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1、:,2022/1/15,1,第十二章 无穷级数,（Infinite Series）,第一节 常数项级数的概念与性质第二节 常数项级数的审敛法第三节 幂级数第四节 函数展开成幂级数第五节 函数的幂级数展开式的应用,主 要 内 容,:,2022/1/15,2,第一节 常数项级数的概念和性质,第十二章,（Conception and property of constant term series）,一、常数项级数的基本概念,二、收敛级数的基本性质,三、小结与思考练习,:,2022/1/15,3,一、常数项级数的基本概念,定义,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数
2、的一般项,级数的前 n 项和,次相加, 简记为,称为级数的部分和.,则称无穷级数,:,2022/1/15,4,收敛 ,并称 s 为级数的和,记作,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,则称无穷级数发散 .,显然,:,2022/1/15,5,:,2022/1/15,6,例3 讨论等比级数,(又称为几何级数),( q 称为公比 ) 的敛散性.,解: 1) 假设,从而,因此级数收敛 ,从而,则部分和,因此级数发散 .,其和为,:,2022/1/15,7,2) 假设,因此级数发散 ;,因而,n 为奇数,n 为偶数,从而,综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;,时, 等比级数发散 .,那么,级数
3、成为,不存在 , 因此级数发散.,:,2022/1/15,8,二、收敛级数的基本性质,性质1 若级数,收敛于 s ,则各项,乘以常数 k 所得级数,也收敛 ,证: 令,那么,这说明,收敛 , 其和为 ks .,说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .,即,其和为 ks .,:,2022/1/15,9,性质2 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,证: 令,那么,这说明级数,也收敛, 其和为,:,2022/1/15,10,:,2022/1/15,11,性质3,在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数,的敛散性.,证: 将级数,的前 k 项去掉,的部分和为,数敛散性相同.,当级数收敛
4、时, 其和的关系为,类似可证前面加上有限项的情况 .,极限状况相同,故新旧两级,所得新级数,:,2022/1/15,12,性质4,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数,的和.,证: 设收敛级数,若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列,为原级数部分和,序列,的一个子序列,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.,注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,但,发散.,因此必有,例如，,用反证法可证,例如,:,2022/1/15,13,证:,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,例如,其一般项为,不趋于0,因此这个级数发散.,:,2022/1/15,14,注:,并
5、非级数收敛的充分条件.,例如, 调和级数,虽然,但此级数发散 .,事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 那么,但,矛盾!,所以假设不真 .,:,2022/1/15,15,例6 判断级数的敛散性:,解: 考虑加括号后的级数,发散 ,从而原级数发散 .,:,2022/1/15,16,内容小结,常数项级数的基本概念: 常数项级数、 收敛、发散、等比级数、调和级数,3. 级数收敛的判别方法,2. 收敛级数的5个性质,:,2022/1/15,17,思考与练习,答:（1若二级数都发散 ,不一定发散.,例如,（2） 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 .,(用反证法可证),:,2022/1/15,18,解: (1),所以级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,2、 判别下列级数的敛散性:,:,2022/1/15,19,(2),所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,:,2022/1/15,20,3、 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:,解: (1) 令,那么,故,从而,这说明级数(1) 发散.,:,2022/1/15,21,因,进行拆项相消,这说明原级数收敛 ,其和为,(2),:,2022/1/15,22,这说明原级数收敛, 其和为 3 .,(3),