(a-b)(a22333322+ab+b ) = a-b -a-b =(a -b)(a+ab+b ) 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2
3、 -ab-bc-ca) ；三、分组分解法 .（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组， 后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式 = (aman)(bmbn)= a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！= (m n)( a b)例 2、分解因式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式 = (2ax10
4、ay)(5by bx)原式 = (2ax bx)( 10ay 5by)= 2a( x5 y)b( x5 y)= x(2ab)5y(2a b)= ( x 5 y)(2ab)= (2ab)( x5 y)练习：分解因式1、a 2abac bc、2 xy xy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： x 2 y 2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。例 4、分解因式： a 22abb 2c 2解：原式 = (x 2y 2 )( axay)解：原式 = ( a22abb 2 )c 2= (xy)( xy)a( x
5、y)= (ab)2c 2= (xy)( xya)= (ab c)(a bc)练习：分解因式3、x2x 9 y23y、x2y2z22 yz4综合练习：（1）x32y xy2y3（ ） ax 2bx 2bx ax a bx2（3）x26xy9y21628a1（ ） a 26ab 12b 9b 24aa4（5） a42a3a29（ ）4a2x4a2y2x2y6bb（7）x22xy xz yz y2（ ） a 22a b 22b 2ab 18（9） y( y2)(m1)(m1)（ 10） ( ac)(ac)b(b2a)四、十字相乘法 .（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2( pq) xp
6、q(xp)( xq) 进行分解。（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例. 已知 0 a 5，且 a 为整数，若 2x23xa 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的 a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式 ax2，都要求b24ac>0而且是一个完全平方数。9 8a为完全平方数， a1+bx+c于是例 5、分解因式： x 25x6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于 5。由于 6=2× 3=(-2)× (-3)=1× 6=(-1) × (-6) ，从中可以发现只有2×
7、3 的分解适合，即 2+3=5。12解： x25x6 = x2( 2 3) x 2 313= (x 2)( x 3)1× 2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： x 27x6解：原式 = x2(1)( 6) x( 1)(6)1-1= (x 1)( x6)1-6（ -1）+（-6）= -7练习 5、分解因式 (1) x214 x 24(2) a215a 36(3) x24x 5练习 6、分解因式 (1) x2x 2(2) y 22y 15(3) x 210 x 24（二）二次项系数不为1 的
8、二次三项式 ax 2bx c条件：（1） aa1 a2a1c1（2） cc1c2a2c2（3） ba1c2a2 c1b a1c2a2 c1分解结果： ax2bxc = (a1 xc1 )(a2 x c2 )例 7、分解因式： 3x 2 11x 10分析：1-23 -5（ -6） +（-5） = -11解： 3x21110= ( x2)(3x5)x7x 2练习 7、分解因式：（1） 5x27 x 6（ ） 3x 22（ 3） 10x 217 x3（4）6y 211y10（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式： a 2 8ab 128b2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于a 的
9、二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b1 -16b8b+(-16b)= -8b解： a28ab1 2 b82 = a28b( 16b)a8b( 16b)= ( a 8b)( a 16b)练习 8、分解因式 (1) x23xy2 y 2 (2) m26mn8n2 (3) a 2ab6b2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、2 x27xy6y2例、2y23xy 210x1-2y把xy 看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2 y)( 2x3y)解：原式 = ( xy1)( xy2)练习 9、分解因式：（1）15
10、x27xy 4 y2（ ） a 2 x26ax82867x31（）22综合练习 10、（ 1） x12x11xy15y2（3） (x y) 23(x y) 10（ ）24a 4b 34 ( a b)（5）2y25x2y6x2（ ） m24mn 4n 23m 6n 2x6（7）x24xy4y22x4y3（ ）223(a22) 10(ab)28 5(a b)b（9） 4x24xy6x3yy 210（10） 12( xy)211(x 2y 2 )2(xy)2五、换元法。例 13、分解因式（ 1） 2005x 2(200521) x2005（2） ( x 1)( x 2)( x 3)( x 6) x
11、2解：（1）设 2005= a，则原式 = ax2(a 21) xa= (ax1)( xa)= (2005 x 1)( x2005)（ 2）型如 abcde的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 = ( x 27x 6)( x25x 6)x 2设 x25x6 A ，则 x27x 6 A 2x原式 = (A2x) Ax 2 = A22 Axx2= (Ax)2 = ( x26x6) 2练习 13、分解因式（ 1） (2xyy2 ) 24(2y2 )（ ）23x2)(4x28x 3) 90xxy x2 (x六、添项、拆项、配方法。例 15、分解因式（ 1） x 33x 24解法 1拆项。解法 2添项。原式 = x31 3x 23原式 = x33x24x 4x 4=(x 1)( x2x 1)3( x1)( x 1)=x( x23x4)(4x4)= (x1)(x 2x1 3x3)= x( x 1)( x4)4( x1)=( x1)( x 24x4)= ( x1)( x 24x4)= (x1)( x2)2= (x1)( x2)2练习 15、分解因式（2）4( x21)2(x 1)4（ ）x47x 214）x 4x22ax 1 a 2( x 1)3第二部分：习题大全经典一：