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巧构距离妙解题有些数学问题,假设用常规方法求解,往往过程繁杂,难度较大,但假设能抓住其结构特征,通过构造点到直线的距离求解,那么能避繁就简,出奇制胜1 证明等式例1 假设,且求证:证明:由条件可知,点在直线上,原点到直线的距离不大于,即,整理,得,即2 证明不等式例2 求证:分析:此题证法很多,可利用函数、平面几何等方法然而用解析几何知识,通过构造点到直线的距离及两点间的距离证明既直观又巧妙证明:设直线,那么原点与直线上任一点的距离为由垂线段最短知,此距离不小于原点到直线的距离,即又,3 求函数最值例3 满足,求的最小值分析:此题是求二元函数的最小值问题,可以通过转化,将其化为二次函数来求解,但如果我们运用点到直线的距离,那么可使求解变得更巧妙解:原式可化为,其几何意义为两点和间距离的平方,而点在直线上由两点间距离不小于到直线的距离,得,即的最小值为4 求取值范围例4 ,求的取值范围解:由,得令,那么点在直线上到直线的距离由,得,即通过以上几何可以看出:在求某些代数问题时,如能联系两点距与点线距的关系,那么会使问题变得直观简捷,不失为一神“巧思妙解