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1、一道几何概率题的衍变 本文多角度的对一道几何概型问题进行衍变、设问、分析、思考,目的让大家感悟和加深对几何概型的理解和应用,提高分析解决问题的能力.题目:向半径为1的圆内投掷一点,求此点落在圆内接正三角形的概率.解:记“点落在圆内接正三角形为事件D,点随机的落入O内,O为所有实验结果构成的区域,事件D构成的区域为正.如图1,在正内,作,连结.O的半径,又是正三角形,又O的面积,由几何概率公式得.点评:解决几何概型问题的关键是根据几何概型问题的实际背景准确找出事件的几何度量.然后利用几何概型公式求出.衍变1.过半径为1的圆内一条直径上任意一点作垂直于直径的弦,求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率
2、.解:记事件=弦长超过圆内接等边三角形的边长.如图2,点随机落在直径上,不妨设过等边的顶点B的直径BE为所有实验结果构成的区域.在直径BE上任取一点作垂直直径的弦,当弦为 CA时即边长,假设弦长大于CA长,那么圆心O到弦的距离小于|OF|,由正三角形的性质可知.根据几何概率公式得故弦长超过圆内接等边三角形边长的概率.点评:处理此类问题,判断根本领件应从“等可能的角度入手,选择好观察角度是关键.衍变2.在半径为1的圆上随机地取两点,连成一条弦,求其弦长超过圆内接正三角形边长的概率.解:记“弦长超过圆内接正三角形的边长为事件A,如图3,在半径为1的O内作正,取的顶点B为弦的一个顶点,当另一个顶点在
3、劣弧上时,而劣弧的长是周长的.由几何概率公式得弦长超过圆内接等边三角形边长的概率为点评:解这类问题的关键是选准观察角度, 把总的根本领件及事件A 转化为与之对应的几何区域. 衍变3.以半径为1的圆内任意一点为中点作弦,求弦长超过圆内接正三角形边长的概率.解:记“弦长超过圆内接正三角形的边长为事件A,如图4,作等边的内切超过内接三角形边长,那么弦的中点必在小圆内,由平面几何知识可知小圆半径为,故所求概率为点评:“面积比是求几何概率的一种重要类型,许多几何概型问题常与面积结合.衍变4.设A为圆周上一定点,在圆周上等可能的任取一点与A连结,求弦长超过半径倍的概率.解:记“弦长超过半径倍为事件D.如图5,在O上有一定点A,任取一点B与A连结,当弦长等于半径倍时,AE是直径,由直角三角形的边角关系得,假设弦长超过半径倍,那么事件D所表示的范围是,任意点B随机落在圆周上,总的根本领件的空间为.点评:“角度比也是求几何概型的根本方法,注意以上几例的比拟,加深对几何概型问题的理解,以不变应万变.