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1、3.2独立性检验的基本思想及其初步应用（一）高二数学 选修2-3 第三章 统计案例独立性检验本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。 吸烟与肺癌列联联表不患肺癌患肺癌总计总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计总计9874919965为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）列联表在不吸烟者中患肺癌的比重是 在吸烟者中患肺癌的比重是 说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大。0.5
2、4%2.28%探究不患肺癌患肺癌总计总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计总计98749199651、列联表2、三维柱形图3、二维条形图不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟不患肺癌患肺癌吸烟不吸烟080007000600050004000300020001000从三维柱形图能清晰看出各个频数的相对大小。从二维条形图能看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。通过图形直观判断两个分类变量是否相关：不吸烟吸烟患肺癌比例不患肺癌比例4、等高条形图等高条形图更清晰地表达了两种情况下患肺癌的比例。 上面我们通过分析数据和图形，得到的直观印象是吸烟和患肺癌有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用
3、统计观点来考察这个问题。 现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”，为此先假设 H0：吸烟与患肺癌没有关系.不患肺癌患肺癌总计总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表 用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于 P(AB)=P(A)P(B).因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。不患肺癌患肺癌总计总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d在表中，a恰好为
4、事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条件下应该有 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量-卡方统计量（1） 若 H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：那么这个值到底能告诉我们什么呢？（2） 独立性检验在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率 即在H0成立的情况下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。 也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01。思
5、考 答：判断出错的概率为0.01。判断 是否成立的规则如果 ，就判断 不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断 成立，即认为吸烟与患肺癌有关系。独立性检验的定义 上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。在该规则下，把结论“ 成立”错判成“ 不成立”的概率不会差过即有99%的把握认为 不成立。独立性检验的基本思想（类似反证法）(1)假设结论不成立,即 “两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下我们所构造的随机变量 K2 应该很小,如果由观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定可信程度上说明 不成立.即在一定可信程度上
6、认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对 的充分证据。(3)根据随机变量K2的含义,可以通过评价该假设不合理的程度,由实际计算出的,说明假设不合理的程度为1%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99%.怎样判断K2的观测值k是大还是小呢？ 这仅需要确定一个正数 ，当 时就认为K2的观测值 k大。此时相应于 的判断规则为：如果 ，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”。-临界值按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误的判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为P( ).在实际应用中，我们把 解释为有的把握
7、认为“两个分类变量之间有关系”；把 解释为不能以 的把握认为“两个分类变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据。思考： 利用上面的结论，你能从列联表的三维柱形图中看出两个分类变量是否相关呢？表1-11 2x2联表 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数列联表（称为2x2列联表）为：y1y2总计总计x1aba+bx2cdc+d总计总计a+cb+da+b+c+d 若要判断的结论为：H1：“X与Y有关系”，可以按如下步骤判断H1成立的可能性：2、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判
8、断的可靠程度。1、通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个变量是否有关系,但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。 （1）在三维柱形图中， 主对角线上两个柱形高度的乘积ad与副对角线上两个柱形高度的乘积bc相差越大，H1成立的可能性就越大。 （2）在二维条形图中,可以估计满足条件X=x1的个体中具有Y=y1的个体所占的比例 ，也可以估计满足条件X=x2的个体中具有Y=y1的个体所占的比例 。两个比例相差越大，H1成立的可能性就越大。在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：0.500.400.250.150.100.455 0.7081.3232.0722.7060.050.0250.0100.0050.0013.841 5.0246.6367.87910.828具体作法是：(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值 ；(2)利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量 的观测值；(3)如果 ，就以 的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据。