1、求数列通项公式方法归纳一、公式法【例1】已知数列oj满足z=2a*+324=2,求数列n)的逋项公式.解：q“=2%+3x2两边除以2“，得招=*+：，则导一M=：，故数列*是以23=1为首项，以2为公空的等差数列，由等型数列的通项公式,解生=+(-|),22222所以数列Sj的通项公式为外=4一;)2.二、K加法【例2】己知数列m,满足=4+2+I,1=1.,求数列“)的通夜公式。解：由4“=n+2+1得a1.tt1.-(ia=2n+1.U111Ia*=(ax-.1)+(a。”一见_1+,+(4一七)+(七一4)+%=(2(11-1)+1J+2(m-2)+1J+.+(22+1)+(21+1)
2、1=2(j-1)+(j-2)+2+1J+(i-1)+1=2”也+(“-1)+12=(-I)(11+1)+I=所以数列4的通项公式为q=n=a3+-4=%+-7-。【例3】在数列4中，%=4,Zi-In,a1.tt1.=an+1.求通项公式4.j(w+1.)解：原递推式可化为：n.=n+-n/J+1III1ay=a,+,=,+则I12-23逐项相加得：aA=u1.+1.故an=4-.nIi【例4】已如数列满足qt.=q,+2x3+1.,4=3,求数列4的通项公式。解：由凡”=q+2x3+】得一11=23+1.则所以q,=3+-1.【例5】已知数列佃/满足%=3+23*+1.,%=3,求数列“J
3、的通J公式.解：-=M+23+1.两边除以3f得爵喙+3?则翁-H+故“42(-1)2tj1.1因此上=-1i+2+1=+,331-3322x3-9II则4=x3+1.3-1.322【例6】在数列J中，勺=0旦。A=4+2-1.求通用(明.1T.O1(I)(I+23)/.2an=1.+3+2w-3=1.=(-)_1_【小练】：已知/满足6=5+D求SJ的通项公式.已知*的首项6=1.4“=%+2（“AT）求通项公式.已知中./=3.%=11+2-,求a,。三、JK乘法类型q,=/()”,型【例7】已知数列oJ满足外“=2(+1)5Xq，4=3,求数列4的通项公式.解：因为Qz=2(+1)5Xq
4、3,所以41,H(),则也=2(+1)5.故a“%26=2(-1+I)5m,)2(m-2+1)5),1.(2(2+1)52112(1+1.)51.3=2T”S-i).3x2x5(xn2x+2“*3Hn-1.=32n,5-j11!水-T1.所以数列的通项公式为4=32-,5m!.【例8】已知数列他/满足4=1.a”=%+2ai+34+.+(-1.)q-(“22),求的通项公式。解：因为4=+2+3/+(-IWiVN2)所以=6+2q+3q+(j-1.)n_1+/;用式一式得生“-%=4.则=5+D=3(q,+2+y)将“=3+5X2+4代入式，得311+52n+4+xT*+y=3(,+x2n
5、y)整理得(5+2x)2+4+y=3.r2+3y.令V丁，“弋，代入式得4+y=3y(y=2q.i+5x2+2=3(,+5x2+2)由+52+2=1+12=13Wo及式，1t0d+52+20,则也生=3.q+5X2+2故数列S*+52+2是以q+52+2=1+12=13为首以3为公比的等比数列,因此“1,+52+2=133期,=133T-52-2.KM12已知数列应满足牝“=24+3二+4+5.4=1,求数列4的通项公式.解：设4“+期+1+_y(+1.)+z=2(a*+x，/+y+z)将型“=2a+3n2+4+5代入式，得2a1.1.+3+4+5+.v(t+1)2+y(n+1)+2=2(+
6、xn2+yn+z)，则2w+(3+x)t1+(2x+V+4)j+(a+y+z+5)=2an+2xn2+2yt+2z等式两边消去2a.得式+x)n2+(2x+y+4)11+(x+y+z+5)三2xn2+2yn+2,解方程组3+x=2x2x+y+4=2y.则x+y+z+5=2.r=3),=10,代入式，得z=18a1.t,1.+3(+1)，+1.()(n+1)+18=2(.+3/?+10+18)由4+3f+IOx1+18=1+31=32WO及式，得q+3/+10+18/0则外1上迎球W空H=2.故数列0n+3+IOzf+18为以,+3n2+10n+18%+3xF+10x1+18=1+31=32为首
7、项，以2为公比的等比数列，因此(i+3/+10+18=32X2”“，则an=2n-*-3-1O,-I8e例13数列J满足”“=247,q=2,求(解：设与小广目.即“川=2%+X,对照原递推式,便有一x-1.故由*=2。“-1.得%-1=2(4-1),即/二2=2,得新数列ET是以%T%1=2-1=1为首项.以2为公比的等比数列.(n=1.,2,3-),.-.a-=2,即通项(=21+I【练习】：I、己知Sj满足=3,，“=2411+1.求通项公式.2、W中，。产1,0*=3%+2s2)求n.分析：构造辅助数列，4+=*%+),则4=3-1.【同类变式】1,已知数列SJ湎足=24+(2-1),
8、F1.f1.1=2.求通项(分析：(特定系数),构造数列&+&+使其为等比数列，即4“+k(+)+Z=2(an+kn+b)解得&=2J)=1求得明=52-2一11C,.-a=-an.+2-1.,2、已知：叫=1.”22时，2,求SJ的通项公式，a+An+B=-an.1.+4(11-1.)+解：设211.1，IRau=-an1.AnAHM2,*-1222Iu22IIA=-A.w1.-4+6=3：.22解得：8=6.。“一4,6是以3为首项.I2为公比的等比数列an-4m+6=3(),.0“-4+6是以3为首项.2为公比的等比数列an-4/+6=3rt11=3+4-6【例14己知数列4的前项和5“
9、满足5=2an+2n(1) 写出数列的前3项可”2，小；(2) 求数列4的通项公式.解：(由1=S1=2a1.+2.汨%=-2.(2)当22时,有=S“一SArT=2(q2即4=24T-2令+X=2(j+%产=2%+”,与比较得X=-2%一2:是以一2=-4为首项,以2为公比的等比数列.a-2=(-4)-2T=-2m.an=-2a*1+2,11x【引申题目】、已知中，rt=1,a，=2a.+2(“2)求1.2,在数列Q-中,a=1.三u=2in+43，求通项公式W：原递推式可化为：1.1.+2-3=2(+-3-)比较系数得j式即是：a.,-4-31=2(n-4-3,)则数列是一个等比数列，其首
10、项,431=5.公比是2.a.-43=-52即an=43im-523、已如数列E1.满足a.=2a11+32n,a=2,求数列E的通项公式.a.=a1.3a.“a._3解：a.,=2a11+32n两边除以2。”.得2“2*2.则22-2,(汩上=2=3故数列二是以22为百，以5为公差的等是数列，由等差数列的通项公式,得+(n-0.1a11=(-n-)222.所以数列2的通项公式为22.6=I4、若数列的递推公式为=%j23UwN),则求这个数列的通项公式i=35、若数列的递推公式为=4-235cN),则求这个数列的通项公式6,已知数列E)满足a.“=2a“+3f=6,求数列d的通项公式，解：设
11、a.+x5=2(a1.1.+x5)将K=2n+36代入式，w2an+35nx5,=2an+2x5等式两边消去2a,知35+x5=2x5,两边除以5,得3+x5=2x,则x=_,代入式.ft)an.n1=2(an-5n)(an.T；由a-S=6-5=o及式，得a1,-50*0,则a-5,则数列伯-)是以q-5=1.为首项，以2为公比的等比数列，则4-5=卜2小，故4=2+5【例15已知数列4中，解：将4=h首项是-!-=1,公差为2,f%【例16数列%）中，Ha提示_=_!_+1mi71%=屋+解：-1.=J-+2即久”%.1.“II则”=仇+攻二2二）=1-2fa【例184列IeJ中,=2”“
12、4解：f1.2”“。”=-bZ/1.设为.-T=/&-=击力-2一久-3=与其中q-3且当n2时，an=-i-,求通项公式“。2-i+1:两边取倒数褥：-=2.这说明是一个等基数歹h44.14乔以J-=I+S-）x2=2-1.,即，=.ax2n-1.1.=,&“=五Uri求数列m的通项公式.=1.求O=+2=I-2+2,=2-IAa11=,2-12n*1.an2“+/.q=2,求1%的通虱I11=一+-T.2川=H+击.,=%+/I、在数列S/中,ai=,aft,1.“1,+3【例19若数列严I中，=3且凡“=”，:（n是正用数）,则它的通项公式是=（2002年上海岛考SS.解由魄意知见0,
13、将（I.=a；两边取时数汨怆=2Ig4，即坐山=2，所以数Igaa列g力足以1.g%=g3为首项，公比为2的等比数列，1.gqr=1.gq2=1.g3*,即/=3【缄习】I、在数列M1.J中，6=1.=4,444+3五、对数变换法【例20已知数列4满足q“=2x3xa：,（=7,求数列“的通项公式.解：因为4”=2x3*xa：,f1.=7,所以,0,Q1.I”0”在11=23x”：式两边取常用对数得Ign.,=5Igq+Ig3+Ig2设Igf1.41+M+1)+v=5(1.gan+.w+y)将式代入式，得5Igq,+Ig3+Ig2+x(+1)+y=5(1.gf1.+xn+y),两边消去51g0
14、并整理,得(Ig3+x)+x+y+1.g2=5m+5y,则Ig3+.v=5.vA+y+1.g2=5.y一蚂4产更+反164代入式得ig4+号(+1)+胃+号=5(1.gq+等“+臀+号)由Igq+皂1.+豆+典=1.g7+豆1.+妲+皎0及式，14164e4164得叫+封史+蚂O.41645+争向)喈弋则-=5.叱.蚂+蚂.反一4164所以数列Ugq,+妲”+%+孥是以电7+妲+华+跤为首项以5为公比的等41644164比数列，则怆巩+妲+柜+皎=。g7+豆+堡+柜)5，因此41644164(+a辱学5%野IINI=(1.g7+1.g3+1.g3z+1.g2)5-Ig37-Ig3记-Ig2s
15、IIInII=1.g(737-327)J5,-1.g(373z-27)IIJb=1.g(7373z2)5-吆伊3正2；)尸二rr=1.g(7s-1.332-r)SHb-1=1.g(7i3F-2-r)SIST尸T则q=7广X3F-2.六、迭代法【例21】已知数列满足/“=丁“吃6=5.求数列4的通项公式.始因为=。产,所以.=斓刀=4了.产1_,q2ST)rt2(2H24所3)2wi一an-3_zf3n1.23(11-2)(-!)2i+2+-6-22-11-aJiUi-D3n11!22art-H又q=5,所以数列与的通项公式为。“=5八2?评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式
16、即先将等式凡“=,+0r两边取常用对数得g.1.=3(11+1.)2*XIgan,即学M=3(+1)2，g4再由瞿.鬻5.产,从而七、数学归纳法【例22】已知数列(见满足“=,+(,+：,；：+.=1-求数列m/的通项公式。8(1+1)=88224(2x1+1)2(21+3)299252524-254849+-8348254949848049818?_,W2+Da，(，2(22+1.尸(22+3)2_rt,8(3+1),a(23+1)2(23+3)1由此可猜测an=（；：）丁往卜用数学归纳法证明这个结论，八、换元法【例23）已知数列（qj满足为“=乙（1+4q,+J1.+24q,）,a1.=
17、求数列的通项16公式。解：触,=i+24q,.KU11=(Z;-1)故=如.1)，代入%=/+也+gT)得即4%=(+3-因为以=J1.+24*0,故以“=J1.+2也“0则2,“=+3,即；以+3可化为以“一3=5(,3)，所以也,-3地以4一3=1.+2-3=1.+241.-3=2为首项.以g为公比的等比数列，因此-3=2(：广=g)Z,则d=g)2+3,即J1+2M=W)Z+3,得-4r+r九、循环法数列有形如,(4,2,/“4)=。的关系,如果红合数列构不成等差、等比数列，有时可考虑构成循环关系而求出a1.,.【例24在数列q1J中.5=1,%=5.4“=a*-%.求处必解：由条件“
18、11.3=a-a.=(a1.-a1.,)-an.,=-an,即4,3=.6=an,3=即每间隔6项循环一次.1998=6X333.i9w=ot,=-A.十、开方法对有些数列，可先求VZ或网,再求见.【例25】仃两个数列M1.它们的每一项都是正抵数,且对任敕自然数、力、%.成等差数列，b*、7、Wt成等比效列%=1.,2=3,4=2,求&和21=%+,”,解：由条件有：1.V“=/%协ci.由式得：“=瓦二石.%=屈也“.把、代入得：2b“=ybu.1.bn+,bnti.变形行M(M-M)=M(板7-M)：b。0.y1.vfrn.1=也“-V”,.；.板是等差数列.因q=1.,1=3,1=2,故仇=；.故而T_,瓦=-r2=41.:,b.=局2b.=2/.故an=”“=2n(n-).
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