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1、2013年考研数三真题及答案解析一、选择题1 8小题.每小题4分，共32分.、1 .当XT 0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是()(A) X o(x2) = o(x3)23(B) o(x)o(x ) =o(x )x -1 lim f (x) = lim x 10J0 x(x 1) ln| xlxm1f(x)，m1|x|x-1x(x + 1)ln xlim f (x) = limx >4x >4x-1x(x +1) ln xlim xln,所以x=1是函数f(x)的可去间断点.x 02xln x 2xln x、,.,、入二l lim ，所以所以x = 1不是函
2、数f(x)的-(x +1)ln x(C) o(x2)+o(x2) =o(x2)(D) o(x) + o(x2) = o(x2)【详解】由高阶无穷小的定义可知(A) (B) (C)都是正确白1对于(D)可找出反例，例如当 x t 0 时 f (x) = x2 +x3 = o(x), g(x) = x3 = o(x2)，但 f (x) + g(x) = o(x)而不是2 .o(x )故应该选(D)._ _ x -1 2.函数f(x)=的可去间断点的个数为()x(x +1) ln|x(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【详解】当 xln x t 0时，xx -1 = exln|x -1 - xl
3、n x ,xxln xlim=1 ,所以x = 0是函数f(x)的可去间断点.t xln x可去间断点.故应该选(C).3 .设Dk是圆域D =<x, y)|x2 +y2 wd的第k象限的部分，记Ik = 0(y x)dxdy,则 Dk()(A) 11A0(B) 12 A0(C) 13 A0(D) 14 A0【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知Ik !(y-x)dxdy 二Dk.1.21d r (sin 1 - cos i)r dr =-k 二2(k)二21. 2二sinr' cosi |23二k-JI岂(sin 二-sin i)d 二.亍二2所以 11 = I3 =0, I2
4、 =二，I432-、一一打，应该选（B）.34.设右n）为正项数列，则下列选择项正确的是（(A)an >an41,贝U £ (1)n%n 收敛;n 1(B)QO工(1)n%n 收敛，贝U an >an+ ； n z4(C)QO工an收敛.则存在常数 P >1,使lim npan存在;ni 二二(D)oO若存在常数P>1,使limnpan存在，则Z an收敛.【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（D）.此小题的（A） （ B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A）,但少一条件lim an_:：选项(B)5 .设A,n =0,
5、显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件,不是必要条件,也不正确，反例自己去构造.B, C均为 n阶矩阵，若AB = C,且B可逆，则(A)(B)(C)(D)矩阵矩阵矩阵矩阵C的行向量组与矩阵 C的列向量组与矩阵 C的行向量组与矩阵 C的列向量组与矩阵A的行向量组等价.A的列向量组等价.B的行向量组等价.B的列向量组等价.【详解】把矩阵A, C列分块如下：A=（%P2,尸n)C=Oi-工),由于ab = c,则可知 7. =bi1«1 +bi2«2 十十bin% (i =1,2,，n),得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示.同时由于B可逆，即A=CB&
6、quot;,同理可知矩阵 A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.应该选（B）.6.矩阵与矩阵相似的充分必要条件是0J1J(A) a = 0,b = 2（B） a = 0 , b为任意常数(C) a =2,b =0(D) a = 2, b为任意常数【详解】注意矩阵0、00ri是对角矩阵，所以矩阵A=与矩阵2似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等.-1 -1止-A =_ a-1- a九-12一 一 一 2- ( -(b 2)' 2b -2a )从而可知2b-2a2 =2b,即a0,b为任意常数，故选择(B).7 .设Xi,X2,X3是随机
7、变量,且 X1 N(0,1),X2 N(0,22),X3N(5,32),P =P、2 <Xi <2),则(A)PiP2P3(B)P2nP3(C)(D) PiP3P2【详解】若X - 1X N(巴仃2),则N(0,1)CT=2中(2)-1, P2=P'：-2 M X2E2b P 1 <X2,-y E1； = 29(1)-1 ,P-2 < X3 M2PW J 7 1 -= G(_1)6工中I 3J-P2 =1i-3(1) <2 -3(1) <0.312862【详解】.'r 'r 'r llllPtX Y =2： = P1X =1,
8、Y =1J P1X =2,Y =0J P1X = 3,Y = -1:=12 24 246,故选择(C).二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)9.设曲线y = f (x)和y =x2 x在点(1,0处有切线，则lim nf f ： -,n - 2【详解】由条件可知 f (1 )=0, f'(1) =1 .所以lim nfn )二二, ;limfn 2 n 二1 二2n 2f(1)-2 n 2=-2f'(1)=210.设函数【详解】n 2 -2nx . 、；zz=z(x, y 谑由万程(z+y) =xy 确定，则 一 |(i,2)=.二 x设F(
9、x, y, z)=(z + y)x xy,则Fx(x, y,z)=(z + y)xl z + y) y, Fz (x,ry, z) =x(z+ y 严，(当 x=1,y=2 时，z = 0,所以|(1,2) = 2-2ln2. .x 二 ln x ,11.2" d x = .1 (1 x)2【详解】二 ln x2(1 x)dx-Ho-11nxdln x1 x|1 ：一1一dx=ln1 x(1 x)1111n 21.12 .修分方程 y - y +y=0的通解为.411【详解】方程的特征方程为 T -九十=0 ,两个特征根分别为 匕=九2 =，所以方程通42x解为y=(C +C2x)e
10、2,其中Ci,C2为任意常数.13 .设A = Qj :fe三阶非零矩阵，A为其行列式，Aj为元素aj的代数余子式，且满足Aj +aj =0(i,j =1,2,3),则 A【详解】由条件 A +a0 =0(i, j =1,2,3)可知A + A*t =0,其中A*为A的伴随矩阵，从而可知* T3a" = a =|a =_A,所以a可能为1或0.n,r(A)=nT但由结论r(A )=*,r(A) =n 1可知，A+A* = 0可知r(A) = r(A*),伴随矩阵的秩只0,r(A) <n-1能为3,所以A二1.14.设随机变量 X服从标准正分布X N(0,1),则 E(Xe2X
11、)=.【详解】E Xe2X = 2x 1T-xe e 2 dx =f。2二三.2e2e 2 dx =2 二(x -2)2(x-2 2)e-dx6t2t2'2e2.f -tedt+2f edt =e2E(X)+2e2* _cO* q'所以为2e2 .三、解答题15.(本题满分10分) 当xt 0时，1 cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，求常数 a,n .【分析】主要是考查 xt 0时常见函数的马克劳林展开式.10. 0.【详 斛】 当 xt 0 时 ， c x o 1 -s x +o(x ),2cos2x = 1(2x)2 o(x2) = 1-2x2 o(x2),
12、2 1229 22cos3x =1 -(3x) o(x ) =1 _x o(x ),所以_122_229 22221 - cosxcos2xcos3x = 1 - (1 - - xo(x )(1 - 2x o(x )(1 - - x o(x ) = 7x o(x )由于1cosxcos2xcos3x与axn是等价无穷小，所以 a =7,n = 2 .16.(本题满分10分)3 一_ . _ _设D是由曲线y = x ,直线x =a (a A0)及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10Vx =Vy ,求a的值.【详解】由微元法可知Vx -二aa _
13、2 3 y dx -二 x3dx =03 a3 二;54 aa -Vy =2二 °xf(x)dx=2二 ° x3dx由条件 10Vx =Vy ,知 a =7/7.17 .(本题满分10分)设平面区域D是由曲线x =3y, y =3x, x+y =8所围成，求fx2dxdy .D【详解】2222 23x6 28/ffx dxdy = JJx dxdy + jjx dxdy = J0 x dx& dy +(x dxjx dy =DiD2416318 .(本题满分10分)设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为p=60-Q,(P1000是单价，
14、单位：元， Q是销量，单位：件)，已知产销平衡，求:(1)该的边际利润.(2)当P=50时的边际利润，并解释其经济意义.(3)使得利润最大的定价 P.【详解】-2(1)设利润为 y ,则 y = PQ (6000 +20Q) =40Q 6000,1000边际利润为y' = 40.500(2)当P=50时,Q=10000,边际利润为20.经济意义为：当 P=50时，销量每增加一个，利润增加20.(3)令 y' = 0 ,得 Q =20000,P =60 -20000 =40.1000019 .(本题满分10分)设函数f(x )在0,y)上可导，f(0)=0,且%f (x) =2,
15、证明(1)存在 a >0 ,使得 f (a )=1;1(2)对(1)中的a ,存在之三(0,a),使得f')a【详解】35证明(1)由于lim f(X)=2,所以存在X >0 ,当x >X时，有3 H f (x) < -, xt'j22又由于f (X )在0,+8)上连续，且f(0)=0,由介值定理，存在 a>0,使得f(a)=1;(2)存在函数f(x堆0,a上可导，由拉格朗日中值定理,之 w(0,a),使得 f'(U) = f -f(0)20.(本题满分11分),问当a,b为何值时，存在矩阵 C,使得AC-CA= B,并求出所有矩阵【详解
16、】C.显然由AC-CA = B可知，如果C存在，则必须是2阶的方阵.X1X2<X3X4 J则AC CA = B变形为一 X2 ax3- ax1 X2 ax4<X1 -X3 -X4x2 - ax3<1bJ-X2 a& = 0ax1 x2 ax4 = 1即得到线性方程组|X1 - X3 - X4 -1要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方X2 -aX3 =b程组的增广矩阵进行初等行变换如下-1-1A|b =I0-abJI0所以，当a =1,b=0时,线性方程组有解,即存在矩阵C,使得 AC -CA = B.-1-1此时，A|b 0.)X1所以方程组的通解为X2X3C1
17、-1C2,也就是满足 AC - CA = B的矩阵(0111 +G +C2C1-Ci、,+1 ，其中Ci, C2为任意常数.C221.(本题满分11分)22.设 一次型f(X1 ,x2,x3) =2(31x1 +a2x2 +a3x3) +(b1x1 +b2x2 +b3x3), 记(1)证明二次型f对应的矩阵为2o(a T +PPT(2)若巴 P正交且为单位向量，证明 f在正交变换下白标准形为 2y2十y；.【详解】证明：(1)22f (%?2?3)=2(31% 82x2 83x3)(匕“ b?x24x3)6、b2 bbh)1b3,a1 "& ”= 2(x1，x2,x3) 82
18、 ：a1,a2,a3 x2 +仅？2,&)1% A '=仅1?2,&(2a3T x2 +(x1，x2,x3 俾 T )x2= (x1,x2,x3 jj2aaT + PFT ： x2<x3 >所以二次型f对应的矩阵为2o(a T + PP T .证明(2)设 A =2a二丁 + PP T ,由于 0 =1, PTa =0则A« =(2aaT + PP T以=2汽网2 +PPTa =2，所以a为矩阵对应特征值 = 2的特征 向量；AP =(2aaT +PPT户=2ssTP +即:= P，所以P为矩阵对应特征值% = 1的特征向 量；而矩阵 A 的秩 r
19、(A) =r(2aaT +PP T) <r(2aa T) +r(PP T) = 2 ,所以 % =0也是矩阵的 一个特征值.故f在正交变换下白标准形为2y； + y2 .22.(本题满分11分)设(X ,Y )是二维随机变量，X的边缘概率密度为f X (x) = gx :x <1 ,在给定X =x(0 <x <1)的条件下，Y的条件概率密度为 fYq(y/x)=,0 二 y :二 x,0,其他(D求(X ,Y )的联合概率密度f (x, y卜(2) Y的的边缘概率密度 fY(y).【详解】(1) (X,Y的联合概率密度 f(x,y )：f x, y = fYx(y/x)
20、 fX (x)9y2 八 _,0 : x ： 1,0 : y :二 x=« x0,其他(2)y的的边缘概率密度 fY(y)：0,fY(y) = jf (x, y)dx 二22 ,-dx = -9y In y,0 : y ； 1其他23.(本题满分11分)u2 二设总体x的概率密度为f (x； e)= <-e x. x 0.x3' ，其中日为为未知参数且大于零,0,其他X1X2，Xn为来自总体X的简单随机样本.(1)求日的矩估计量;(2)求日的极大似然估计量.【详解】(1)先求出总体的数学期望 E (X)二 二二2 一?E(X) = Lxf(x)dx= J。=exdx=6,“ 1二八1 - 1令 E(X) =X =X Xi ,得 8 的矩估计量 X =x =Z Xi .n ndn v当xi >0(i =1,2，n)时，似然函数为nL(句-Jil【2-3 eXie >I取对数,n nIn L(0) =2nlne -0 工I xi Jn3 lnxi ,i 4人 dlnL(u)2n 、n 1cH令-=0 ,得 一 _£ 一 =0 ,解得的极大似然估计量为