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1、定积分及其应用题一 题面: 求由曲线y (x 2)2与x轴，直线y 4 x所围成的平面图形的面积.答案：32 变式训练一题面：x+ 2 2x0 ,函数f(x)=n 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积2cos x 0 x2 2+ *o2cos xdx= 2 + 2sin 刘步二 4.变式训练二题面：由直线y=2x及曲线y= 3 x2围成的封闭图形的面积为()A. 2 3B . 9 2 3肿5C.亍答案：f 32D2详解:注意到直线y= 2x与曲线y= 3-x2的交点A, B的坐标分别是(-3,-6), (1,2),因此结合图形可知，由直线 y= 2x与曲线y= 3-x2围成的封闭图=3X1 -
2、3 13 - 12形的面积为 1 (3 x2 2x)dx = 3x-3x3-x2-31-32二32,选D.1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率在边长为11题面:题二 题面： 如图所示, 为().1函数f(x) = sin(3汁妨的导函数y= f (x)的部分图象如图所示，其中，P为图象与y轴的交点，A, C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点,则该点在厶 ABC内的概率为.答案:n4.详解:n设 A(xo,O)，贝U2,-X0 =2 n又y= 3cos（3汁妨的周期为一,3n Ac|=n Cn+ 3, 0 .依题意曲线
3、段ABC与x轴围成的面积为n6nn6,、. 亠S= 丁 _+wcos(wx+ 6)dx=2.2 3 w w2 3 wnnT |AC|=, |yB|=w,. SAABC=dw2满足条件的概率为n变式训练二题面：（2012?福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点阴影部分的概率为（）P,则点P恰好取自JOV ” B4答案：c.详解：根据题意，正方形OABC的面积为1X1=1 ,而阴影部分由函数y=x与:围成，其面积为2 2呵 %）dx=（討-专）0则正方形OABC中任取一点P,点P取自阴影部分的概率为 丄; 间6故选C.金题精讲 题一 题面:（识图求积分，二星）已知二次函数y= f（x
4、）的图象如图所示，则它与 x轴所围图形的面积为（）.42变式训练一题面：1如图求由两条曲线y= xy= x , 由y=i., y= 4X2及直线y= 1所围成的图形的面积.得交点A(- 1,- 1), B(1,1).y=- 4x2,得交点 C(-2,- 1), D(2,- 1).y=-1,所求面积s= 2 / 0 - + x2 dx+ 2 - JiX2 + 1 dx =-1 3变式训练二 题面：例1求在0,2 上，由x轴及正弦曲线y si nx围成的图形的面积答案：4.详解：作出y sin x在0,2上的图象如右y sinx与x轴交于0、2 ，所求积s2oSin xdx | sin xdx|
5、( cosx) |o(cosx) |24题二 题面:（作图求积分，四星）求曲线32y x 6x与曲线y x所围成的图形的面积.交点的横坐标分别为2,0,3 , S2112.变式训练一题面：求曲线y x , y x及y2x所围成的平面图形的面积详解:作出y2x，yx及y2x的图如右y2xx2x0解方程组2得y2xy4y0yxx1x0解方程组2得y2xy1y0所求面积 s 0(2x x)dx 2x x2)dx10xdx 2(2x x2)dx2|0(x23 2x )|i答：此平面图形的面积为 76变式训练二 题面：求由抛物线y28x( y 0)与直线x y 6及y0所围成图形的面积答案:详解:403
6、作出y28x(y0)及xy6的图形如右2 y8xx2解方程组j得xy60y4xy60x6解方程组J得y0y0题三所求图形的面积s 0、-8xdx6（6 x）dx21內2 (6x ix2)|2403题面:(1) 由曲线y JX，直线y x 2及y轴所围成的图形的面积为 (2) 由曲线y2 x与直线y x 2所围成的封闭图形的面积为 .169答案：(1)16 ；( 2)9 .3 2变式训练一题面：设f (x)= 八 匸L5丄，函数图象与x轴围成封闭区域的面积为()2_ Xi(L 2A 二B 亠C D 467答案：C.详解：_5故选C 变式训练二 题面：已知函数的图象与x轴所围成图形的面积为(D.
7、3/2A. 1/2 答案：D.详解： 由题意图象与x轴所围成图形的面积为1 0(x 1)dx cosxdx2x)|0sin x|0232.故选D.题四题面：f (x) 2x 1，则(导数与积分结合，二星)设函数f (x) xm ax的导函数为2f ( x)dx的值等于.15答案：5.6变式训练一题面：2f(- x)dx的值等于1设函数f(x) = xm + ax的导函数f (x) = 2x + 1,则5A6答案：A.详解：由于 f(x) = xm+ ax 的导函数 fx(= 2x+ 1,所以 f(x) = x2 + x,于是弃(一x)dx=*x2- X)dx=装-2x26变式训练二 题面：设函
8、数f（x） = xm + ax的导函数fx） = 2x+ 1，贝U 2f（ x）dx的值等于（）11B.2iD.65a62C.3答案：A.详解：由于 f(x) = xm+ ax 的导函数为 fx)= 2x+ 1,所以 f(x) = x2 + x,于是 2f(5- 6-21-31_xi2x)dx= (x x)dx=i题五题面：（化简后求积分，四星）（1）求2 彳1 sin 2xdx0原式 2 sin x cosx dx00(cosxsin x)dx2 (sinx cosx)dx42 2 2.(sin 4 x0 2变式训练一题面：)B. 2f 0n sin 2 dxD .以上结论都不对与定积分/
9、0n 1 cos xdx相等的是(A. 2/ 3nsinxdxxC.2f 0”sin 2dx答案：B.详解：2x11 cos x= 2sin 2,- fn 1 cos xdx= fn 2 sin| dx=2沪 sin| dx.变式训练二 题面：4 cosxdx0答案：舟.详解：因为 04cosxdxsin x.nsin4_2所以 cos xdx=题六题面：(定积分的运用，三星)函数f(x)= sin( 3汁妨的导函数y = f (x)的部分图象如图所示,其中，P为图象与y轴的交点，A, C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点. (1)若片n点P的坐标为0 ,晋，则；若在曲线段 ABC与x轴
10、所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为盘7cB解析函数f(x)= sin( 3X+ 0)求导得，f (x) =3COS(3x+0),把 片和点0,电3代6 2 n33入得cocos 0+= 解得3= 3.6 2nn(2)取特殊情况，在(1 )的条件下，导函数f (x) = 3cos 3x+ 6，求得A 9, 0 ,B in，- 3 , C 0，故 ABC的面积为Swc = 1x 3nx 3 =才，曲线段与x轴所44 n n3 n n围成的区域的面积S=- f x99=- sin寸+ n + Sin 于 n = 2,所以该点在Sabc nABC内的概率为 P =尹=才同类题一 题面：
11、设y= f(x)是二次函数，方程f(x) = 0有两个相等的实根，且fx(= 2x- 2.(1) 求y=f(x)的表达式；(2) 求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积. 答案：(1) f(x) = x2 2x+ 1.11.详解：(1) 设 f(x) = ax2 + bx+ c(aM 0)则 fx) = 2ax+ b.又 fx) = 2x 2, 所以 a= 1, b= 2, 即卩 f(x) = x2 2x+ c.又方程f(x) = 0有两个相等实根， 所以= 4 4c= 0, 即卩 c= 1.故 f(x) = x2 2x+ 1.(2) 依题意，所求面积为S=1(x2 2x+ 1)dx=
12、 (fx3-x2 + x)|0 = 10同类题二题面： 设y=f (x)是二次函数，方程f (x) =0有两个相等的实根，且f( x) =2x+2.(1) 求y=f (x)的表达式；(2) 求y=f (x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.(2)若直线x=-1 (Ovtv 1=把y=f (x)的图象与两坐标轴所围成图形的面 积二等分，求t的值.答案：(1)(2)f (x) =x2+2x+1.13.(3)t=1 - 312 .详解:(1)设 f (x) =ax2+bx+c,则 f(x) 又已知 f (x) =2x+2 a=1, b=2. f (x) =/+2x+c又方程f (x) =0有两个相等
13、实根， 判别式Y4 4c=0，即 故 f (x) =x2+2x+1.c=1.=2ax+b,(2)依题意,有所求面积0/21(x2x 1)dx (1 x3 x2x)|01(3)依题意,1(x22x 1)dx0t(x22x 1)dx , (lx3 x23x)|；Z1 3(3x2 0x x)|1 t3+t21+- =-1311 3 t2+t, 2t3 3 36t2+6t 仁 0,2 (t 1) 3= 1,于是t=1- 3 2思维拓展题一题面：(几何法求积分，四星) 同类题一(1)计算0dx ,1 2x sin xdx ;(2)求椭圆2x2a2的面积.S 4 o a - a2 x2dx4ba2 x2d
14、x，转化为圆的面积.题面：求定积分 1 ( . 1 x2 )dx的值.答案： 2详解：1QIx2 + y2= 1在第一、二象限的上半圆的面积.因为S半圆-，又在x轴上方.所以 / . 1 x2 )dx =.同类题二题面：x2)dx的值是()(x 1)2111D. 1A.-B.-C.-4 34 32 32答案：A.详解：积分所表示的几何意义是以(1, 0)为圆心，1为半径第一象限内圆弧与抛物线y=x2在第一象限的部分坐标轴围成的面积，故只需求出圆的面积乘以四分之一与抛物线在第一象限的部分与x轴和直线x=1围成的图形的面积之差.即；(；1 (x 1)2 x2)dx1 2x2dx0_ 143.故答案选A I I