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第二章 一阶微分方程的初等解法,2.1 变量分离方程与变量变换,先看例子：,定义1,形如,方程,称为变量分离方程.,一、变量分离方程的求解,这样变量就“分离”开了.,例：,分离变量:,两边积分:,注:,解:,积分得:,故方程的所有解为:,解:,将变量分离后得,两边积分得:,由对数的定义有,即,故方程的通解为,解:,分离变量后得,两边积分得:,整理后得通解为:,例4,解:,两边积分得:,因而通解为:,再求初值问题的通解,所以所求的特解为:,二、可化为变量分离方程类型,（I）齐次方程,(I) 形如,方程称为齐次方程,求解方法:,解:,方程变形为,这是齐次方程,即,将变量分离后得,两边积分得:,即,代入原来变量,得原方程的通解为,解:,方程变形为,这是齐次方程,将变量分离后得,两边积分得:,整理后得,变量还原得,故初值问题的解为,(II) 形如,的方程可经过变量变换化为变量分离方程.,分三种情况讨论,为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.,这就是变量分离方程,解的步骤:,解:,解方程组,注:上述解题方法和步骤适用于更一般的方程类型.,此外,诸如,以及,火箭是如何发射升空的？,设t时刻火箭的速度为V(t), 质量为M(t),准备发射时火箭的质量为Mo, 火箭马达喷气速度为u,根据动量守恒定律,-MdV=udM,三、应用举例,方程被称为齐奥尔科夫斯基方程，用它可以计算火箭的到达速度。,