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1、射影面积法（cosq =S射影凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积 S射的都可利用射影面积公式（cose =）求出二面角的大小。S例1、如图，在底面是一直角梯形的四棱锥 S-ABCD中，AD/ BC,/ABC=90 , SA1 平面 ABC, SA=AB=BC=1 ,1AD= 2 .求面SCD与面SAB所成的角的大小。解法1:可用射影面积法来求,这里只要求出SSCD与SaSAB即可，故所求的二面角0应满足cosQ = $血£111=5 MlM1 =76一 1 ,32 一 322例2.（2008北京理）如图，在三棱锥 P ABC中，AC =BC =2
2、, /ACB =90",AP = BP=AB, PC _L AC .(I)求证：PC _L AB ;(n)求二面角 B-AP-C的大小;C解：(I)证略(n) ；AC = BC, AP=BP,.APCzXBPC .又 PC _L AC ,二 PC _L BC .又/ACB=901 即 AC_LBC,且 ACpPC =C ,二 BC _L 平面 PAC .取AP中点E .连结BE, CE .：AB = BP,二 BE _L AP .EC是BE在平面PAC内的射影，:.CE _LAP.ACE是 ABE在平面 ACP内的射影，于是可求得：AB = BP = AP = dAC2 + CB2
3、= 2V2 , BE = VAB2 AE2 = V6 ,AE = EC = J2 则 S射=SCE1 1 - -=AE *CE = - 22 v2 =1,2 2S S S ABE = AE EB -2 6=3设二面角B-AP-C的大小为3 ,则cosS =工=工3S原333面角B - AP -C的大小为3 = arccos 3练习1:如图5, E为正方体 ABCD A1B1c1D1的棱CCi的中点，求平面 ABiE和底面AiBiCiDi所成锐角的余弦值.A2（答案：所求二面角的余弦值为cose =-）3图52.如图一，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD是矩形， PA_L平面ABCD ,AP=
4、AB =2,BC =2，2,E, F 分别是 AD, PC 的中点.(1)证明：PC_L平面BEF ； (2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小.题(1)解略；题(2)中平面BEF与平面BAP夹角即为平面 BEF与平面 BAP所成的锐二面角.方法一：垂面法在图中找到或作出一个与二面角的两个半平面均垂直的平面，此平面截得 的图形便是二面角的平面角 .如图一：；'PA_L平面 ABCD , BC 匚平面 ABCD： PA_LBC.又,.,BC _L AB, ABp|PA = A： BC_L 平面 BAP.又B BC u平面PBC ,.平面PBC _L平面BAP.由题（1）, PC _L平面
5、BEF, PC二平面BEF ,二平面PBC _L平面BEF .所以N PBF是所求二面角的平面角.P PB = VpA2 + AB2 :2应,PFPC =LaB2 + BC2 + PA2 , 22 PF ,2 二sin ZPBF，/PBF .PB 24即平面BEF与平面BAP夹角为 .方法二：平移平面法如果两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补.利用此结论可以平移某一平面到合适的位置以便作出二面角的平面角如图二：取BC的中点G ,连接FG, EG .'/ E,F 分别是 AD,PC 的中点，, EG A AB, FG P PB .又'
6、;.'FG pEG =G, ABpPB = B,二平面EFG 平面BAP.二二面角B-EF-G的大小就是平面BEF与平面BAP夹角的大小.可以证明ZBFG为二面角B-EF -G的平面角，并求出其大小为 -.方法三：射影法S利用公式cos6 =一，其中S表示二面角的一个半平面内某个多边形的面积，S表示S此多边形在另一个半平面射影的面积,6表示原图形与射影图形所成的二面角如图三：取PB的中点H ,连接FH , AH ,F 为 PC 中点，:.FH B BC, AE B BC .由解法一知，BC _L平面BAP,- FH _L平面 BAP, AE _L平面 BAP,.点F、E在平面BAP内的
7、射影分别为 H、A.BEF在平面BAP上的射影为ABAH .可以证明ABEF和ABAH均为直角三角形.1H HF . BC, AE . BC,HF = BC BC ,2二四边形HFEA为平行四边形，EF = AE .记平面BEF与平面BAP夹角为日，则cosH =SBAH- = S .BEF 2TC所以日=1，即平面BEF与平面bap夹角为，.3.已知&ABC是正三角形，PA_L平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。B思维二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。解
8、1:（三垂线定理法）取AC的中点E,连接BE,过E做EFPC,连接BF丁 PA_L平面 ABC, PA二平面 PAC二平面PAC，平面 ABC,平面PAC，平面ABC=AC- BE_l 平面 PAC 图1由二垂线定理知 BF_PC二/BFE为二面角A-PC-B的平面角 设 PA=1,E 为 AC 的中点，BE= § ,EF= 'tan BFE = BE = 6 EF/ BFE =argtan 6解2:（三垂线定理法）FM取BC的中点E,连接AE, PE过A做AF 1 PE,AB=AC,PB=PCAE _BC,PE_BCBC_L平面 PAE,BC =平面 PBC平面PAE_L平
9、面PBC, 平面PAE 口平面PBC=PE由三垂线定理知AM _PC，NFMA为二面角A-PC-B的平面角2AP.AE . 21设 PA=1, AM=，AF= -= 2PE 7.42AF.sin. FMA = AM42 .FMA =argsin解3:（投影法）过B作BE1AC于E,连结PE PA1 平面 ABC, PAu平面 PAC.平面PAC，平面 ABC,平面PAS平面ABC=AC, BE_l 平面 PAC，APEC是APBC在平面PAC上的射影设 PA=1,贝U PB=PC= 2 ,AB=1SPEC2_7_一,S PBC 二由射影面积公式得,COSU: argcos4.在单位正方体 AB
10、1clD1 -ABCD中,求二面角A-AC-B的度数。A44三垂线法利用三垂线定理或逆定理构造出二面角的平面角，进而求解。解法一.作AO _L AC ,取AB的中点M ,连结OM .AM .AM _ABAM bc AM AM -L 平面 A BCAbPIbc =B由三垂线逆定理知OM _ AC/ AOM为所求二面角 A-A1C -B的平面角在RtL AAC中A。嗡AC 6AC 一 3.sinAOMAM 爽AO 一 2.AOM =60：射影法利用斜面面积和射影面积的关系：S射影=S斜面cos6 （日为斜面与射影所成二面角的平面角）直接求解。解法二、取AC的中点G ,连结BGBG _ACBG _L AA = BG _L 平面 AACAC" AA1 = A二L A1BC在平面A1AC上的射影为A1GC q 4SRtLABC - 2S|_AGC - SRt222SA1GC - SRt_ A1BCcosi.cos 12从而二面角 A A1C B的大小为60s