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1、第一章平面向量§有向線段與向量主題1有向線段與向量IB （終點）1有向線段：帶有方向的一線段；包括始點、方向、長度如圖，記為AB。A （始點）A、B兩點的距離稱為AB之長，記為|AB2. 向量：具有大小和方向的量1表示方法：利用有向線段。（不考慮始點的位置）2. 零向量：始點與終點重合的有向線段，如 AA、PP，通常以0表示。3. 相等向量：二向量相等4. 向量的加法：#!> *« * * * a baba b二大小相等，方向相同（三角形法）（平行四邊形法）5. 向量加法的基本性質：（1）交換律:a b= b ar- # * f (2) 結合律：(a b)+c= a
2、+ (b c)(3) 零向量：a+0 = a=0 + a可逆性：a6.向量的減法:7. 向量的分解:AB =A0 OB（0 ：任一點）AB =0B -OA（0 ：任一點）8. 向量的係數積：向量係數積的意義：設a為一向量，R，考慮a的r倍，便以ra表示。若a =0 , r 0 時,r a與a同向，長度為a的r倍。(4) r <0 時，r a與a反向，長度為a的|r倍。 r =0 時,r a =0。若a = 0，則r a ：=0 <D9. 平行向量：a b= r R，使得a = rb ;其中a , b=0。主題2：向量的內積1. 定義：設a,b =0，且二為其夾角(0 < )，
3、則定義a與b的內積為* ha b = a b cos日二向量經過內積運算後為一數，不再是向量。2. 性質：設a，b，c為任意三向量，R，則：(1) a b 二 b a。(交換律)F-*-«-is- c(ab)二 c acb 。(分配律) F-*(3) ： (a b)二(：a) b = a (: b)。r-I-r 2(4) a= a A，等號成立二 a = 0。(5) a,b = 0， ab = r R， r = 0，使得 a = rb。§向量的基本應用主題1:線性組合與分點公式1.線性組合：任給不平行的二向量a、b，則在a與b所決定之平面上的每一個向量都可以寫成ra sb的
4、形式，稱為a與b的線性組合；且其寫法唯一。2.獨立性：a， b - 0且不平行，若ra亠sb=O，則U r=s = O。3三點共線問題：設平面上三點 A,B,C，若代B,C三點共線=r R，使得AB二r AC二 = R且:- =1，使得 OA=：.OBOC。5內分點公式：若A B P，且竺_ m，則OP - m OB n OA。(O為任意點) BPnm + nm + n6外分點公式：若 A B P，且竺-m，則 OP - m OBn OA。BPnmnmn4.A,B,C 三點不共線，且 pAB qAC =0，則 p = q = 0。7三角形中點連線定理：1ABC 中, D、E 各為 AB、AC
5、之中點，則 DE BC 且 DEBC。8.畢氏定理及其逆定理：0 2 2 2ABC 中，.B=90 二 AC = AB BC。9.平行四邊形定理：2 2 2 2ABCD為平行四邊形=AC BD 2(AB BC )。2 2 2 210.平行四邊形逆定理：ABCD為一四邊形，若AC BD二AB BC2CD2 tDA，!則 ABD為平行四邊形。11.孟氏定理(Menelaus theorem 設厶ABC被直線l所截分別交三邊於D、E、F，則DD H計一 112. ABC 面積 =_2ABC中頂點為 代B,C， A,B,C所對應邊長為a,b,c，O為任一點1 -1.重心公式：G為 ABC重心，M為MC
6、中點= AM (AB AC)2| AB|2|AC|2 _(ab. AC)2 主題 2:向量與五心1 ' 1 AG (AB AC)，OG (OA OB OC)，GA GB GC = 0 332.內心公式：設I為 ABC的內心，直線 AI交BC於D，BC二a，CA二b，AB = c，則:adMaCb +cbAB cACa b caOA bOB cOCa +b + caAI bBI cCI =0 一 1 2 1 23. 外心與垂心：設 O為 ABC的外心，則：AO AB AB且AO AC AC2 24. 垂心：設H為二ABC的垂心，則： AH AB = AB AC = AH AC 二( c1
7、給定坐標平面上一向量v，將v的始點平移到原點O,終點為P(a,b)，則記v = (a,b)，其中 a稱為v的x分量，b稱為v的y分量。 2.v =(a,b)，則 v 的長度 a2 b23若 A(X1,yJ , B(X2,y2)，則 AB =(X2 -为卩 - yj。 水平【x】分量：x2 -为=AB cos日，垂直【y】分量：y2= AB sin。 4設a=OA , OA與x軸正向的夾角稱為a的方向角(0岂二岂2二)。tI- 5若a的方向角為日，則a = (a cos, a sin日)。F* »F F- 向量的加減法：若 a = (a-i,a2) , b = (b|,b2)，則a(a
8、1 b|,a2 b2), a - b =- b|,a2 - b2)fs> 向量的係數積：若a =(耳月2)，則r = (ra1,ra2)。 單位向量：長度為1的向量。 _a2)2(2) 若 AD 垂直 BC於 D 點，則：(1) AD BC 二 AD (AC - AB) = 05. 徬心公式： ABC中.B,. C的外角角平分線相交於P , BC二a , CA二b , AB二c，則:aOA 亠 bOB 亠 cOCOP = a +b +c，-aAP bBP cCP = 0。八 ABC 中 BC*，Eb，ABM 則：人如2。2)設P為ABC所在平面上任一點，若IPA-mPB，nPC = 0，
9、其中l,m,R，且均不為0,則面積比 aAPAB: aPBC : a也PCA= n : l : m。§平面向量的坐標表示法主題1:坐標向量9. 右a =1月2)，則:(1)與a同方向的單位向量為(2)與a反方向的單位向量為-=a10. 平行向量：設a二盘)，b =(0山2),則U a b：=R使得a=rb,其中a,b = 0：=旦二旦bib2【我=a2b】 探 AB =(a,b)方向角：，CD =(c,d)方向角一：若 AB = CD AB 二 CD,：= 一：二 a 二 c, b 二 d主題2:分點公式-1內分點公式：A(Xi,yi)T cnT B(X2,y2)，則：。严 * nX
10、i , my2 *nyi) m + n m + n2外分點公式：A(xi,yi) m > B(x2,y2) n > C，則：C(空 些，业 図)m n m n3中點公式：若A( xi , yi ) , B( X2 , y2 )，則中點為y2 )2 241ABC中頂點為A,B,C， A,. B, C所對應邊長為a,b,c若 A( xi , yi ) , B( X2 , y2 ) ,C( X3 , y3 )，則?ABC :(i)重心為 G(Xi X2 X3,yi y2 y3)33：2)內心為i(aXi+bX2+cX3,ayjby2+cy3)主題3：直線參數式a +b +ca +b +c
11、fi過P(xo,yo)且平行向量v=(a,b)的直線參數式為/=Xat ," ry = y° +bt此直線的斜率為b，方向向量為(a,b)a一直線之參數方程式表示法不唯一。2設 A(Xi, yi)，B(X2,y2)為相異二定點，則：(i)直線Ab的參數式為 L+&2-宀，“ry =yi +(y2 - yjt線段AB的參數式為$ =人+(卷-5 , o三gy = yi +(y2-yjt射線AB的參數式為$ =Xi、+(X2-Xi)t 2oy = yi +(y2-yjt直線ax by0之法向量為(a,b)，斜率為-§坐標向量的內積b主題1向量的內積1.向量的內
12、積：若a = (a1,a2) , b=(b|,b2), a , b的夾角為二，則:a b = a b cosB =抽 + a2b2,2.向量的垂直與平行:a/b ：=虫=更【cb2 =a2a】bib2主題2:兩直線的夾角1.直線的法向量：直線ax by 0的法向量為(a,b)，方向向量可設為(b,-a)2.兩直線的夾角公式：(夾角有兩個,其一為门則另一為二-v )設L| : ax by g = 0， L : a2x戈y g = 0為平面上二直線，夾角為 二 則COS T 二a1ab1b2a； bi2 , a22 b223. 設兩直線Li，L2均不與x軸垂直，斜率分別為mi、m2，夾角為二(年二
13、/2)，則tan，凹匸匹1 +耳口24.兩直線丿Li：ax y Ci 0的角平分線為L2: a2x +b2y= 0aixbiyCia2x b2yC2. a； bi2主題3:正射影(-a-b ) b，但 b = 0|b |2i.若a,b的夾角為則: (i) a在b上的正射影為(| a | cost)|b |a在b上的分量為| a | cos v - a . b。|b |r ¥a在b上的正射影的長為，但b = 0。|b |主題4:點到直線的距離i.點 P(x0,y )到直線 L : ax by 0 的距離為 d(P,L) = |ax° by° c| *a2 +b22兩
14、平行直線Li ax十by + G = 0的距離為dL?) = 一®1丄2 : ax +by + C2 = 0Ja2 +b23兩直線;Li yx+by+G =0的角平分線為 9C1 = ±电学心 上2 :a2x+b2y+C2 =0摘TO齐bf4. 面積公式：設 A§=(Xi,yJ , AC=(X2,y2)，則 ABC 面積J | AB |2| AC |2 _(AB -AC)2 2(2)OA = (Xi,yJ , OB=(X2，y2)則OAB2OB2_(OA OB)1= 2|xiyiy2 =1OA OB(3) 平行四邊形的面積：以u- (a,b) , v - (c, d)為相鄰兩邊的平行四邊形的面積為ad-bc|主題5:柯西不等式|設a,b為二任意向量=a b乞a b ；等號成立=a/b。設abb R，則2 a；)(丄 世)一 (aQ azb?)2。等號成立=a/b【色二邑】b1b2