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1、对数版米尔诺公式与西格尔模形式的导数本论文由相互独立的两部分组成，第I部分由第1章至第5章组成,这一部分 是关于算术几何中的分歧理论。第 II 部分由第 6章至第 9章组成,在这一部分, 我们将给出构造自守形式微分算子的一种新方法。在第I部分，我们将提出一个对数版的米尔诺(Milnor)公式，并证明这个公 式在几何情形时是对的。设 X是一个正则概形，D是X上的简单正规交叉除子,S 是一个具有完全剩余域的Hensel离散赋值环的素谱，f:X f S是一个平坦有限型 态射。设素数在S上可逆,?是U=X-D上取值为F-向量空间的局部常值的可构造 etale层，且?沿着边界D是驯分歧的。对数版米尔诺公
2、式是说,如果f在某个闭 点x D处具有孤立对数奇异，则态射f对于etale层？的消失輪体(vanishing cycle)在点x处的完全维数(total dimension)等于rank?乘以f在点x处的对数版米尔诺数。在第 5 章, 我们将利用特性圈 (characteristic cycle) 给出对数版米尔诺公 式的另一刻画 , 这个刻画意味着 P.Deligne 关于消失輪体完全维数的猜想对驯分 歧的etale层是对的。在第II部分,我们引入微分几何的方法来研究西格尔 (Siegel) 模形式的微分算子。我们将精确的计算出西格尔上半平面中的 Levi-Civita 联络, 并给出微分形 式在联络作用下的具体表达式 , 利用这些表达式我们将推导出一个非全纯的算子。 为了研究全纯的算子 , 我们将引进模联络的概念 , 并证明西格尔上半平面中最多 存在一个全纯的 Sp(2g,Z)- 模联络