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1、.薈薆袂艿芈螁螈袅莀薄蚄袄蒃螀羂羃膂薃袈羂芅螈螄羂蒇薁螀羁蕿蒄聿羀艿虿羅罿莁蒂袁羈蒃蚇螇羇膃蒀蚃肆芅蚆羁肆莈葿袇肅薀蚄袃肄芀薇蝿肃莂螂蚅肂蒄薅羄肁膄螁袀肀芆薃螆膀荿蝿蚂腿蒁薂羀膈芁莅羆膇莃蚀袂膆蒅蒃螈膅膅蚈蚄膄芇蒁羃芄荿蚇衿芃蒂葿螅节膁蚅蚁芁莄蒈肀芀蒆螃羆艿薈薆袂艿芈螁螈袅莀薄蚄袄蒃螀羂羃膂薃袈羂芅螈螄羂蒇薁螀羁蕿蒄聿羀艿虿羅罿莁蒂袁羈蒃蚇螇羇膃蒀蚃肆芅蚆羁肆莈葿袇肅薀蚄袃肄芀薇蝿肃莂螂蚅肂蒄薅羄肁膄螁袀肀芆薃螆膀荿蝿蚂腿蒁薂羀膈芁莅羆膇莃蚀袂膆蒅蒃螈膅膅蚈蚄膄芇蒁羃芄荿蚇衿芃蒂葿螅节膁蚅蚁芁莄蒈肀芀蒆螃羆艿薈薆袂艿芈螁螈袅莀薄蚄袄蒃螀羂羃膂薃袈羂芅螈螄羂蒇薁螀羁蕿蒄聿羀艿虿羅罿莁蒂袁羈蒃蚇螇
2、羇膃蒀蚃肆芅蚆羁肆莈葿袇肅薀蚄袃肄芀薇蝿肃莂螂蚅肂蒄薅羄肁膄螁袀肀芆薃螆膀荿蝿蚂腿蒁薂羀膈芁莅羆膇莃蚀袂膆蒅蒃螈膅膅蚈蚄膄芇蒁羃芄荿蚇衿芃蒂葿螅节膁蚅蚁芁莄蒈肀芀蒆螃羆艿薈薆袂艿芈螁螈袅莀薄蚄袄蒃螀羂羃膂薃袈羂芅螈螄羂蒇薁螀羁蕿蒄聿羀艿虿羅罿莁蒂袁羈蒃蚇螇羇膃蒀蚃肆芅蚆羁肆莈葿袇肅薀蚄袃肄芀薇蝿肃莂 2006年全国硕士研究生入学考试数学（一）一、填空题（1）.（2）微分方程的通解是 .（3）设是锥面（）的下侧，则 .（4）点到平面的距离= .（5）设矩阵，为2阶单位矩阵，矩阵满足，则= .（6）设随机变量与相互独立，且均服从区间0, 3上的均匀分布，则= .二、选择题（7）设函数具有二阶导数，
3、且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则（A）（B）（C）（D） 【 】（8）设为连续函数，则等于（A）（B）（C）（C） 【 】（9）若级数收敛，则级数（A）收敛.（B）收敛.（C）收敛.（D）收敛. 【 】（10）设与均为可微函数，且. 已知是在约束条件下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若，则.（B）若，则.（C）若，则.（D）若，则.【 】（11）设均为维列向量，是矩阵，下列选项正确的是（A）若线性相关，则线性相关.（B）若线性相关，则线性无关.（C）若线性无关，则线性相关.（D）若线性无关，则线性无关. 【 】（12）设为3阶矩阵，将的第2行加到第1行得，再将
4、的第1列的-1倍加到第2列得，记，则（A）（B）（C）（D） 【 】（13）设为随机事件，且，则必有（A）（B）（C）（D） 【 】（14）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，且（A）（B）（C）（D） 【 】三 解答题15 设区域D=,计算二重积分 。16 设数列满足 。求: ()证明存在,并求之 。()计算 。17 将函数展开成x的幂级数 。18 设函数满足等式()验证.()若.19 设在上半平面D=内,数是有连续偏导数,且对任意的t>0都有.证明: 对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L,都有20 已知非齐次线性方程组证明方程组系数矩阵A的秩求的值及方程组的通解21 设3阶实对称
5、矩阵A的各行元素之和均为3,向量是线性方程组A=0的两个解, ()求A的特征值与特征向量 ()求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得.22 随机变量x的概率密度为为二维随机变量(X,Y)的分布函数.()求Y的概率密度()23 设总体X的概率密度为,为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值,求的最大似然估计.题解 高数一、 填空题（1）= 2 （）（2）微分方程的通解是，这是变量可分离方程。（3）设是锥面的下侧，则 补一个曲面上侧 （为锥面和平面所围区域）（为上述圆锥体体积）而（在上：）（4）二、 选择题（7）设函数具有二阶导数，且，为自变量在处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分。若，则三、 解答题
6、（18）设函数内具有二阶导数，且满足等式（I）验证（II）若 求函数证：（I）（II）令（19）设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意都有证明：对D内任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有证：把得：令 ，则再令 所给曲线积分等于0的充分必要条件为今 要求 成立，只要我们已经证明，于是结论成立。线代(5) 设A= 2 1 ,2阶矩阵B 满足BA=B +2E,则|B|= . -1 2解:由BA=B +2E化得B(A-E)=2E,两边取行列式,得 |B|A-E|=|2E|=4,计算出|A-E|=2,因此|B|=2.(11)设a1,a2,as 都是n维向量，A是m´n矩阵，则（ ）成立.
7、(A) 若a1,a2,as线性相关,则Aa1,Aa2,Aas线性相关.(B) 若a1,a2,as线性相关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关.(C) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性相关.(D) 若a1,a2,as线性无关,则Aa1,Aa2,Aas线性无关.解: (A)本题考的是线性相关性的判断问题,可以用定义解.若a1,a2,as线性相关,则存在不全为0的数c1,c2,cs使得 c1a1+c2a2+csas=0,用A左乘等式两边,得c1Aa1+c2Aa2+csAas=0,于是Aa1,Aa2,Aas线性相关.如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.
8、 a1,a2,as 线性无关Û r(a1,a2,as )=s.2. r(AB)£ r(B).矩阵(Aa1,Aa2,Aas)=A( a1, a2,as ),因此r(Aa1,Aa2,Aas)£ r(a1, a2,as ).由此马上可判断答案应该为(A).(12)设A是3阶矩阵,将A的第2列加到第1列上得B,将B的第1列的-1倍加到第2列上得C.记 1 1 0 P= 0 1 0 ,则 0 0 1(A) C=P-1AP. (B) C=PAP-1. (C) C=PTAP. (D) C=PAPT. 解: (B)用初等矩阵在乘法中的作用得出B=PA , 1 -1 0C=B 0
9、1 0 =BP-1= PAP-1. 0 0 1(20)已知非齐次线性方程组 x1+x2+x3+x4=-1, 4x1+3x2+5x3-x4=-1， ax1+x2+3x3+bx4=1 有3个线性无关的解. 证明此方程组的系数矩阵A的秩为2. 求a,b的值和方程组的通解. 解: 设a1,a2,a3是方程组的3个线性无关的解,则a2-a1,a3-a1是AX=0的两个线性无关的解.于是AX=0的基础解系中解的个数不少于2,即4-r(A)³2,从而r(A)£2.又因为A的行向量是两两线性无关的,所以r(A)³2.两个不等式说明r(A)=2. 对方程组的增广矩阵作初等行变换:
10、1 1 1 1 -1 1 1 1 1 -1(A|b)= 4 3 5 -1 -1 ® 0 1 1 5 3 , a 1 3 b 1 0 0 4-2a 4a+b-5 4-2a 由r(A)=2,得出a=2,b=-3.代入后继续作初等行变换: 1 0 2 -4 2® 0 1 -1 5 -3 . 0 0 0 0 0得同解方程组 x1=2-2x3+4x4， x2=-3+x3-5x4，求出一个特解(2,-3,0,0)T和AX=0的基础解系(-2,1,1,0)T,(4,-5,0,1) T.得到方程组的通解: (2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T, c
11、1,c2任意.(21) 设3阶实对称矩阵A的各行元素之和都为3,向量a1=(-1,2,-1)T, a2=(0,-1,1)T都是齐次线性方程组AX=0的解. 求A的特征值和特征向量. 求作正交矩阵Q和对角矩阵L,使得 Q TAQ=L. 解: 条件说明A(1,1,1)T=(3,3,3)T,即 a0=(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为3.又a1,a2都是AX=0的解说明它们也都是A的特征向量,特征值为0.由于a1,a2线性无关, 特征值0的重数大于1.于是A的特征值为3,0,0.属于3的特征向量:ca0, c¹0.属于0的特征向量:c1a1+c2a2, c1,c2不都为0. 将a0单
12、位化,得h0=(,)T.对a1,a2作施密特正交化,的h1=(0,-,)T, h2=(-,)T.作Q=(h0,h1,h2),则Q是正交矩阵,并且 3 0 0 Q TAQ=Q-1AQ= 0 0 0 . 0 0 0 概率（6）（13）C（14）A（22）随机变量的概率密度为，令，为二维随机变量的分布函数。（）求的概率密度；（）解：（） ； 。所以：这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对y进行适当的讨论即可，在新东方的辅导班里我也经常讲到，是基本题型。（）。（23）设总体的概率密度为，其中是未知参数（0<<1）。为来自总体的简单随机样本，记N为样本值中小于1的个数。求的最大似然估
13、计。解：对样本按照<1或者1进行分类：<1，1。似然函数，在<1，1时，所以。 莆艿螆肈腿薈螅螈莅薄螄羀芇蒀螄肂蒃莆螃膅芆蚄螂袄聿薀螁羇芄蒆袀聿肇莂衿蝿节芈袈羁肅蚇袈肃莁薃袇膆膃葿袆袅荿莅袅羈膂蚄羄肀莇蕿羃膂膀蒅羂袂莅莁蕿肄膈莇薈膆蒄蚆薇袆芇薂薆羈蒂蒈薆肁芅莄薅膃肈蚃蚄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂膇芁蒁蚁袇膄莇蚀罿莀蚅蚀肂膃薁虿膄莈蒇蚈袄膁莃螇羆莆艿螆肈腿薈螅螈莅薄螄羀芇蒀螄肂蒃莆螃膅芆蚄螂袄聿薀螁羇芄蒆袀聿肇莂衿蝿节芈袈羁肅蚇袈肃莁薃袇膆膃葿袆袅荿莅袅羈膂蚄羄肀莇蕿羃膂膀蒅羂袂莅莁蕿肄膈莇薈膆蒄蚆薇袆芇薂薆羈蒂蒈薆肁芅莄薅膃肈蚃蚄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂膇芁蒁蚁袇膄莇蚀罿莀蚅蚀肂膃薁虿膄莈蒇蚈袄膁莃螇羆莆艿螆肈腿薈螅螈莅薄螄羀芇蒀螄肂蒃莆螃膅芆蚄螂袄聿薀螁羇芄蒆袀聿肇莂衿蝿节芈袈羁肅蚇袈肃莁薃袇膆膃葿袆袅荿莅袅羈膂蚄羄肀莇蕿羃膂膀蒅羂袂莅莁蕿肄膈莇薈膆蒄蚆薇袆芇薂薆羈蒂蒈薆肁芅莄薅膃肈蚃蚄袃芃蕿蚃羅肆蒅蚂膇芁蒁蚁袇膄莇蚀罿莀蚅蚀肂膃薁虿膄莈蒇蚈袄膁莃螇羆莆艿螆肈腿薈螅螈莅薄螄羀芇蒀螄肂蒃莆螃膅芆蚄螂袄聿薀螁羇芄蒆袀聿肇莂衿蝿节芈袈羁肅蚇袈肃莁薃袇膆膃葿袆袅荿莅袅羈膂蚄羄肀莇蕿羃膂膀:13