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1、.（2010?泰州模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（ 4，0），点 B（ 0，3），点P从点A出发，以每秒1个单位的速度在x轴上向右平移，点Q从B点出 发，以每秒2个单位的速度沿直线 y=3向右平移，又P、Q两点同时出发， 设运动时间为t秒.（1 ）当t为何值时，四边形 OBPQ的面积为8;（2）连接人0,当厶APQ是直角三角形时，求 Q的坐标.解：（1 ）设运动时间为t秒，BQ=2t，OQ=4+t，s=1/2 （3t+4） X3=8解得t=4/9（2）当 / QAP=90 时，Q （4，3），/ QPA=90 时，Q （ 8，3）.故Q点坐标为（4， 3）、（ 8，3）.（2007?安溪县
2、质检）如图，在平面直角坐标系中，四边形 OABC是直角梯形，BC / OA，A （8，0 ），C （0，4），AB=5，BD丄OA于D .现有一动点P从点A出发，以每秒一个单位长的速度沿 AO方向，经O点再往OC方向移动，最后到达 C点设点P移动时间为t 秒.（1 ）求点B的坐标；（2）当t为多少时， ABP的面积等于13 ;（3）当t为多少时， ABP是等腰三角形.:(1 )：四边形OABC是直角梯形，四边形 OABC是矩形,/ OC=BD，BC=OD .tA ( 8, 0)，C (0，4 )，/ OA=8，OC=BD=4 ./AB=5，在Rt ABD中，由勾股定理，得AD=3，二 BC=O
3、D=5，二 B (5，4);(2 )当 P 点在 OA 上时，AP4/2=13，AP=6.5，t=6.5 ;当 P 点在 OC 上时，PO=t-8，CP=4-t+8=12-t/( 5+8 ) >4*2-5 X ( 12-t)煜-(t-8) >8*2=13解得t=10 .故当t为6.5秒或10秒时， ABP的面积等于13;当PB=PA时，PD=t-3 , PB=t，由勾股定理，得 t=25/6, ABP是等腰三角形，当P，C重合时，t=12，故 t=25/6、5、6、12 .27. （2007?沈阳）已知在矩形 ABCD中，AB=4，BC=-，O为BC上一点，BO，如图2 2所示，以
4、BC所在直线为x轴，0为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点.（1）若点M的坐标为（1 , 0），如图，以0M为一边作等腰 OMP，使点P在矩形ABCD的一边上，则符合条件的等腰三角形有几个？请直接写出所有符合条件的点P的坐标；（2） 若将（1）中的点M的坐标改为（4，0），其它条件不变，如图 ，那么符合条件的 等腰三角形有几个？求出所有符合条件的点P的坐标；（3） 若将（1）中的点M的坐标改为（5，0），其它条件不变，如图 ，请直接写出符合 条件的等腰三角形有几个.（不必求出点P的坐标）图图图解：（1）符合条件的等腰厶 OMP只有1个；如图，在 OP1M 中，OP1=OM=4，点
5、P的坐标为（一，4）;2（2）符合条件的等腰厶OMP有4个.7在 Rt OBP1 中，BO= ，2-P1（ £，平）；（5 分）在 Rt OMP2 中，OP2=OM=4 ，图 P2 ( 0, 4)；在 OMP3 中，MP3=OP3,点P3在OM的垂直平分线上，/ OM=4 ,- P3 (2, 4);在 Rt OMP4 中，OM=MP 4=4,- P4 (4, 4);(3)若M (5, 0),则符合条件的等腰三角形有7个.点P的位置如图所示.3. ( 2011?河池)如图 1,在厶 ABO 中，/ OAB=9O ° / AOB=3O ° OB=8 .以 OB 为一边
6、， 在厶OAB外作等边三角形 OBC, D是OB的中点，连接 AD并延长交OC于E.(1) 求点B的坐标；(2) 如图2,将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG,求OG的 长.国2(1)解：在 OAB 中，/ OAB=90，/ AOB=30 ° OB=8 , OA=OB ?cos30°8AB=OB ?sin30°=8Q=4,2点B的坐标为(4:, 4);(2)解：设OG的长为x,/ OC=OB=8 , CG=8- x ,由折叠的性质可得：AG=CG=8 - x ,在 Rt AOG 中，AG 2=OG2+OA2 , 即(8 - x) 2=x2+
7、(4丁 -) 2 ,解得：x=1 ,即 OG=1 .4. ( 2012?北京)操作与探究：(1) 对数轴上的点 P进行如下操作：先把点 P表示的数乘以一，再把所得数对应的点向右3平移1个单位，得到点 P的对应点P'.点A , B在数轴上，对线段 AB上的每个点进行上述操作后得到线段A'B',其中点A, B的对应点分别为A', B'.如图1，若点A表示的数是-3,则点A'表示的数是 0 ;若点B ' 表示的数是2，则点B表示的数是 3 ;已知线段AB上的点E经过上述操作后得到的对 应点E'与点E重合，则点E表示的数是：._2_ALI
8、IIIIIA-4VTJ01234圈1(2) 如图2,在平面直角坐标系 xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作： 把每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数 a,将得到的点先向右平移 m个单位，再向上平移 n个单位(m>0, n> 0),得到正方形 A'B'C'D'及其内部的点，其中点 A , B的对应点分别 为A ', B，.已知正方形ABCD内部的一个点F经过上述操作后得到的对应点F'与点F重合，求点F的坐标.图2解答：解：(1)点 A': - 3+1= - 1+1=0,3设点B表示的数为a,则丄a+仁2,3解得a
9、=3,设点E表示的数为b，则丄b+1=b,3解得b;2故答案为：0, 3,空；2-3a+np - 1(2)根据题意得，* 3且+呼2，解得*n=2L0*a+n=2设点F的坐标为(x, y),对应点F'与点F重合， x+=x,y+2=y ,2 2 2解得 x=1 , y=4 ,所以，点F的坐标为(1 , 4).25. (2010?内江)阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P(xi，yi)、Q(X2, y2)的对称中心的坐标为观察应用：(1) 如图，在平面直角坐标系中，若点Pi (0,- 1)、P2 (2, 3)的对称中心是点 A，则点
10、A的坐标为(1, 1);(2) 另取两点B (- 1.6, 2.1)、C (- 1, 0).有一电子青蛙从点 P1处开始依次关于点 A、 B、C作循环对称跳动， 即第一次跳到点 P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点 B的对称点P3处，第三次再跳到点 P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点 P4关于点 A的对称点P5处，则点P3、P8的坐标分别为 (-5.2, 1.2) 、(2, 3) .拓展延伸：(3)求出点P2012的坐标，并直接写出在X轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐(2) P3、P8 的坐标分别为(-5.2, 1.2), (2, 3);(3 ) P1 ( 0
11、,- 1) TP2 (2, 3) T P3 (- 5.2, 1.2) TP4 (3.2,- 1.2) P5 (- 1.2, 3.2) TP6 (- 2, 1) T P7 ( 0, - 1) TP8 (2, 3)；I P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以 6为周期循环./ 2012 七=3352.P2012的坐标与P2的坐标相同，为 P2012 ( 2, 3)；在X轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标为(-32 - 1, 0),(2, 0),(3/2 - 1, 0),5, 0)26. (2010?常州)小明在研究苏教版有趣的坐标系后，得到启发，针对正六边形
12、OABCDE , 自己设计了一个坐标系如图，该坐标系以 O为原点，直线OA为x轴，直线OE为y轴，以 正六边形OABCDE的边长为一个单位长.坐标系中的任意一点P用一有序实数对(a, b)来表示，我们称这个有序实数对 (a, b)为点P的坐标.坐标系中点的坐标的确定方法如下：(i) x轴上点M的坐标为(m, 0),其中m为M点在x轴上表示的实数；(ii) y轴上点N的坐标为(0, n),其中n为N点在y轴上表示的实数；(iii) 不在X、y轴上的点Q的坐标为(a, b),其中a为过点Q且与y轴平行的直线与 x 轴的交点在x轴上表示的实数，b为过点Q且与x轴平行的直线与 y轴的交点在y轴上表示
13、的实数.则：(1)分别写出点A、B、C的坐标；(2) 标出点M (2, 3)的位置；(3) 若点K (x, y)为射线OD上任一点，求x与y所满足的关系式.(1)由图示可知各点的坐标为：A (1, 0), B (2, 1), C (2, 2);(2)如图:(3)设射线0D上点K的横、纵坐标满足的关系式为y=kx ;由图知：D (1, 2),则:k=2 ,即x与y所满足的关系式为：y=2x (x>0 .29. (2006?湖州)如图，已知平面直角坐标系， -1).(1 )若P ( p, 0)是x轴上的一个动点，则当A、B两点的坐标分别为 A (2, - 3) , B ( 4,7一p= 时，
14、 PAB的周长最短；_2_M ( m, 0 )、N (0,(不必写解答过(2 )若C (a, 0), D (a+3, 0 )是x轴上的两个动点，则当 a=_ 时，四边形 ABDC的4周长最短；(3)设M , N分别为x轴和y轴上的动点，请问：是否存在这样的点n),使四边形 ABMN的周长最短？若存在，请求出m= , n=程)；若不存在，请说明理由.211J 1 1 1 11 2 3 4 5 6"-1: 广-3/A解：(1)设点B (4, - 1)关于x轴的对称点是 B'，其坐标为(4, 1),设直线AB'的解析式为y=kx+b，把 A (2,- 3), B'
15、(4, 1)代入得：*如 Q 心，l4k+b=l(k=9解得*,b=- 7X. y=2x - 7,令 y=0 得 x=,2即p=.2(2)过A点作AE丄x轴于点E,且延长AE，取A'E=AE .做点F (1 , - 1),连接A'F .那 么 A' (2, 3).3- ( - 11直线A'F的解析式为，即y=4x - 5,TC点的坐标为(a, 0),且在直线A'F上， a=：4(3) 存在使四边形 ABMN周长最短的点 M、N ,作A关于y轴的对称点A '，作B关于x轴的对称点B :连接A B '，与x轴、y轴的交点即为点M、N , A' (- 2,- 3), B' (4, 1),直线A'B 的解析式为：y=：x -33 M (£, 0), N (0,-纟).2355m= , n= -_2322B106B23图1VC2 3¥I 丁f I】2A/3：4 5 6_10