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1、离散时间的最优控制,针对随机系统按最优化方法设计控制器。,假定被控对象是线性的，系统性能指标是状态和控制的二次型函数，则系统的综合问题就是寻求允许的控制信号序列，使性能指标函数最小，这类问题称为线性二次型（Linear Quadratic）控制问题。如果考虑系统中随机的过程干扰和量测噪声，且过程干扰和量测噪声均是具有正态分布的白噪声，这类问题称为线性二次型高斯（Linear Quadratic Gaussian）控制问题。,最优控制器也是由两部分组成，一部分是状态最优估计器；另一部分是最优控制规律。,其设计也可分为两个独立的部分：一是将系统看作确定性系统；二是考虑随机的过程干扰 v 和量测噪声
2、w，设计状态最优估计器。,1 最优控制规律设计,(1)有限时间最优调节器设计,设连续被控对象的离散化状态方程为,初始条件,给定二次型性能指标函数,线性二次型最优控制的任务是寻求最优控制序列 （k0，1，N1），在把初始状态x(0) 转移到x(N) 的过程中，使性能指标函数最小。,求解二次型最优控制问题可采用变分法、动态规划法等方法。这里采用离散动态规划法来进行求解。 动态规划法的基本思想是：将一个多级决策过程转变为求解多个单级决策优化问题，这里需要决策的是控制变量 （k0，1，N1）。令二次型性能指标函数,其中：iN1、N2、0。下面从最末一级往前逐级求解最优控制序列。,首先求解 ，以使 最小
3、。求 对u (N1) 的一阶导数并令其等于零：,由上式和连续被控对象的离散化状态方程，有,进一步求得最优的控制决策为,其中,得,依次，可求的 、 、 。,其中, 稳态控制规律,是使上面性能指标函数J极小的最优反馈控制规律，最优性能指标函数为, 所求得的最优控制规律使得闭环系统是渐近稳定。, S是如下的黎卡堤代数方程,或：,的唯一正定对称解 。,该结论说明了：当满足上述结论中所给条件时，最优的反馈控制规律是常数阵；并且使得闭环系统是渐近稳定的。同时该结论也指出了计算最优反馈控制规律的途径，它既可以通过直接黎卡堤代数方程求解，也可以通过迭代法解黎卡堤差分方程求得。同时也可以看出，结论条件“是正定对
4、称阵”可以放宽到“是非负定对称阵”。,例 考虑离散系统：,其中：,设计最优控制器，使性能指标：,最小。,2 状态最优估计器设计,目前有许多状态估计方法，这里介绍Kalman滤波器。,设被控对象的离散状态空间表达式为,其中：x (k)为n维状态向量，u (k)为m维控制向量，y (k)为r维输出向量，v (k)为n维过程干扰向量，w (k)为r维测量噪声向量。假设v (k) 和w (k) 均为离散化处理后的高斯白噪声序列，且有,设V为非负定对称阵，W为正定对称阵，并设v (k) 和w (k) 不相关。,(1）Kalman滤波公式的推导,由于系统中存在随机的干扰v (k)和随机的量测噪声w (k)
5、，因此系统的状态向量x (k)也是随机向量，y (k)是能够量测的输出量。若记x (k)的估计量为,问题：如何根据输出量y (k) 估计出x (k),则：,为状态的估计误差，因而,为状态估计的协方差阵。显然P (k)为非负定对称阵。这里估计的准则为：根据量测量y (k)，y (k1)，最优地估计出X (k) ，以使P (k)极小（因P (k)是非负定对称阵，因此可比较其大小）。这样的估计称为最小方差估计。,求一步预报误差,根据前面的定义，上式中第一项为 ， 是输入到控制对象的确定量 ，因此上式中的第二项为 。第三项中 、 、均与 不相关，则第三项为零。,求得一步预报方程为,极小。J表示 的各个分量的方差之和，因而它是标量。,可以证明，使 极小等价于使如下的标量函数,由以上公式，可得 的状态估计误差为,解：根据上述Kalman滤波增益阵计算流程，迭代计算出不同过程噪声水平下的滤波增益矩阵 如图。,图 例2系统的Kalman滤波增益矩阵,可以看出， 中的各个元素随着 的增大而增大，它说明控制对象受到的干扰愈大，依靠模型来进行预报的准确性愈低，从而更需要利用量测来进行修正。也可以看出， 是一个时变增益矩阵，但当增大到一定程度后，将趋于一个常数值。,