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1、第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共九题， 满分160 分计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤只写出最后结果的不能得分有数字计算的题答案中必须明确写出数值和单位填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程一、（ 15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小设重力加速度 g = 9 . 80 m/ s 2 ,1 试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长），要求满足：( a ）每个摆的摆长不小于0 . 450m ，不大于 1.00m ;
2、( b ）初始时将所有摆球由平衡点沿x 轴正方向移动相同的一个小位移xo ( xo <<0.45m )，然后同时释放，经过40s 后，所有的摆能够同时回到初始状态2 在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时间为 _.二、（ 20 分）距离我们为L 处有一恒星，其质量为M，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为 T ，摆动范围的最大张角为 假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m 所满足的方程若 L=10 光年， T =10年， = 3 毫角秒，M = Ms （ Ms 为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道
3、半径r 各为多少？分别用太阳质量Ms 和国际单位AU （平均日地距离）作为单位，只保留一位有效数字已知1毫角秒=111000 角秒， 1角秒 =3600 度，851AU=1.5 ×10 km, 光速 c = 3.0 10×km/s.三、（ 22 分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m，半径为R ，螺距 H =R ，可绕竖直的对称轴OO，无摩擦地转动， 连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计一质量也为m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动, 首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点A ，这时螺旋环也处于静止状态然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴O
4、O，转动求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为h 时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小四、（ 12 分）如图所示，一质量为m、电荷量为q ( q > 0）的粒子作角速度为径为R 的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为、半d ( d >R ) ，在导线上通有随时间变化的电流 I, t= 0 时刻，粒子速度的方向与导线平行， 离导线的距离为 d+ R . 若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i ,的磁场对粒子的作用力， 试求出电流随时间的变化规律 不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响 长直导线电流产生的磁感应强度表示式中的比例系数 k 已
5、知i五、（ 20 分）如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为+Q 和 -Q (Q >0)，半径分别为R 和 R/2，小球面与大球面内切于C 点，两球面球心O 和 O的连线 MN 沿竖直方在 MN 与两球面的交点B、0 和 C 处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计，有一质量为m，带电荷为q(q>0 的质点自MN 线上离 B 点距离为R 的 A 点竖直上抛。设静电力常量为k，重力加度为g.1要使质点从A 点上抛后能够到达B 点，所需的最小初动能为多少？2要使质点从A 点上抛后能够到达O 点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少？六、（ 20 分）由单位长度电阻为r
6、的导线组成如图所示的正方形网络系列n=1 时，正方形网络边长为L,n= 2 时，小正方形网络的边长为L/3 ；n=3 时，最小正方形网络的边长为L/9 当n=1、 2、 3时，各网络上A 、 B 两点间的电阻分别为多少？七、（15分）地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射（假定不计大气对太阳辐射的吸收） 一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收被吸收的部分最终转换成为地球热辐射（红外波段的电磁波）热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡。作为一个简单的理想模型， 假定地球表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃一玻尔兹
7、曼定律：单位面积的辐射功率J 与表面的热力学温度T 的四次方成正比，即4J=T ,其中 是一个常量已知太阳表面温度Ts=5.78 ×103 K，太阳半径Rs=6.69 ×105 km ,地球到太阳的平均距离d=1.50 ×108km 假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为 =0.38 .1如果地球表面对太阳辐射的平均反射率 =0.30 ，试问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温度是多少？2如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为1=0.85 ，其余部分的反射率处 2=0.25 间冰雪被盖面占总面积多
8、少时地球表面温度为273K .八、（ 20 分）正午时太阳的入射光与水平面的夹角0=45 有一座房子朝南的墙上有一个直径 W =10cm 的圆窗，窗口中心距地面的高度为H 试设计一套采光装置，使得正午时刻太阳光能进人窗口， 并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、 且光强是进人采光装置前2倍的平行光可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平面镜的反射率为 80 % ，透镜的透射率为70 % ，忽略透镜表面对光的反射要求从这些器件中选用最少的器件组成采光装置 试画出你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路图，并求出所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件.九、（ 16分）
9、已知粒子 1 和粒子2 的静止质量都是m0 ，粒子1 静止，粒子2 以速度 v0 与粒子1 发生弹性碰撞1.若碰撞是斜碰，考虑相对论效试论证：碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还是钝角若不考虑相对论效应结果又如何？2.若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度.解答一、参考解答：1以 l i 表示第 i 个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是40s 的整数分之一，即Ti 2 li40（Ni 为正整数）（ 1）gNi(1) 式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系. 由 (1) 可得，各单摆的摆长400g（ 2）li22 Ni依题意， 0.450mli1.000
10、m ，由此可得20Ni20g（ 3）g 0.45即 20Ni29（ 4）因此，第 i个摆的摆长为i12345678910l i/m0.9930.9010.8210.7510.6900.6350.5880.5450.5070.472li400g(i1, 2, 10)（ 5）2i)2 (192 20s评分标准： 本题 15 分第 1 小问 11 分（ 2）式 4 分，（ 4）式 4 分， 10 个摆长共 3 分第2小问 4分二、参考解答：设该恒星中心到恒星行星系统质心的距离为d ，根据题意有L（ 1）d2将有关数据代入（1）式，得 d 5 10 3 AU 又根据质心的定义有r dMd（ 2）m式中
11、 r 为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离. 根据万有引力定律有Mm2 2（ 3）GMdr 2T由（ 2）、（3）两式得m234 d（ 4）2G T 21 M m 若考生用 r(2) 式写为 rMd，把 (3)式写mMm2为 G2Mdr dT2，则同样可得到(4)式，这也是正确的. 利用（ 1）式，可得m32L（ 5）1M22GT 2m（ 5）式就是行星质量 m 所满足的方程可以把(5)试改写成下面的形式m M332L（ 6）122GMT 2m M因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得(1AU) 3GM S（ 7）(1y)224注意到 MM S ，由（ 6）和（ 7）
12、式并代入有关数据得m M S328.6 10 10(8)1m M S由（ 8）式可知m1M S由近似计算可得m110 3MS（9）由于 m M 小于 1/1000 ，可近似使用开普勒第三定律，即r 3(1AU) 3（ 10）T 2(1y)2代入有关数据得r5AU（ 11）评分标准： 本题 20 分 （ 1）式 2 分，（2）式 3 分，（ 3）式 4 分，（ 5）式 3 分，（ 9）式 4 分，（11）式 4 分三、参考解答：解法一m一倾角为的直角三角形薄片(如图 1所示)hvu图 1紧贴于半径为R 的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，
13、则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环根据题意有R1tan（ 1）2R 2可得：sin5 ， cos25（2）55设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为，则环上每一质量为mi 的小质元绕转轴转动线速度的大小都相同，用u 表示，uR（ 3）该小质元对转轴的角动量Limi uRmi R2整个螺旋环对转轴的角动量LLimi R2mR2（ 4）小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成在螺旋环的角速度为时，设小球相对螺旋环的速度为v ，则小球在水平面内作圆周运动的速度为vPv cosR（ 5）沿竖直方向的速度v v sin（ 6）对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴
14、的力矩为0，系统对转轴的角动量守恒，故有0 mvP R L（ 7）由（ 4）、（5）、（ 7）三式得：v cosR =R（8）在小球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守恒，有mgh1 m vP2v21 mi u2（ 9）22由（ 3）、（5）、（ 6）、（ 9）四式得：2gh =v cos2v 2sin 2R2（10）R解（ 8）、（10）二式，并利用（2）式得=12gh（11）R3v =10gh（12）3由（ 6）、（12）以及（ 2）式得v 2 gh3或有v22 1 gh3（ 14）式表明，小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动，其加速度a 1 g3若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为
15、t ，则有12h =a t由（ 11）和（ 16）式得g t3R（ 17）式表明，螺旋环的运动是匀加速转动，其角加速度g（ 18）3R小球对螺旋环的作用力有：小球对螺旋环的正压力N1 ，在图1 所示的薄片平面内，方向垂直于薄片的斜边；螺旋环迫使小球在水平面内作圆周运动的向心力N 2 的反作用力N2 向心力 N 2 在水平面内， 方向指向转轴C，如图 2 所示 N1 、N 2 两力中只有N1对螺旋环的转轴有力矩，由角动量定理有（ 13）（ 14）（15）（16）（17）mN2 CR图 2N1 sin R tL（ 19）由（ 4）、（18）式并注意到得tN1mg5 mg（ 20）3sin3而N2N
16、2vP2（ 21）mR由以上有关各式得N 22h mg（ 22）3R小球对螺旋环的作用力N2214h2（ 23）N1N2mg 5R23评分标准： 本题 22 分 （ 1）、（ 2）式共 3 分，（ 7）式 1 分，（ 9）式 1 分，求得（ 11）式给 6 分，（ 20）式 5 分，（ 22）式 4 分，（23）式 2 分解法二一倾角为的直角三角形薄片(如图 1 所示 )紧贴于半径为R 的圆柱面， 圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行， 若把此三角形薄片卷绕在柱面上， 则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环mhvu图 1根据题意有：R1（ 1）tan22R可得： sin525，
17、 cos（ 2）55螺旋环绕其对称轴无摩擦地转动时， 环上每点线速度的大小等于直角三角形薄片在光滑水平地面上向左移动的速度 小球沿螺旋环的运动可视为在竖直方向的直线运动和在水平面内的圆周运动的合成在考察圆周运动的速率时可以把圆周运动看做沿水平方向的直线运动，结果小球的运动等价于小球沿直角三角形斜边的运动小球自静止开始沿螺旋环运动到在竖直方向离初始位置的距离为h 的位置时，设小球相对薄片斜边的速度为v，沿薄片斜边的加速度为a薄片相对地面向左移动的速度为u ，向左移动的加速度为a0 u 就是螺旋环上每一质元绕转轴转动的线速度，若此时螺旋环转动的角速度为uR（ 3），则有而 a0 就是螺旋环上每一质
18、元绕转轴转动的切向加速度，若此时螺旋环转动的角加速度为，则有a0R（4）小球位于斜面上的受力情况如图2 所示：Nf *a0amg图 2重力 mg ，方向竖直向下，斜面的支持力N ，方向与斜面垂直，以薄片为参考系时的惯性力 f，方向水平向右，其大小fma0由牛顿定律有mgcos NfsinmgsinfcosmaNsinma0解（ 5）、（6）、（ 7）、（ 8）四式得a =2singsin2N =cosmgsin 21sin cosa01+ sin 2g利用（ 2）式可得a =5 g35N =mg3a01 g3由（ 4）式和（ 14）式，可得螺旋环的角加速度gR若小球自静止开始运动到所考察时刻经
19、历时间为t（ 5）（ 6）（ 7）（ 8）（9）（ 10）（11）（ 12）（13）（ 14）（ 15）t ，则此时螺旋环的角速度（ 16）因小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成，而小球沿竖直方向的加速度a a a sin（ 17）故有h = 1 a t 2（ 18）2由（ 15）、（16）、（ 17）、（ 18）、以及（ 2）式得2gh（ 19）R3小球在水平面内作圆周运动的向心力由螺旋环提供，向心力位于水平面内，方向指向转轴，故向心力与图 2 中的纸面垂直，亦即与 N 垂直向心力的大小N1m vP2（20）R式中 v 是小球相对地面的速度在水平面内的分量
20、. 若 a 为小球相对地面的加速度在水平面内的分量，则有vPaPt（ 21）令 a 为 a 在水平面内的分量，有aPaPa0a cos - a0（ 22）由以上有关各式得N12h mg（ 23）3R小球作用于螺旋环的力的大小N 0N 2N12（ 24）由（ 13）、（23）和（ 24）式得N0mg54h2（ 25）3R2评分标准： 本题 22 分（ 1）、（ 2）式共 3 分，（9）或（ 12）式 1 分，（ 10）或（ 13）式 5 分，（ 11）或（ 14）式 1 分，（19）式 6 分，（ 23）式 4 分，（ 25）式 2 分四、参考解答：以 v 表示粒子的速率，以B 表示电流i 产生
21、磁场的磁感应强度，根据题意粒子作圆周运动的向心力为粒子受到的磁场洛仑兹力，因此有qv B m v2（ 1）R而yiqRtvR（ 2）由（ 1）、（ 2）两式得m（ 3）Bq如图建立坐标系，则粒子在时刻t 的位置Odxx(t )Rcost ， y(t )Rsint取电流的正方向与 y 轴的正向一致，设时刻在粒子所在处磁感应强度大小为（ 4）t 长直导线上的电流为i(t) ，它产生的磁场B ki(t )（5）d x(t)方向垂直圆周所在的平面 . 由（ 4）、（ 5）式，可得i( t)k m( dR cost )qM（ 6）C评分标准： 本题 12 分Q（ 3）式 4 分，（4）式2 分，（ 5）
22、式 4 分，（ 6）式2 分OQR 2五、参考解答：O1质点在 AB 应作减速运动（参看图1）设质点在 A 点的R最小初动能为 Ek0 ，则根据能量守恒，可得质点刚好能到达B 点的条件为BkqQkqQmgR Ek0kqQkqQ（ 1）RR3R/ 22R5R/ 2q由此可得 :AEk0mgR7kqQ（ 2）N图 130R2 质点在 BO 的运动有三种可能情况：i质点在 BO 作加速运动（参看图1），对应条件为mg4kqQ（ 3）9R2此时只要质点能过B 点，也必然能到达 O 点，因此质点能到达O 点所需的最小初动能由 （ 2）式给出，即Ek0mgR 7kqQ（ 4）30R若（ 3）式中取等号，则
23、最小初动能应比（4）式给出的 Ek0 略大一点ii 质点在 B O 作减速运动（参看图 1），对应条件为mg4kqQ（ 5）R2此时质点刚好能到达O 点的条件为kqQkqQmg(2R) Ek0kqQkqQ（ 6）RR/ 22R5R/ 2M由此可得CQEk0 2mgR11kqQ（ 7）O10RR 2iii 质点在 BO 之间存在一平衡点D （参看图2），在QBD 质点作减速运动，在 DO 质点作加速运动，对应条件Ox为4kqQ4kqQ（ 8）DR9R2mgR2B设 D 到 O 点的距离为 x ，则RqAN图 2mgkqQ（ 9）( R/2x)2即xkqQR（10）mg2根据能量守恒，质点刚好能到
24、达D 点的条件为kqQkqQmg(2Rx)Ek0kqQkqQ（11）RR/ 2x2R5R/2由（ 10）、（11）两式可得质点能到达D 点的最小初动能为Ek05 mgR9kqQ2kgmqQ（12）210R只要质点能过D 点也必然能到达O 点，所以，质点能到达O 点的最小初动能也就是（12）式（严格讲应比（12）式给出的 Ek0略大一点）评分标准： 本题 20 分第 1 小问 5 分求得（ 2）式给 5 分第 2 小问 15 分算出第i 种情况下的初动能给2 分；算出第ii 种情况下的初动能给5分；算出第iii 种情况下的初动能给8 分，其中（ 10）式占 3 分六、参考解答：n 1 时， A、
25、 B 间等效电路如图 1 所示， A、 B 间的电阻rLrLABrLrL图11（ 1）R1(2 rL ) rL2n 2 时， A、 B 间等效电路如图2 所示， A、 B 间的电阻212rLR1rL333AB212rLR1rL333图 2R214 rL1 R1（ 2）233由（ 1）、（ 2）两式得R25 rL(3)6n 3 时， A、B 间等效电路如图3 所示， A、B 间的电阻2111112rLrLrL9rLR2rL999333A3 rL3 rL9911rL2 rL9 rL1 rL1 R21 rL299333933rLrL99图 3rLBrL11331R329243 342 rL3 R2（
26、 4）由（ 3）、（ 4）式得R37 rL（ 5）9评分标准： 本题 20 分（ 1）式 4 分，（3）式 6 分，（ 5）式 10 分七、参考解答：根据题意，太阳辐射的总功率PS4RS2TS4 太阳辐射各向同性地向外传播设地球半径为 rE ，可以认为地球所在处的太阳辐射是均匀的，故地球接收太阳辐射的总功率为RS2PI42（ 1）TSdrE地球表面反射太阳辐射的总功率为PI 设地球表面的温度为 TE ，则地球的热辐射总功率为P4r2T4（ 2）EEE考虑到温室气体向地球表面释放的热辐射，则输入地球表面的总功率为PIPE 当达到热平衡时，输入的能量与输出的能量相等，有PIPEPI PE（ 3）由
27、以上各式得21/ 4RS1/ 21TETS 21d（4）代入数值，有TE287K（ 5）2当地球表面一部分被冰雪覆盖后，以表示地球表面对太阳辐射的平均反射率，根据题意这时地球表面的平均温度为TE273K 利用（ 4）式，可求得0.43（ 6）设冰雪覆盖的地表面积与总面积之比为x，则1 x 2 (1 x)（ 7）由（ 6）、（7）两式并代入数据得x 30%（ 8）评分标准： 本题 15 分第 1 小问 11 分（ 1）式 3 分，（ 2）式 1 分，（ 3）式 4 分，（ 4）式 2 分，（ 5）式 1 分第 2 小问 4 分（6）式 2分，（8）式 2 分八、参考解答：方案一：采光装置由平面镜M 和两个凸透镜L 1、 L 2 组成透镜组置