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1、:,第11章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,:,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,对弧长的曲线积分,第11章,:,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,可得,为计算此构件的质量,1.引例: 曲线形构件的质量,采用,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,设 是空间
2、中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 的任意分割,局部的任意取点,2.定义,以下“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，, 称为积分弧段 .,曲线形构件的质量,和对,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,假如 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,假如 L 是闭曲线 , 则记为,则定义对弧长的曲线积,分为,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,考虑:,(1) 若在 L 上 f (x, y)1,(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?,否!,对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中,dx 可能为负.
3、,:,3. 性质,（k 为常数),( 由 组成),( l 为曲线弧 的长度),机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,证:,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,根据定义,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,点,设各分点对应参数为,对应参数为,那么,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,说明:,因此积分限必须满足,(2) 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,因而,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,那么,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,
4、那么,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,例1. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,例2. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,例3. 计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,例4. 计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,例5. 计算,其中为球面,解:,化为参数方程,那么,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,内容小结,1. 定义,2. 性质,( l 曲线弧 的长度),机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,3. 计算, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,思考与练习,1. 已知椭圆,周长为a , 求,提示:,原式 =,利用对称性,分析:,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,:,2. 设 C 是由极坐标系下曲线,及,所围区域的边界, 求,提示: 分段积分,机动 目录 上页 下页 返回 完毕,