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1、基本不等式教案 4（苏教版必修 5） 课 题：不等式的性质（ 1） 教学目的： 1 了解不等式的实际应用及不等式的重要地位和作用； 2 掌握实数的运算性质与大小顺序之间的关系，学会比较 两个代数式的大小 教学重点：比较两实数大小 教学难点：差值比较法：作差变形判断差值的符号 授课类型：新授课 课时安排： 1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、引入： 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事 成因与结果的不同等等都表现出不等的关系，这表明现实世 界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相 对的研究不等关系，反映在数学上就是证明不等式与解不等 式实数的差的正负
2、与实数的大小的比较有着密切关系，这种 关系是本章内容的基础，也是证明不等式与解不等式的主要 依据因此，本节课我们有必要来研究探讨实数的运算性质与 大小顺序之间的关系 生活中为什么糖水中加的糖越多越甜呢 ? 转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(abO)，若再加m(mO) 克糖，则糖水更甜了，为什么 ? 分析：起初的糖水浓度为，加入 m克糖 后的糖水浓度为， 只要证即可怎么证呢 ?引人课题 二、讲解新课： 1不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子， 叫做不等式 说明：(1)不等号的种类：、v、()、w(*)、 丰 ( 2)解析式是指：代数式和超越式 (包括指数式、对数式和 三角式等) (
3、 3)不等式研究的范围是实数集 R 2判断两个实数大小的充要条件 对于任意两个实数 a、b,在a b, a= b , av b三种关系中 有且仅有一种成立判断两个实数大小的充要条件是： 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符 号就可以了，这好比站在同一水平面上的两个人，只要看一 下他们的差距，就可以判断他们的高矮了 三、讲解范例： 例1比较(a + 3) (a-5 )与(a+ 2)( a-4)的大小 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值 的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值 正负 ( 注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里 无关紧要 ) 并
4、根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的 大小把比较两个实数大小的问题转化为实数运算符号问题 本题知识点：整式乘法，去括号法则，合并同类项 解：由题意可知： (a+ 3)( a5) ( a + 2)( a 4) =(a2 2a 1 5) ( a2 2a8) = 7V 0 .( a + 3)( a 5)V( a + 2)( a 4) 例2已知XM 0,比较(x2 + 1) 2与x4 + x2 + 1的大小 分析：此题与例 1 基本类似，也属于两个代数式比较大小， 但是其中的 x 有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起 注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略 本题知识点：乘法公式，去括号法则，
5、合并同类项 解：由题意可知： ( x2+ 1 )2( x4+ x2+ 1 ) =(X4 + 2X2 + 1) ( X4 + X2 + 1) =X4 + 2X2 + 1 X4 X2 1 = X2VXM0 /.x2 0 ( X2 + 1) 2( X4 + X2 + 1) 0 ( X2 + 1) 2 X4 + X2 + 1 例2引伸：在例2中，如果没有XMO这个条件，那么两式的 大小关系如何 ? 在例2中，如果没有XM0这个条件，那么意味着x可以全取 实数，在解决问题时，应分 x= 0和XM0两种情况进行讨论， 即： 当 x = 0 时，(x2 + 1) 2 = x4 + x2 + 1 当 xM0
6、时，(x2 + 1) 2 x4 + x2 + 1 此题意在培养学生分类讨论的数学思想，提醒学生在解决含 字母代数式问题时，不要忘记代数式中字母的取值范围，一 般情况下，取值范围是实数集的可以省略不写 得出结论：例 1 ，例 2 是用作差比较法来比较两个实数的大 小，其一般步骤是：作差 - 变形 - 判断符号这样把两个数的 大小问题转化为判断它们差的符号问题，至于差本身是多少， 在此无关紧要 例3已知abO, mQ试比较与的大小解：abO, mQ.a-bO , a+mOi从而揭示糖水加糖甜更甜的数学内涵 例 4 比较 a4-b4 与 4a3(a-b) 的大小 解： a4-b4 - 4a3(a-b
7、) =(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b) = (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) =(a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3) = - (a-b)2(3a3+2ab+b2) =-(a-b)2 ( 当且仅当d= b时取等号) 二 a4-b44a3(a-b) 说明： 变形 是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、 凑成若干个平方和等是 变形 的常用方法 例5 已知xy，且yz 0,比较与1的大小解：xy ,：x -y0 当y0时，0，即1 当 y0 时， 0，即 1 说明：变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字 母取值范围，进行分类讨论
8、 四、课堂练习： 1 在以下各题的横线处适当的不等号： (1) ( + ) 2 6+ 2; ( 2)() 2(1) 2； ( 3)； 当 a b 0 时，logalogb 答案：(1) v (2)v (3)v (4)v 2 选择题 若 av 0,- 1 v bv 0,则有() Aa ab ab2Bab2 ab a Cab a ab2 Dab ab2 a 分析：利用作差比较法判断 a, ab, ab2 的大小即可 av 0, 1 v bv 0 ab 0, b 1 v 0, 1 b0, 0v b2v 1, 1 b20 二 ab a= a (b 1) 0aba ab ab2= ab (1 b) 0a
9、b ab2 a ab2= a (1 b2)v Oavab2 故abab2 a答案：D3比较大小： (1) (x +5)( x +7)与(x +6) 2; (2) log 与 log 解： (1) ( x+5)( x+7)( x+6 )2 =(x2 + 12x + 3 5 ) ( x2 + 12x + 3 6 ) =1v 0 .( x +5)( x +7)v( x +6) 2 (2) 解法一： (作差法 ) log log = = O.log log 解法二： (中介法，常以 1 ，0， 1作中介 ) T函数y = logx和y = logx在(0 ,+鸡)上是减函数且 log log = 1,
10、 log vlog = 1 log log 4如果x0，比较(一1) 2与(+ 1) 2的大小 解：( 1 ) 2(+ 1 )2 =( 1 )+(+ 1 )( 1 )(+ 1 ) 或( x2+1)( x+ 2+ 1)= 4 t x 0 0 4v 0 ( 1)2v(+ 1)2 5 已知 az 0,比较(a2 + a+ 1) ( a2 2a+ 1)与(a2 + a+ 1)(a2 a+ 1)的大小 解：( a2a1)(a2a1)(a2a1)(a2a1) =：(a2+ 1) 2-( a) 2 ( a2+ 1) 2-a2=-a2 -aM 0 , a2 0 - - a2 v 0 故(a2 + a + 1)
11、( a2 a + 1)v( a2 + a+ 1)( a2 a+ 1) 五、小结 ：本节学习了实数的运算性质与大小顺序之间的 关系，并以此关系为依据，研究了如何比较两个实数的大小， 其具体解题步骤可归纳为： 第一步：作差并化简，其目标应是 n 个因式之积或完全平方 式或常数的形式 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时须进行讨论 第三步：得出结论 在某些特殊情况下 (如两数均为正，且作商后易于化简 ) 还可 考虑运用作商法比较大小它与作差法的区别在于第二步，作 商法是判断商值与 1 的大小关系 六、课后作业： 1 已知，比较与的大小 解：?= . = 2比较 2sin? 与 sin2? 的大小 (0?2?) 解： 2sin?sin2?=2sin?(1?cos?) 当？(0,?)时 2sin?(1?cos?) 02sin? sin2? 当?(?,2?) 时 2sin?(1?cos?)02sin?sin2? 3设且，比较与的大小 解： 当时W;当时 4设且，比较与的大小解：当时 当时 二二总有七、板书设计（略） 八、课后记：