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1、第四单元 导数及其应用 教材复习课 “导数”相关基础知识一课过 导数的基本运算 过双基 1基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)c(c为常数) f(x)0 f(x)xn(nQ*) f(x)nxn1 f(x)sin x f(x)cos_x f(x)cos x f(x)sin_x f(x)ax f(x)axln_a f(x)ex f(x)ex 1 f(x)logax(a0，且 a1) f(x) xln a 1 f(x)ln x f(x) x 2导数的运算法则 (1)f(x)g(x)f(x)g(x)； (2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； fx fxgxfxgx (3)
2、gx (g(x)0) gx2 小题速通 1下列求导运算正确的是( ) 1 1 1 A.(xx )1 B(log2x) x2 xln 2 C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2sin x 1 1 1 解 析：选 B (xx )1 ；(log2x) ；(3x)3xln 3；(x2cos x)2xcos x2 xln 2 xx2sin x，故选 B. 2函数 f(x)(x2a)(xa)2的导数为( ) A2(x2a2) B2(x2a2) C3(x2a2) D3(x2a2) 解析：选 C f(x)(x2a)(xa)2x33a2x2a3， f(x)3(x2a2) 1 3函数 f(x)ax33x
3、22，若 f(1)4，则 a 的值是( ) 19 16 A. B. 3 3 13 10 C. D. 3 3 解析：选 D 因为 f(x)3ax26x， 所以 f(1)3a64， 10 所以 a . 3 4(2016天津高考)已知函数 f(x)(2x1)ex，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(0)的 值为_ 解析：因为 f(x)(2x1)ex， 所以 f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex， 所以 f(0)3e03. 答案：3 清易错 1利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)nxn1中 n0 且 n Q*，(cos x)sin x. 2注意公式不要用混，如(ax)ax
4、ln a，而不是(ax)xax1. 1 1已知函数 f(x)sin xcos x，若 f(x) f(x)，则 tan x 的值为( ) 2 A1 B3 C1 D2 解析：选 B f(x)(sin xcos x)cos xsin x， 1 又 f (x) f(x)， 2 1 1 cos xsin x sin x cos x， 2 2 tan x3. 2若函数 f(x)2xln x 且 f(a)0，则 2aln 2a( ) A1 B1 Cln 2 Dln 2 1 1 1 解 析： 选 A f(x)2xln 2 ，由 f(a)2aln 2 0，得 2aln 2 ，则 a2aln x a a 21，即
5、 2aln 2a1. 导数的几何意义 过双基 2 函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点 P(x0， y0)处的切线 的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)相应 地， 切线 方程 为 y y0 f ( x0)( x x0) 小题速通 1.(2018郑州质检)已知 yf(x)是可导函数，如图，直线 ykx2 是曲线yf(x)在x3 处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)( ) A1 B0 C2 D4 1 1 解析： 选B 由题图可知曲线yf(x)在x3 处切线的斜率等于 ，f(3) ，g(x) 3 3 x
6、f(x)，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知 f(3)1， 1 所以 g(3)13(3 )0. 2设函数 f(x)xln x，则点(1,0)处的切线方程是_ 解析：因为 f(x)ln x1，所以 f(1)1，所以切线方程为 xy10. 答案：xy10 3已知曲线 y2x2的一条切线的斜率为 2，则切点的坐标为_ 1 1 1 解 析：因为 y4x，设切点为(m，n)，则 4m2，所以 m ，则 n2 2 ，则 2 (2 ) 2 1 1 切点的坐标为( . ，2 ) 2 1 1 答案：( 2 ) ， 2 4函数 yf(x)的图象在点 M(1，f(1)处的切线方程是
7、 y3x2，则 f(1)f(1) _. 解析：因为函数 yf(x)的图象在点 M(1，f(1)处的切线方程是 y3x2，所以 f(1) 3，且 f(1)3121，所以 f(1)f(1)134. 答案：4 清易错 1求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别，前者只有一条，而后 者包括了前者 2曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差 3 别 15 1若存在过点(1,0)的直线与曲线 yx3和 yax2 x9 都相切，则 a 等于( ) 4 25 21 A1 或 B1 或 64 4 7 25 7 C 或 D 或 7 4 64 4 解析：选 A
8、 因为 yx3，所以 y3x2， 设过点(1,0)的直线与 yx3相切于点(x0，x30)， 则在该点处的切线斜率为 k3x20， 所以切线方程为 yx303x20(xx0)，即 y3x20x2x30，又(1,0)在切线上，则 x00 或 x0 3 15 25 ，当 x00 时，由 y0 与 yax2 x9 相切，可得 a ， 2 4 64 3 27 27 15 当 x0 时，由 y x 与 yax2 x9 相切，可得 a1，所以选 A. 2 4 4 4 2.(2017兰州一模)已知直线 y2x1 与曲线 yx3axb 相切于点(1,3)，则实数 b 的值为_ 解析：因为函数 yx3axb 的
9、导函数为 y3x2a，所以此函数的图象在点(1,3)处 的切线斜率为 3a， 所以Error!解得Error! 答案：3 利用导数研究函数的单调性 过双基 1函数 f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与 f(x)的关系 (1)若 f ( x)0，则 f(x)在这个区间上是增加的 (2)若 f ( x)0 或 f ( x)0时，由导函数 f(x)ax2bxc 的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的 值是大于 0 的，则在此区间内函数 f(x)单调递增只有 D 选项符合题意 3已知 f(x)x2ax3ln x 在(1， )上是增函数，则实数 a 的取值范围为( ) A( ，2 6 B.( ，
10、6 2 C2 6， ) D5， ) 3 2x2ax3 解 析： 选 C 由题意得 f(x)2xa 0 在(1， )上恒成立g(x)2x2 x x ax30 在(1， )上恒成立a2240 或Error! 2 6a2 6或 a2 6a2 6，故选 C. 清易错 若函数 yf(x)在区间(a，b)上单调递增，则 f(x)0，且在(a，b)的任意子区间，等 号不恒成立；若函数 yf(x)在区间(a，b)上单调递减，则 f(x)0，且在(a，b)的任意子 区间，等号不恒成立 若函数 f(x)x3x2mx1 是 R 上的单调增函数，则 m 的取值范围是_ 解析：f(x)x3x2mx1， f(x)3x22xm. 又f(x)在 R 上是单调增函数，f(x)0 恒成立， 1 412m0，即 m . 3 1 答案：，) 3 利用导数研究函数的极值与最值 过双基 1函数的极大值 在包含 x0的一个区间(a，b)内，函数 yf(x)在任何一点的函数值都小于 x0点的函数值， 5