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1、实用标准文档四川省普通高等学校“专升本选拔?高等数学?测试大纲理工类总体要求考生应理解或了解?高等数学?中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分 学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及?线性代数? 的行列式、矩阵、向量、方程组的根本概念与根本理论；掌握上述各局部的根本方法.应注意 各局部知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维水平、逻辑推理水平、运算水平、 空间想象水平；能运用根本概念、根本理论和根本方法正确地推理证实,准确、简捷地计算； 能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题.本大纲对内容的要求由低到高,对概念和理论分为“了解和“理解两个
2、层次；对方法 和运算分为“会、“掌握、“熟练掌握三人层次.测试用时：120分钟测试范围及要求一函数、极限和连续二一元函数微分学三一元函数积分学四向量代数与空间解析几何五多元函数微积分学六无穷级数七微分方程八线性代数一行列式1.理解行列式的概念,掌握行列式的性质1行列式的概念二阶行列式:ai1ai2a21a22811822a2 a?1(+)(日(+)aiiai2ai3a2ia 22a235a3ia 23a33aiiai2ai na2ia22a2nanian2annnn阶行列式：D三阶行列式：d3n阶行列式的值的特点:1 一共是有n!项的代数和；2每一项都是n个元素的乘积,它们来自于不同的行、不同
3、的列.3这n!项中有一半是正项,另一半是负项.(2)行列式的性质变换性质转置变换:DtDT为D的转置行列式.交换变换:DiDi为D互换两行列后所得.rij Ci倍乘变换:DiDi为D的某行列元素都乘以k后所得.k ri, kc倍乘变换:DiDi为D的某行列乘以k加到另外的行列后所得.rjk ri,Cjk Ci文案大全零值性质 如果行列式的某行列的元素全为零,贝U此行列式的值为零.如果行列式的某两行列的元素相同,贝U此行列式的值为零.2.如果行列式的某两行列对应元素成比例,那么此行列式的值为零.会用行列式的性质和行列式按行列展开定理计算行列式(1)行列式的余子式和代数余子式余子式皿门：划去aij
4、所在的第i行和第j列的全部元素后剩下的元 素组成的n 1阶行列式.代数余子式：Aij(i)i jMij2阶行列式按行列的展开D n aii Aiiai2Ai 2a in Ainnai k Ai inaik( i)i kMik 或D nai j Ail ja2jA2janj An ja k j Ak jk 1akj( 1)k jM jkk 13行列式的计算方法 先利用行列式的性质使行列式的某一行列的元素尽可能多的化为零,再按该行 列展开. 可将行列式化为特殊行列式后计算特别是化为三角形行列式. 例1 计算以下的行列式25122310abbb3714；4211;babb59272121bbab46
5、120110bbba二矩阵1.理解矩阵的概念,了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质.(1) 矩阵的定义a11a12a1n由m n个数aij (i 1,2, ,m;j 1,2, n)排成的m行n列的数表*21*22*2n叫a mnam1 am2 矩阵；记为Amn,或A ajmn 当m n时,矩阵A称为n阶方阵.记作An .当m 1时,矩阵A称为行矩阵或行向量.记为A aj1 n= a1,a2, ,ana1当n 1时,矩阵A称为列矩阵或列向量.记为A= a2或 A aij m 1.2特殊矩阵零矩阵：矩阵的元素都为0时 单位矩阵：主对角线都为1的对角矩阵.记为En或E
6、.对角矩阵或对角阵：在n阶方阵中,主对角线以外的元素都为零的矩阵上三角矩阵：在n阶方阵中,主对角线以下的元素都为零.下三角矩阵：在n阶方阵中,主对角线以上的元素都为零.对称矩阵：ai ja j i 或 A A反对称矩阵： ai ja ji 或 ATA2. 掌握矩阵的线性运算、 乘法、转置、方阵乘积的行列式及它们的运算规律.(1) 矩阵的线性运算设 A (aij )m n,B(bij ) m n矩阵的 和：AB(aijbij )m n矩阵的 差：AB(a b )ijij m n数乘矩阵 ：kA(kaij ) m n2)矩阵的乘法 定义设 A (ai j )m k , B (bi j ) k n
7、, 令 C (ci j )m n 是由下面 m n 个元素b1jb2jci j (ai1 , ai2 , ,aik )ai 1b1j ai2b2jai kbk jbk j构成的m行n列的矩阵. 称矩阵C (Cj)mn为矩阵A与矩阵B的乘积.记为：C AB 运算律(a) 结合律：(AB)C A(BC)(b) 分配律：(A B)C AC BC , A ( B C ) AC ABC(C) 01 律： AEn En A A, AOn OnA O(d) 不具备交换律：AB BA,(e) 两非0矩阵的乘积可能是0矩阵.即AB 0不能推出：A 0或B 0. 矩阵的乘方设A为n阶方阵,称矩阵A自乘m次称为矩阵
8、A的m次方.A0 E , A1 A , A2 AAAm AA A (m 个 A)AkAl Ak l ,(Ak)l Akl,(3) 矩阵的转置定义：把A的行、列交换所得得的矩阵叫做矩阵 A的转置矩阵.记为AT. 转置矩阵的性质： (AT)T A (A B)T AT BT (kA)T kATabt btat4方阵的行列式定义：由n阶方阵A的元素按原来顺序构成的行列式称为方阵A的行列式.记为| A |或detA.矩阵行式的性质|AT |I A| ;|kA|kn|A| ; | AB |I BA| |A| |B1011 0例1：A210,B3 1;求 AB.3210 23. 理解逆矩阵的概念,掌握矩阵可
9、逆的充分必要条件,理解伴随矩阵的概念, 会用伴伴随矩阵求矩阵的逆矩阵.1逆矩阵的定义设A是n阶方阵,如果存在一个n阶方阵B,使得AB BA E ;那么称矩阵A是可逆的,称 矩阵B是矩阵A的逆矩阵.A的逆矩阵记为A 1,即B A 1.2逆矩阵的性质 方阵A可逆 A的逆矩阵是唯一的.且 AA 1 A 1A E . A可逆 A 1也可逆.且 A11 A .1 A可逆,数0A可逆且A 1 -A 1 . A可逆A也可逆,且AT 1 A 1T . A可逆,那么有| A 1 | | A| 1. A、B为同阶方阵且均可逆AB可逆且AB 1 B 1A 1 .1 1 1 1 A1A2 AmAm A2 A .3矩阵
10、可逆性质的判别A可逆| A| 0 4求矩阵的逆矩阵的公式 伴随矩阵：n阶方阵A的行列式|A|的各个元素的代数余子式 Aj构成矩阵AA21A1 nA*A12A22A2n称为矩阵A的伴随矩阵.A1nA2 nAnn求矩阵的逆矩阵的公式假设矩阵A可逆,那么A 1|A|A*为A的伴随矩阵例1判断A.321是否可逆,如果可逆,求逆矩阵.w-l、- l L*mrf4. 掌握矩阵的初等变换,了解矩阵秩的概念,掌握用初等变换求矩阵的秩和 逆矩阵的方法.1矩阵的初等变换定义：矩阵的以下三种变换称为矩阵的初等行列变换.rj ( CiCj )k ( Cik )krj ( Ci kCj) 对换变换：互换矩阵的i、j两行
11、列.ri 倍乘变换：把i行列的各元素都乘以非零k常数.ri 倍加变换：把j行列的假设干倍,加到i行列上.ri矩阵A经过有限次初等行变换转化为矩阵 B,那么称矩阵A与矩阵B等价,记为A B.2矩阵的秩矩阵的k阶子式在一个m n的矩阵A中任意取k行和k列,位于这些行与列相交位置上的元素所构成的 一个k阶行列式称为矩阵A的k阶子式.矩阵Am n的k阶子式共有Cm?Cn个.矩阵的秩的定义在m n的矩阵A 中, 一切非零子式的最高阶数r称为矩阵A的秩.也就是说,假设矩阵A中 至少有一个r阶子式不等于零,而所有的 叶1阶子式如果有的话都等于零,贝U称矩阵 A的 秩为r,记为RA r.注意： R(A) mi
12、n( m,n).零矩阵的秩为零；非零矩阵的秩一定不为零3矩阵的秩的求法阶梯形矩阵及其秩矩阵A假设满足：1零行元素全为0的行在矩阵的最下方；2各非零行的第1个非 零元素的列标随着行标的递增而严格增大.满足这样的条件的矩阵称为阶梯形矩阵.阶梯形矩阵的秩为：非全零行的行数.21032如矩阵 031255 有三个非全零行,那么它的秩为 30004300000 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 方法：先用初等变换将矩阵变为与它等价的阶梯形矩阵,再观察非全零行的行数,其行 数即为矩阵的秩.(3)逆矩阵的求法 ： (A,En) (En ,A 1)将矩阵 (A , En )经过一系列的初等变换,将前面的局部变成为
13、单位矩阵后,其后面的部份就变成了 A 的逆矩阵.34 的逆矩阵411例： 求矩阵 A 2 112三)向量1. 理解 n 维向量的概念,向量的线性组合与线性表示.1)n 维向量的定义 n个数ai,a2, ,an组成的有序数组 忌,an)称为n维向量.数ai称为n维向量的第i个分量.向量中的个数称为向量的 维数.向量一般用小写黑体的希腊字母,表示.行向量 ：把向量写成一行； 可看成一行 n 列的矩阵 列向量 ：把向量写成一列； 可看成 n 行一列的矩阵2)n 维向量的运算 两向量相等 向量的加法 向量的减法两向量的各分量对应相等. 两向量的各分量对应相加. 两向量的各分量对应相减. 数乘向量 ：
14、将数 k 乘以向量的各分量例 设 (2,1, 3),( 2,3,6),(2, 1, 4),求向量 23(3)n 维向量的线性组合给定向量组A : 1, 2, , m,对于任何一组实数k1, k2, ,km,那么称k1 1 k2 2km m为向量组的一个线性组合.实数ki, k2, ,km称为组合系数4) 向量的线性表示 一个向量由向量组线性表示给定向量组 1,2 , m ,如果存在一组数 x1, x2, ,xm 使x1 1 x2 2xm m那么称 是向量组1, 2, , m的一个线性组合.也称向是可由向量组1, 2, , m线性表示. x1, x2, ,xm 称为 表出系数 (组合系数)n 维
15、标准单位向量组：i (0, ,0,1,0, ,0),( i 1,2, ,n)任何一个向量n维向量(a1 , a2 , , a.)都可以唯一地由标准单位向量组线性表示. 线性组合的矩阵方式表示x11 x22xmm(2,m() x1,x2,xm)TAX ,其中 A (12m),Xx1,x2,xm)T 表示系数的求法 求表出系数 x1, x2, 假设线性方程组 AX假设线性方程组 AX假设线性方程组 AX(1,1 ,5)T能否表示成,xm 就是求解线性方程组：AX .有唯一解,那么表示法是唯一的. 有无穷多个解,那么表示法不是唯一的. 无解,贝U 不能由向量组1, 2, m线性表示.1(1,2,3)
16、T ,2(0,1,4)T ,3(2,3,6)丁 的线性12组合.2. 理解向量组线性相关或线性无关的定义,掌握判别向量组线性相关的方法.1)向量组线性相关性的概念 向量组线性相关、线性无关的定义：给定向量组1, 2, , m,如果存在不全为零的数k1, k2, ,km使k1 1k2 2km m 0那么称向量组1 , 2, m是线性相关的,匕*2, km称为相关系数.否那么称它线性无关 向量组线性相关性的判别结论 1：含有零向量的向量组一定线性相关.结论 2：单个非零向量一定线性无关.实用标准文档结论3：两个非零向量线线相关两向量的分量对应成比例.结论4：1, 2, , m线性相关 至少存在某个
17、向量i能由其余向量线性表出.结论5：1, 2, , m线性无关 任意一个向量都不能由其余向量线性表出.结论6：1, 2, , m线性无关,添加一个向量后1, 2, , m ,线性相关一定可由向量组1, 2,m线性表出,且表示法唯一.结论7：1, 2, , m线性相关添加向量后的向量组也一定线性相关.简说：部份相关那么整体相关.结论7:设有两个向量组,它们的前n个分量对应相同i 佝勺,ai2, ain), i (ai i, ai 2, ain , ai n 1 , ai n p), (i 1,2, m)1 , 2,m线性无关1, 2, , m线性无关1 , 2,m线性相关1, 2, , m线性相
18、关简说：无关组接长后仍无关.相关组截短后仍相关.(2)向量组线性相关的判别方法.设向量1, 2, , m组,如何判别其线性相关性呢?i (ai1, ai2 , ain ),(i 1,2, m),m),X( x1,x2, ,Xm)T,m线性相关存在不全为零的k1,k2,m个变元的齐次方程组AX 0是否有非零解.,km 使 k 1 k2 2Km m0a1 xa2 X2a1n Xm0a?1 Xa?2 X2a2mXm0有非零解.an 1X1an2X2an mXm0R(A) m例1判别向量组1(1,1,1),2 (1,1,0),3 (1, 0,0)的线性相关性.例 2 判别向量组 1(1,2,3),2(
19、 1,1,4),3 (3,3,2),4(4,5,5)的线性相关性.结论1 : n个n维向量组1, 2, , n线性无关A ( 1, 2, , n) 0结论2:当向量组中的向量个数m大于其维数n时 向量组1, 2, m一定线性相关.3. 了解有关向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大无关组和秩.(1)向量组的极大线性无关组 定义设向量组 T 由假设干个 n 维向量构成,假设存在 T 的一个局部向量组 1 , 2 , , r 满足以： ( 1) 1 , 2 , , r 线性无关；( 2)对于任意向量 T ,向量组 , 1 , 2 , , r 线性相关. 那么称1,2, r是向
20、量组T的一个极大无关组. 向量组的极大无关组的性质：一个向量组的任意两个极大无关组所含有的向量个数相同.(2) 向量组的秩 定义 向量组T的任意一个极大无关组中所含向量的个数叫做 T的秩.记为：R(T) 向量组的秩的性质、结论假设向量S可以由向量组T线性表出,那么R(S) R(T).( 3) 向量组的秩、极大无关组的求法 向量组的秩的求法设向量组1,2, m是m个n维列向量,现构成一个n m矩阵A ( 1 ,2 , m),那么有 R( 1 ,2 , m) R(A)设向量组1 , 2 , m是m个n维行向量,现构成一个n m矩阵B ( 1T , 2T , mT),那么有 R( 1T , 2T ,
21、 mT) R(B)把求向量组的秩的问题转化为求矩阵的秩的问题. 向量组的极大无关组的求法第一步：将向量组构成一个矩阵设S 1 ,2 , m为n维列向量组,现构成n m矩阵A ( 1 ,2 , m)第二步： 用初等行变换将其变为阶梯形矩阵m) ( 1 , 2 ,m) B文案大全实用标准文档第三步：考察n维列向量组T 1,2, m,由于行初等变换不改变矩阵的列秩,向量组T 1,2, m中的极大无关组就对应S 1,2, m中的极大无关组.注：只用行初等变换,仅求列向量中的极大无关组.例1求出以下向量的一个极大线性无关组.125101 112 433 974 1613例2求出下行向量的一个极大线性无关
22、组.1(1,1, 2,7),2( 1, 2,2, 9),3( 1,1, 6,6),4(2,4,4,3),5(2,1,4,3),(四)线性方程组1. 掌握克莱姆法那么克莱姆法那么：设含有n个未知数x1,X2,.,Xn的n个方程组成的n元线性方程组为：a1 X1a12X2Q nxnb821X1a22X2a2nX2b2an1 X1an2X2ann xnbna11如果线性方程组的系数行列式 D不等于零,an1ann那么方程组(1.7)有且仅有唯一解:D1X1DX2xnDnD其中 Dj j 1,2,., n是把系数行列式D中的第列的元素用方程组右端的常数代替后所得到的阶行列式记作 Dja11a21a1,
23、j 1a2,j 1b1b2a1,j 1a2,j 1a1 na2nan1an,j 1bnan, j 1ann当常数项全为零时,方程组称为n元齐次线性方程组.实用标准文档文案大全齐次线性方程组的系数行列式 齐次线性方程组的系数行列式D 0 齐次方程组只有零解D 0 齐次方程组有非零解ai X1a2 X2ai n Xn0a?ia?2 X2a2nXn0an1 X1an2 X2ann Xn0XiX22x43x例1用克拉默法那么解线性方程组12X2X32x464x-i3x2X3X402x1X302. 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件a2nXnb2设m个方程组n个
24、未知数的齐次线性方程组a?i a?2 X2amn人bma112a1na11a12a1nbAa21a22a2na21a22a2nb2am1am2amnam1am2amnbmX1b1X2b2Xbxmbmam1 X1am2X2(1)齐次线性方程组R(A) n 时齐次线性方程组AX 0只有唯一零解;R(A) n 时齐次线性方程组AX 0有无穷多组非零解(2)齐次线性方程组R(A) R(A) AX b 有解. 假设R(A) R(A) n,那么线性方程组AX b有唯一一组解. 假设R(A) R(A) n,那么次线性方程组AX b有无穷多组解.当AX b有无穷多解时,其一般解中自由未知量的个数为n r .
25、假设R(A) R(A),那么非齐次线性方程组 AX b无解通解的概念.3. 了解齐次线性方程组的根底解系、(1)齐次线性方程组的解向量a11x1a12 x2a1nxn0设有齐次线性方程组a21x1a22x2a2xn0am1x1am2x2amnxn0a11 a12a1nx1a21 a22a2n ,x2记 A 21 22xam1am2amnxn那么上述方程组可写成向量方程Ax 0.假设 x111,x221,xnn1 为方程Ax0的解,1121 为方程 Ax 0的解向量,它也就是向量方程 Ax 0的解n12) 齐次线性方程组的根底解系如果(1)1, 2, t是Ax 0的一组线性无关的解,(2) Ax
26、 0的任意一个解都可以由,t线性表示；那么称1, 2, , t为齐次方程组Ax 0的根底系.3) 齐次线性方程组的 根底解系 确实定定理：设A是m n矩阵,r(A) r,贝U Ax 0的根底系中解向量的个数为： n r ； Ax 0的任意 n r 个线性无关的解向量都是根底解系. Ax0只有零解r(A)nAx0 没有根底解系； Ax0有非零解r(A)nAx0有无穷多个根底解系.Ax 0的根底系 : (1) 必须是 Ax0的解,(2) 必须是线性无关向量组, (3) 必须有 n r 个向量.( 4)齐次线性方程组的解的结构如果 1, 2, n r 为齐次方程组 Ax 0的一个根底系,那么Ax0的
27、通解可表示为：xki1k22knr n r,其中匕山,knr是任意常数4. 了解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念.x为n维未知列向量；b为m维常数向量；A(1)解向量的概念a11x1a12 x2a1nxn设有非齐次线性方程组a21x1a22 x2a2n xnam1x1am2x2amn xna11a12a1nx1b、1 a21a22a2nx2b2记A,x2 , bam1am2amnxnbm简写成向量方程 Axb.b1b2(A,b)为称A为方程组Ax b的系数矩阵；方程组Ax b的增广矩阵；满足A b的n维列向量 称为Ax b的解向量,简称为解.( 2)非齐次线性方程组的解的结构 非齐次线性方
28、程组解的性质性质1：设!, 2都是非齐次方程组Ax b的解,那么!2是对应齐次方程组Ax 0的解.性质 2： 设 是非齐次方程组 Ax b 的解, 是对应对应齐次方程组 Ax 0的解,那么 必是非齐次方程组Ax b的解. 非齐次线性方程组解的结构设A是m n矩阵,且r(代b) r(A) r,*是非齐次方程组Ax b的一个解,1, 2 n r是对应齐次方程组 Ax 0的根底解系.那么非齐次方程组Ax b的通解为：x * ki 1 k2 2kn r n r ；其中匕,k? , ,kn r是任意常数.5. 掌握用矩阵的行初等变换求线性方程组通解的方法.1)齐次线性方程组的通解的求法 用行初等变换将齐
29、次方程组 Ax 0的系数矩阵A化为阶梯开矩阵T 写出矩阵 T 对应的齐次方程组 Tx 0 得出齐次方程组的解,指明自由未知量 让自由未知量取成标准单位向量,得到根底解系的各向量实用标准文档 写出通解2x1 x2 2x3 3x4 0例 1 求解线性方程组 3x1 2x2 x3 2x4 0 的通解x1x2x3x401111r2 ( 2)r11111解： A 2123r3 ( 3)r10125321201451111( 1)r21014r3 ( 1)r20125r1 ( 1)r20125T00000000简化后的阶梯形矩阵 T 对应的方程组为x1 x3 4x4 0x2 2x3 5x4 0即X1 X3
30、 4X4,这里X3 , X4为自由未知量.x22x3 5x4取 x31,x40 得 x11 , x22 ；取 x30 ,x41得 x14, x25 ；于是得到原方程组的一个根底解系1 (1, 2,1,0)T ,1 ( 4, 5,0,1)T因此所给齐次方程的通解为： k1 1 k2 2,其中 k1, k 2为任意常数.(2)非齐次线性方程组的通解的求法求给出的非齐次方程组 Ax b的通解,用初等变换将增广矩阵(A,b)化为行阶梯形矩阵仃,d),这样Ax b与Tx d是同解方程组,于是Tx d的通解就是Ax b的通解了.求 Ax b 的通解步骤： 用行初等变换将增广矩阵(代b)化为行阶梯形矩阵 仃
31、,d) 写出矩阵(T,d)对应的非齐次方程组Tx d,并得出其解. 让自由未知量都取 0 得到方程组的一特解 *. 写出对应的齐次方程组 Tx 0,并得出其解. 让自由未知量取成标准单位向量,得到根底解系的各向量写出通解X12x2X33x4X52例1求解线性方程组X12x2X3X43X54的通解.2x14x22x36X43X5612 131 23(1)儿121312解:A12 113 43(2)r,00024624263 6000012121003000101(T,d)0000122 ( 4疋121( 1)3000013 000 2 0 200 12i(2).ri ( 3)q文案大全x-i2x
32、2x33简化后的阶梯形矩阵(T,d)对应的方程组为X41x52Xi 3 2x2 X3即X41,这里X2、X3为自由未知量.X52取 x2 0, x3 0 得 x-i 3, x41, x5 2 ；得原非齐次方程组的一个特解：* (3,0,0, 1,2)Tx1 2x2 x30简化后的阶梯形矩阵T对应的齐次方程组为X4 0X50X12x2X3即X40,这里X2、X3为自由未知量X50取x21X30 得 X12, X40, X50 ；取X20X31 得 X11,X40 ,X50 ；于是得到对应齐次方程组的一个根底解系1 ( 2,1,0,0,0)T , 2 (1,0,1,0,0)T实用标准文档 因此所给原非齐次方程的通解为：*xki 1 k2 2,其中ki, k2为任意常数例2当参数a为何值时,非齐次方程组有解？当它有解时,求出通解.xixi5x27x23xi i7x2xi3x2x3x3x43x4x3 x43x35x4xi x2 x3 x4 x57练习1求非齐次方程组3X1 X2 2x3 x4 3x52的通解2x2 x3 2x4 6x5238x1 3x2 4x3 3x4 x512x1x2x31练习 2 当参数 a 为何值时,非齐次方程组解.有解？当它有解时.2x1 x31x1 3x2 4x3 a有解？当它有解时,求出通