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1、课后限时集训68,参数方程 1 参数方程 建议用时：45 分钟 1若直线 î íì xtcos ，ytsin (t 为参数)与圆 î íì x42cos ，y2sin ( 为参数)相切，求直线的倾斜角 . 解 直线 î íì xtcos ，ytsin (t 为参数)的普通方程为 yxtan . 圆 î íì x42cos ，y2sin ( 为参数)的普通方程为(x4) 2 y 2 4. 由于直线与圆相切，则|4tan |1tan 2 2， 即 tan 2 13 ，解得 tan
2、 33， 由于 0，)，故 6 或56. 2在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为îïíïì x8t，y t2(t为参数)，曲线 C 的参数方程为 î íì x2s 2 ，y2 2s(s 为参数)，设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值 解 直线 l 的普通方程为 x2y80. 因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2s 2, 2 2s)，从而点 P 到直线 l 的距离 d |2s2 4 2s8|1 2 (2) 2 2(s 2)2 45， 当 s 2时，d min 4 5
3、5. 因此当点P的坐标为(4,4)时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值 4 55. 2 3在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为îïíïì x332t，y 12 t(t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 4cos . (1)求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； (2)若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求线段 AB 的中点 P 到坐标原点 O 的距离 解 (1)将 t2y 代入 x332t， 整理得 x 3y30， 所以直线 l 的普通方程为
4、 x 3y30. 由 4cos 得 2 4cos ， 将 2 x 2 y 2 ，cos x 代入 2 4cos ， 得 x 2 y 2 4x0， 即曲线 C 的直角坐标方程为(x2) 2 y 2 4. (2)设 A，B 的参数分别为 t 1 ，t 2 . 将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得 è çæø÷ö332t22 èçæø÷ö12 t2 4， 化简得 t 2 3t30， 由韦达定理得 t 1 t 2 3， 于是 t p t1 t 2232. 设 P(x
5、0 ，y 0 )，则îïíïì x 0 332 è çæø÷ö32 94 ，y 0 12 èçæø÷ö3234， 则 P è çæø÷ö 94 ，34. 所以点 P 到原点 O 的距离为èçæø÷ö942 èçæø÷ö342 212. 3 4(202
6、1洛阳模拟)已知极点与坐标原点 O 重合，极轴与 x 轴非负半轴重合，M 是曲线 C：2sin 上任一点，点 P 满足OP3OM.设点 P 的轨迹为曲线 Q. (1)求曲线 Q 的平面直角坐标方程； (2)已知曲线 Q 向上平移 1 个单位后得到曲线 N，设曲线 N 与直线 l：îíì xt，yt(t 为参数)相交于 A，B 两点，求|OA|OB|值 解 (1)设 P(，)，OP3OM，点 M 的极坐标为 è çæø÷ö3 ， . 把点 M è çæø÷ö3 ， 代入曲线 C，得3 2sin ， 即曲线 Q 的极坐标方程为：6sin . 2 6sin ，x 2 y 2 6y，x 2 (y3) 2 9， 曲线 Q 的平面直角坐标系下的方程为 x 2 (y3) 2 9. (2)曲线 Q 向上平移 1 个单位后曲线 N 的方程为 x 2 (y4) 2 9. l 的参数方程化为：îïíïì x22t，y22t. 两方程联立得 t 2 4 2t70，t 1 t 2 4 2，t 1 t 2 7， |OA|OB|t 1 |t 2 |t 1 t 2 4 2.