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1、案例4机器负荷分配问题某机器可以在高、低两种不同的负荷下进行生产。高负荷下生产时，产品年产量s =8u1,式中u1为投入生产的机器数量，机器的年折损率为a = 07 ,即年初完好的机器数量为u1,年终就只剩下0.7U1台是完好的，其余均需维修或报废。在低负荷下生产，产品 年产量s =5u2 ,式中u2为投入生产的机器数量，机器的年折损率为x1 = 1000台，要求制定一个五年计划，在每年开始时决定如何重新分配好机器在两种不同负荷下工作的数量， 使产品五年的总产量最高。模型分析设阶段变量k表示年度，状态变量xk是第k年初拥有的完好机器数量。k > 0时它也是k -1年度末的完好机器数量，决
2、策变量Xk规定为第k年度中分配在高负荷下生产的机器数量。于是 Xk -Uk是该年度分配在低负荷下生产的机器数量。这里与前面几 个例子不同的是 xk, uk的非整数值可以这样来理解：例如xk =0.6表示一台机器在该年度正常工作时间只占60%; uk=0.3表示一台机器在该年度的3/10时间里在高负荷下工作。此时状态转移方程为xk.1 =0.7Uk 0.9(xk - Uk), k =1,2,5k阶段的允许决策集合是Dk (xk ) = Uk |0 M Uk M xk第k年度产品产量是Vk (xk , u k ) = 8Uk 5(x k - U k)指数函数是5V8Uj 5(xj -Uj)j 七最
3、优值函数为九(*(<)=第卜年初从xk出发到第5年度结束产品产量的最大值由最优化原理得递推关系为 fk(xk) 热 8uk 5(xk - uk) fk 10.7uk . 0.9(xk -5)边界条件是f6(x6) =0，计算过程如下：k =5 时，£5(x5)=忠08匕 +5(x5 /)+ f60.7u5 +0.9(x5 U5)二0/殁网55(x5 -u5 )=0空号3化5x5因为f5的表示式是u5的单调函数，所以最优决策u5 = x5, f5 (x5)=8 x5;k = 4 时，f4(x4) = ma*8u4 5(x4 -u4)f50,7u4 0.9(x4 -u4)0 ,iU
4、4 .4=max 8u4 5(x4 -u4) 80.7u40.9(x4 - u4)0 _u4 _x4=max 1.4u4 12.2x40 /44同理，最优决策*U4*f4(x4)=13.6x4 ,依次可以U3*U2*Ui因为x1 =1000,所以=x3,=0,(3(X3)= 17.6x f2(x2) = 20.8x f1(x1) = 23.7x1f1(x1 )=23700 (台)。后3年将全部从上面的计算可知，最优策略是前两年将全部完好机器投入低负荷生产,机器投入高负荷生产，最高产量是23700台。在一般情况下，如果计划是 n年度，在高、低负荷下生产的产量函数分别是S, =CU1,S2=du2
5、, c>0,d >0, cd ,年折损率分别为 a和b, 0 <a < b < 1 ,则应用上例相似 的办法可以求出最优策略是，前若干年全部投入低负荷下生产。由此还可看出，应用动态规划可以在不求出数量值解的情况下确定最优策略的结构。终端状态固定的情形。如果要求在第5年末完好的机器数量是 500台，即x6 =500,于是由状态转移方程得X6 =0.7U6 09x5 -U5)=500 u5 =4.5x5 -2500这时允许决策集合D5(X5)退化为一个点，第 5年度投入高负荷生产的机器数只能由式(3-29)作出一种决策，所以f5(X5)= max8u5 5(X5 -
6、U5)二 max35 5x50 涉学0<U5 <X5=3 (4.5 x5-2500) +5 x5=18.5 x5-7500利用递推关系，k=4时，f4 (x4 )= max 8山 5(x4-U4) f5(x5)0四4 汐=maxf8u4 5(x4 -u4) 18.50.7u4 0.9(x4 -u4) -7500-max 21654x4 一。.7山-7500显然有最优策略：u4* =0, f4 (x4)=21.65 x4- 7500 划 21.7 x4 - 7500依次相似可得*u3 = 0,f3 (x3) = 24.5x3 - 7500*u2 =0, f2(x2) = 27.1x2 -7500 *_Ui =0,3(x1)=29.4x1-7500由此可见为满足第 5年度末完好机器为 500台的要求，而又要使产品产量最高，则前4年均应全部在低负荷下生产，而在第5年又将部分机器投入高负荷生产。经过计算x5 =656 , U5* =452, x5 - U5* =204 ,即第5年只能452台机器投入高负荷生产，204台机器投入低负荷生产，最高产量是f1 (x1 )=29.4 x1- 7500=29400 -7500=21900 台