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1、简单的线性规划一、教学内容分析这是一堂关于简单的线性规划的“问题教学 线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支, 它能解决科学研究、工程设计、经济治理等许多方面的实际问题 .简单的线性规划涉及两个变量关心的是两类问题：一是在人力、物力、 资金等资源一定的条件下, 如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务, 如何合理规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成 . 突出表达了优化的 思想教科书利用生产安排的具体实例, 介绍了线性规划问题的图解法, 引出线性 规划等的概念,最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用 .二、学生学习情况分析本节课学生在学习
2、了不等式、 直线方程的根底上, 又通过实例, 理解了平面 区域的意义,并会画出平面区域, 还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规 划的限制条件,将实际问题转化为数学问题 . 从数学知识上看, 问题涉及多个已 知数据、多个字母变量,多个不等关系,从数学方法上看,学生对图解法的熟悉 还很少,数形结合的思想方法的掌握还需时日,这都成了学生学习的困难三、设计思想本课以问题为载体,以学生为主体,以数学实验为手段, 以问题解决为目的,以几何画板作为平台,激发他们动手操作、观察思考、猜测探究的兴趣.注重引 导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题的建构过程, “从具体到一般 的抽象思维过程,应用“数形结合
3、的思想方法,培养学生的学会分析问题、解 决问题的水平.四、教学目标1了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念； 理解线性规划问题的图解法； 会利用图解法求线性目标函数的最优解2在实验探究的过程中,让学生体验数学活动充满着探索与创造,培养学生的数据分析水平、探索水平、合情推理水平及动手操作、勇于探索的精神；3、在应用图解法解题的过程中 , 培养学生运用数形结合思想解题的水平和化归能 力,体验数学来源于生活,效劳于生活,体验数学在建设节约型社会中的作用 .五、教学重点和难点求线性目标函数的最值问题是重点；从数学思想上看,学生对为什么要将求目标 函数最值问题转
4、化为经过可行域的直线在 y 轴上的截距的最值问题？以及如何想到要 这样转化？存在一定疑虑及困难；教学应紧扣问题实际,通过突出知识的形成开展过程,引入数学实验来突破这一难点六、教学过程设计一引入1情景 某工厂用 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该产每天最多 可从配件厂获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8h计算,该厂所有 可能的日生产安排是什么？请学生读题,引导阅读理解后,列表一建立数学关系式 -画平面区域, 学生就近既分工又合作,教师关注有多少学生写出了线性数学关系式,有多 少学生画出了相应的平面区域,在
5、巡视中并发现代表性的练习进行展示,强 调这是同一事物的两种表达形式数与形 .【问题情景使学生感到数学是自然的、有用的,学生已初步学会了建立线 性规划模型的三个过程：列表 -建立数学关系式- 画平面区域,可放手让 学生去做,再次经历从实际问题中抽象出数学问题的过程,教师那么在数据的 分析整理、表格的设计上加以指导 】教师翻开几何画板,作出平面区域 .2问题 师：进一步提出问题,假设生产一件甲产品获利 2万元,生产一件乙产品 获利 3 万元,采用哪种生产安排利润最大？学生不难列出函数关系式 .师：这是关于变量的一次解析式,从函数的观点看的变化引起 z 的 变化,而是区域内的动点的坐标, 对于每一组
6、的值都有唯一的 z 值与之对 应,请算出几个z的值.填入课前发下的实验探究报告单中的第24列 进行观察 , 看看你有什么发现？ 学生会选择比拟好算的点,比方整点、边界点等 .【学生思维的最近发现区是上节的相关知识,因此教师有目的引导学生利用 几何直观解决问题,虽然这个过程计算比拟繁琐,操作起来有难度,但是教 学是一个过程,从中让学生体会科学探索的艰辛,这样引导出教科书给出的 数形结合的合理性,也为引入信息技术埋下伏笔 】二实验教师翻开画板,当堂作出右图,在区域内任意取点,进行计算 , 请学 生与自己的数据比照,继续在实验探究报告单上补充填写画板上的新数 据.利润最大的实验探究报告单实验目的x
7、+ 2y 兰 8,4x16, 求z=2x+3y的最大值,使x, y满足约束条件* 4yS2, x0,小(2)理解用图解法求线性规划问题的最优解,体会数形结合的思想.进行实验与收集数据(1)翻开几何画板依次画出点、线构造平面区域； 在区域内任取一点M度量横坐标及纵坐标,计算z=2x 3y的值,并制表显示在 屏幕上；(3) 拖动点M在区域内运动,观察度量值z的变化,猜测z取得最大值时点M的位置. 同时请学生将有代表性的位置的数据记录在下表中的第25列：计 数 占 八、nxy2x + 3y占八、的 坐 标直线的方程直线在y轴上的截距123教师引导学生提出猜测：点 M的坐标为(4,2 )时,=取得最大
8、值14.【在信息技术与课程整合过程中,为改变老师单机的演示学生被动观看 的现状,让学生参与进来,老师(可以根据学生要求)操作,学生记录,共 同提出猜测,在当前技术条件受限时不失为一个好方法 】师：这有限次的实验得来的结论可靠吗？我们毕竟无法取遍所有点, 由于区域内的点是无数的！况且没有计算机怎么办,数据复杂手工无法计 算怎么办？因此,有必要寻找操作性强的可靠的求最优解的方法 .【形成认知冲突,激发求知欲望,调整探究思路,寻找解决问题的 新方法】继续观察实验报告单,聚焦每一行的点坐标和对应的度量值,比方M(3.2, 1.2 )时方程是,填写表中的第67列,引导学生先在点与直线 之间建立起联系-点
9、M的坐标是方程的解,那么点M就应该在直线 上,反过来直线经过点 M当然也就经过平面区域,所以点 M的运动就可 转化为直线的平移运动.教师拖动直线并跟踪,学生看到直线平移时可以取遍区域内的所有 点！这样我们的猜测就非常符合情理了 . 然后顺利过渡到直线与平面区域 之间的关系 .师：由于我们可以将 x,y 所满足的条件用平面区域表示了,你能否 也给利润 z=2x+3y 作出几何解释呢？ 学生很自然地联想到上面实验的结果,将等式 z=2x+3y 视为关于 x, y 的一次方程,它在几何上表示直线,当 z 取不同的值时可得到一族平行 直线.请把你猜测 1 换一种说法：猜测与假设2直线=经过点4,2 时
10、,=取得最大值14.将直线 =改写为,这时你能把猜测 2 再换一种说法吗？ 此时水到渠成 .猜测与假设3直线经过点M时,在y轴上的截距最大,此时=取得最大值14. 最后探究出“ =最值问题可转化为经过可行域的直线在 y 轴上的截距 的最值问题来解决,实现其图解的目的 .【借助计算机技术用运动变化的方法,创设实验环境,形成多元联系,展示数 学关系式、平面区域、表格等各种形态的表现形式,在数、图、表的关联中进 行观察、分析,从而逐步帮助学生进行有层次的猜测,也为我们的研究提供一 种方向,这是新课程积极倡导的合情推理 】 教师介绍线性规划、线性约束条件、线性目标函数、可行解、可 行 域和最优解等概念
11、 . 三 探究师：在上述问题中,假设生产一件甲产品获利3万元, 生产一件乙产品 获利2万元,又应当如何安排生产才能获得最大的利润？再换几组数据试 试课本第 100 页让学生“主动更换数据,教师借助几何画板“被动地进行操作演示,师生继续实验 ,发现结论同样成立.进一步发现目标函数直线的纵截距与 z的最 值之间的关系,有时并不是截距越大, z 值越大.实验结论 “目标函数的最值问题可转化直线 z =2x+3y 与平面区域有公共点 时,在区域内找一个点 M使直线经过点M时在y轴上的截距最大 【从笔算到计算,从点到直线再到平面区域 ,从一个函数到多个函数, 从特殊到一般,从具体到抽象的熟悉过程,使学生
12、经历数学知识形成、发现、 开展的过程,获得问题的解决,这有助于培养学生的科学素养 】四练习小结学生练习P 104第1题. 及时检验学生利用图解法解线性规划问题的情况 ,练习目的：会用数形结合思想,将求的最大值转化为直线与平面区域有公共点时,在区 域内找一个点M,使直线经过点M时在y轴上的截距最小的问题,为节 省时间,教师可预先画好平面区域,让学生把精力集中到求最优解的解 决方案上 (五) 实例展示(课本第 100页例 5饮食营养搭配) 营养学家指出,成人良好的日常饮食至少应该提供 0.075kg 的碳水化合物,0.06kg的蛋白质,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg的碳水化合物
13、,0.07kg的蛋白质,0.14kg的脂肪,花费28元；而1kg食物B 含有 0.105kg 的碳水化合物, 0.14kg 的蛋白质, 0.07kg 的脂肪,花费 21 元.为了满足营养学家的指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同 时食用食物A和食物B多少kg?【一是使学生熟悉到现实生活中存在许多简单的二元线性规划问 题,二是让学生经历完整的分析研究问题、制定解决问题的策略的过程, 让学生全面参与课堂教学,完善知识结构体系 】这里要关注平面区域此题是开放型的,而引例是封闭型的 .(六) 课后伸申师：在上述线性规划问题中, 线性约束条件及线性目标函数是确 定的,求最优解 .这是问题的一方面,
14、另一方面(1) 假设要求结果为整数呢？最优解是在哪？(2) 假设有唯一(或无数)最优解时,反过来确定线性约束条 件或目标函数某些字母系数的取值(范围) ,又如何解决呢？(七) 小结求最优解的一般步骤(板书) ：(1) 画线性约束条件所确定的平面区域；(2) 取目标函数 z=0, 过原点作相应的直线；(3) 平移该直线,观察确定区域内最优解的位置；(4) 解有关方程组求出最优解,代入目标函数得最值 .作业：第 104页练习 2,第 106页习题 34,第 107页习题 3.七、教学反思 为了将学生从繁琐的数字计算和画区域图中解脱出来,将精力放在对最优 解的理解和突出思想方法上, 可根据以下不同的情况, 设计教学条件, 支持教学(1) 理想的实验应该是在网络环境的支持下完成的, 教学之前, 老师将积件传 输到学生的计算机中,学生在单机的条件下自己动手操作(2) 在学生缺乏信息技术工具的条件下, 教学和作业都应防止繁琐的计算, 而 把注意力放在“算理上另外数学探究的时间长会使学生失去耐心,根本练习时间无法保证,导致当 前效果不直接,教学评价难以跟进,教师宜把握尺度、限制时间,组织起有效的课堂教学,提升 驾驭课堂的水平与水平 .