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1、数值分析(p11 页) 4试证：对任给初值 xo,求开方值“/(a 0)的牛顿迭代公式xk 1 - 2(xk ' Xk), k - 0,1,2,恒成立下列关系式：(1) Xk iTa =疥(Xk -a) , k = 0,1,2,.Xk八M k =1,2,证明:(1)Xk 卅一 ja=丄：2<XkXk丿Xk2 - 2 一 aXk a2XkXk - a2Xk（2）取初值Xo 0，显然有Xk0，对任意k _ 0，1c、i a1Xk+ =-xk +=x Xki2lxk丿2、VXkJ2+ 4a>4a6证明:Xk卅一引8110心2 2.5101-2n而Xk+ -x'81；k+H
2、-<82<xk丿若Xk有n位有效数字，则Xk2Xk -82Xkxk 一一82.5-Xk 1必有2n位有效数字。8解：此题的相对误差限通常有两种解法根据本章中所给出的定理：（设X的近似数X*可表示为X*二0.%a2an 10m，如果x*具有I位有效数字，则其相*x X1mi*对误差限为 一 < 江10亍），其中a1为X中第一个非零数）x2a1则Xi =2.7，有两位有效数字，相对误差限为e _ 为11Xi| '厂 10 =0.025x2 =2.71，有两位有效数字，相对误差限为e X2X2I10=0.0252 2X3 =2.718，有两位有效数字，其相对误差限为:X &
3、lt;x 10=0.00025刈 2 2第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于论=2.7，<0.0183Xe0.0183二其相对误差限为 - < 吒0.00678|xJ2.7同理对于x2 =2.71，有|x2 -e0.0083<拓 0.003063X2|2.71对于x3 = 2.718，有X3 -e0.0003一 0.00012X32.718备注：（1）两种方法均可得出相对误差限， 但第一种是对于所有具有 n位有效数字的近似数 都成立的正确结论， 故他对误差限的估计偏大， 但计算略简单些；而第二种方法给出较好的 误差限估计，但计算稍复杂。（2）采用第二种方法时，分子为绝
4、对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五 入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。11.解：222553.142857.，3.1415929.7113221二二兀兰一勺0 ，具有3位有效数字72255JI1131 6兰一x 10 ，具有7位有效数字29解：有四舍五入法取准确值前几位得到的近似值，必有几位有效数字。令Xi ,X2, X3所对应的真实值分别为 X； , X； , X；，贝y1 X1 -*X1 11 w；101X=- 10， ；1X-I -*X-I1/ I X-I121 V10 /2.72 V 0.00184；1X?-*X； 1w ；101_L = arctan(x 1)
5、 - arctanx = arctan 10“；1x；-*X； 1/ I X；1上I V10上/2.71828 V 0.00000184；1 X；-*X； 11V ；101-L = 1 10*；1 X3 -*X； I/ I X3I V -10 °/0.0718 V 0.000697；12.解：11-x =2x；1 ；x1 X(12x)(1 x)1-cosx=-.； Sin x；x-=2si n1 COSX；n；n eX1 疋 i+x+ + +_1=x+ + ；!n!；!n!13.解：、x 1 - . x -1 =；/Xx x r t 1 mX匚x+1dt = arctan(x 1)-
6、 arctanxx 1 t；设 arctan(x 1) =a, arctan x =b,贝Utan (a -b)=tan a ta n b =111 x(x 1)1 tana tan b 1 x(x 1) In(x 一 Jx2 _1) = In1=ln1 一In(x + Jx2 _1) =- ln(x + Jx2 _1)x+fx21习题一(54页)5证明:利用余项表达式(11) (19页)，当f(x)为次数w n的多项式时，由于 fn1(x)=O,于是有RJx)=f(x) Pn(x)=0,即Pn(x)= f (x)，表明其n次插值多项式Pn(x)就是它自身。9.证明：由第5题知，对于次数w n
7、的多项式，其n次插值多项式就是其自身。于是对于 f (x)=1，有 P2(x)= f (x)即,lo(x) f(Xo)+h(X)f(xj + l2(x) f(X2)=f(X)则，Io(x) + h(x)+l2(x)=1nI 丨(x-Xk)k=011.分析:由于拉格朗日插值的误差估计式为f(X) Pn(X)= (n +1)!(n 1)误差主要来源于两部分(n +1)!()和 ?)。k=0对于同一函数讨论其误差，主要与n| (X-Xk)有关。k -0在(1)中计算x=0.472的积分值,若用二次插值，需取三个节点，由于0.472在1 ,2两个节点之间，所以应选1, 2为节点，在剩下的两个点中，x0
8、与0.472更靠近，所以此题应选X。，捲，X2为节点来构造插值多项式。(1) P2(x)= (xX1)(x-X2)y。.(X-X0)(X-X2)y1 (X。 X1)(X° X2)(X1 X°)(X1 X2).(x -X1)(X- X0)(X2 -X1)(X2 -X0)y2 =0.495552915.证明：由拉格朗日插值余项公式有I f(x) p(x) |wf 2()11石一jx"w 11 1I f2(x) |由于(Xj- X。)=(X|- X ' X-X。)=2(X|- X)( X-X°)+(Xi- X)+(x-Xo)A 4(xj - x)(x
9、- Xo).I f(x) - p(x) l< 凶 d max I f2(x) I8X。仝仝j20.证明：当 n=j 时，F(xo，x1) = F(XlF(Xo)=C- f(Xlf(Xo)=Cf(xo，x1) X| XoXi -Xo假设当n=k时，结论成立，则有F(Xo，Xk) = C f (Xo,Xj,.,Xk)；F(xj，Xk i) = C f (Xj,X2,.,Xk i);那么，当n=k+1时，l( 、_ F(Xi,.,XkQ F(Xo,.,Xk)F I Xo 7 X 7 7 Xk 1 =，xk 1Xk i - Xo=Cf(Xi,.,Xki) f(Xo,.,Xk) = C f(xo,
10、xi,.,xk,)Xk i _ Xo证明完毕。(类似的方式可证明第一个结论)2i.解：由定理4 （ 26页）可知:f(n)(©)f (X),xi,., xn)=,其中：e minn!X, max X,0 "：:勺当 n>k 时，f (n)(x) = xk 5)=o；当 n=k 时，f (n)(x) = xUk)=k!；f (xo, Xi ,.,Xn)= “i3.解：由题意知，给定插值点为Xo =o.32, yo =o3i4567; Xi=o.34, yi=°.333487; X?=o.36, y2 =°.352274 由线性插值公式知线性插值函数为
11、P/xJX1 yo + Zl& x_0.34 o.3i4567 + x 一°.32 Q.333487 -o.o20.02Xo - XiXi Xo当 x=0.3367 时，sin 0.3367R(0.3367)0.0519036+0.2784616 0.330365其截断误差为I Ri(x) |w M I (x丨，其中 M2= max I f2(x) I2X)奁弐2f (x) =sin(x) ,f (x)=- sin(x) , M 2= I sin0.34 | 0.3334871于是 I R1(0.3367) I - x 0.333487 x 0.0167 x 0.0033 &
12、lt; 0.92 x 102若用二次插值，则得()(XXj(XX2)+ (XXo)(XX2)+ (XXo)(X XjP2(x)=yo+y1+y(Xo X1)(Xo X2)(X1 Xo)(X1 X2)(X2 Xo)(X2 X1)sin 0.3367 P2(0.3367)疋0.330374其截断误差为I R2(x) Iw 叫 I(X -Xo)(x -X1)(X -X2)I6其中 M3= max I f (x) I = max I cosx I =cos0.32<0.950Xo 色童2Xo1于是 I R2( 0.3367) Iw xI 0.950 x 0.0167 x 0.0033 x 0.0
13、233 I <0.204 x 10“617解：差商表为Xi f (x) 一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商1-3203315156448339151055712 1061928715100由差商形式的牛顿插值公式，有P(X)=f(X°)+ f (Xo, XJ(X -Xo) + f (Xo,X1,X2)(X-X°)(X-X1)+ f(Xo, X1, X2, X3)(XXo )(XX1)(X -X2)=-3+ 3(x -1) + 6(x -1)(x _2) + (x -1)(x _2)(x _3)>?亘s(L)=s(L)-s(L)swgLHXwcxl.q “
14、olu(x)s M 丑 蠢oe(x)de丘監¥(*) <e(oxLx) (ox x) (OXLX)、：丁 T Hoe 二x)"(><)dH(ox) 4 (ox) 4 (xox)4= -CXIlo丄>MOX)二 H(ox)d 哽CN(0XXO+ (ox x) +(oxx)(ox) J +OX 二丄x)d 怒 " z ( X) 4 -= x)-+ (£x) 二记x)(x) ；(>?二丄x 二 爭(T二w¥£郵B丑-sCDCXI(ex)(cxlx)(L x)XL+XH(x)d 宇 Ho 一憾oh(cocxi)(
15、lcxi)- a o+LH(B)Ld eOH (cxl)-d 丑 o X)(<NX)(L x)xo + X H (x)d怒丘COH (co)d (cxl)d (L)dOM (0)d M 曲_a寸CXIz(Lx)x2H(x)d 宇0 Ho 亘 L J(LCXI)-Q 0elH(cxl)d 丑L Z(L X)XOH (x)d 怒亘(LhdH (L)dHo)d M丑一s'b = 2c = 334、解：首先确定求解过程中涉及到的一些参数值。X。- -1,X"i =0,x2 = 1, x3 = 3= h0 = 1,hi =1,h2 =2hohiihohi2idoho(f (x&#
16、176;, Xi) f 0 )= 24=6f(X0,Xi,X2= 6f (Xk)k=0一丨丨(Xk - Xj )j =0j*d3 f (X2,X3)=0h2于是得到关于M°,Mi,M2,M3的方程组:2i/22 0i/2 7/4i/340 2ii02 327 20i（三对角方程）MiM2M 一-2（追赶法）M 0 = _i4Mi =4M2 »2.M3 =i解方程求出MoMjMz'Ms，代入収刈二斗广酗曾Mii6hi6hihih2X_Xih2Mi)- -ACM,)6hi6即得满足题目要求的三次样条函数. 1,0 1 x：= 0,1 1 x11,2143x3 +2x2
17、+x + 1S(x)x3 2x2 x 111 37 219x3x2x -444习题二2解：判断此类题目，直接利用代数精度的定义1 1当 f(x)=1 时，左=dx = x =1右=3 11 ，左=右44当f (x) =x时，左10x dx203 111右=1，左=右4 342当f (x) = x2时，左32 * xx dx =331 211右=(-)2 +-1:一，左=右'434341_ 1左=13X=f0x dx$040403当 f(X)二 X 时,右=4 (3)3-1 =，左=右418所以求积公式的代数精度为2.3解： 求积公式中含有三个待定参数，即:A0, A|, A2，因此令求
18、积公式对f(x) =1,x,x2均准确成立，则有代 +A + A =2h -Rh + Ah-OAh2 +A2h2 =2h3l.314解得：2A h,Ah336. 解:所求公式至少有2次代数精度。又由于当f(x) =x时，左=0右=a0 (_h)3 A2 h3 二 042 5当f (x)二x时，左=h52右=A)h4 A>h4h5 =左所以求积公式只有 3次代数精度。、类似方法得出结论。因要求构造的求积公式是插值型的，故其求积系数可表示为7dxX0X11 11(4x _3)dx =0 221A1 0 h(x)-1ldx)X1 - X。111(4x - 1)dx = 022故求积公式为:10
19、f(x)dx113=(4)f(；)F面验证其代数精度:f(X)=1 时,1左二 x0 =1,右=1f(X)= X 时,1右二-2 2f (x) =x2 时,3左=3右左3167. 证明:所以其代数精度为1。若求积公式对f (x)和g (x)准确成立，则有ag(x)二、k =0Akg(Xk)nf (x)八 Ak f (xk)k=0I Lf (x)】“g(x) dxf(x)dx ： g(x)dxa annn二八 Akf(Xk)八 Akg(Xk)二' A(：f(Xk) 1g(Xk)k0k=0k 二0所以求积公式对:f (x)亠g(x)亦准确成立。kk 1 k次多项式可表示为 akx - ak
20、Jxa1x - a0 = pk (x)若公式对xk(k=0,1,m)是准确的，则有7题中的上一步可知，其对pk(x)亦成立。由代数精度定义可知，其至少具有m次代数精度。12.解:4112To =(f(1) f(5) =2(1 茁匚2815255= 1T04f(3)12 2 1 =2 0225311T2T12f (2) f (4)2214 11101()z79f(7) f(2)15 2 460T3T2 1 1 I f (-) f (5)22 V 22101120+2 )=1.6289687 9丿精确解为：1.6094381 1r 117解：首先将区间0，1变换为-1，1，令x t ，则t' ： 一112 21414112dxdt 二 82dt01 + x + (1t+1 一4+("仃2 2三点咼斯公式为:11 f xdxydt5ft:9对于高斯求积公式，计算系数和节点十分困难），贝yf丄4 t 1:0.3926335i1则二=82dt ： 3.141068=4 +(t +1 )