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1、叠合正多边形的有趣性质江苏省泰州市朱庄中学曹开清 225300如图，把两个全等的正多边形 A1A2 A3An与正多边形 B1B2 B3Bn叠合，使它 们重合的部分是一个凸 2n边形P1P2 P3P2n,则有下列有趣性质：(1) P1P2n+P2P3+ P2n-3P2n-1 = P1P2+P3P4+ P2n-1P2n；(2) P1P2n2+P2P32 + P2n-3P2n-12 = P1P22+P3P42+ P2n-1P2n2.B3证明：(1)根据已知条件，易知 A1P1P2n, A2P2P3, AnP2n-3P2n-1彼此 相似.若设 A1P1+A1P2n = kP1P2n (显然 k>
2、1),则应有A2P2 + A2P3 = kP2P3,AnP2n-3 + AnP2n-1 = k P2n-3P2n-1,以上各式相加，得A1P1 +A1P2n + A2P2 + A2P2 + AnP2n-3 +AnP2n-1 = k(P1P2n+ P2P3+ P2n-3P2n-1)又(A1P1 +A1P2n + A2P2 +A2P2 + + AnP2n-3 + AnP2n-1) + (P1P2+P3P4+P2n-1P2n)=pn (这里Pn为正多边形A1A2A3 An的周长) . k(P1P2n+P2P3+ P2n-3P2n-1) + (P1P2+P3P4+ P2n-1P2n)=pn同理可证k(
3、P1P2+P3P4+ P2n-1P2n)+(P1P2n+P2P3+ P2n-3P2n-1) = pn以上两式相减并整理，得(k1)(P1P2n+P2P3+ P2n-3P2n-1)(P1P2+P3P4+ P2n-1P2n)=0 . P1P2n+P2P3+ P2n-3P2n-1 = P1P2+P3P4+ P2n-1P2n.(2)由A1P1P2n, AA2P2P3 ,AAnP2n-3P2n-1 彼此相似，若设 S AA1P1P2n = mP1P2n2,贝U应有 2S A2P2P3= mP2P32,2S AAnP2n-3P2n-1 = mP2n-3P2n-1 ,以上各式相加，得S AA1P1P2n +
4、 s A2P2P3 + + S AnP2n-3P2n-1 = m (P1P2n2 + P2P32 + + P2n-3P2n-12) . P1P2n2+P2P32 +P2n-3P2n-12= ( S A1P1P2n + S A2P2P3 +Sm AnP2n-3P2n-1) = S 正 n 边形 A1A2 AnS 2n 边形 P 1P2P2n同理可证P1P22+ P3P42+ P2n-1P2n2= S 正 n 边形 B1B2 BnS 2n 边形 P 1P2P2n又S正n边形 A1A2An S 2n边形P 1P2P2n= S正n边形 B1B2Bn S 2n边形P1P2P2n, .P1P2n2+P2P32+ P2n-3P2n-12= P1P22+ P3P42+ P2n-1P2n2.常用符号：=s0 OA +-叉 + ： ±V / 1 Z a 3 T 9atmivx.