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1、:,8.3 曲面积分,8.3.1 对面积的曲面积分第一类曲面积分）,8.3.3 两类曲面积分之间的联系,8.3.2 对坐标的曲面积分第二类曲面积分）,:,定义8.3.1,设为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 叫做被积,是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分。,若对 做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 在曲面上对面积,函数, 叫做积分曲面。,8.3.1 对面积的曲面积分第一类曲面积分）,:,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似。,则对面积的曲面积分存在。,在光滑曲面 上连续, 积分的存在性,:, 对积分域的
2、可加性,则有, 线性性质,假设 是分片光滑的,例如分成,两片光滑曲面,:,定理 设有光滑曲面,在 上连续,存在, 且有,对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明 由定义知,:,而,(光滑),:,说明,可有类似的公式.,1)如果曲面方程为,2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS,的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分。 (见本节后面的例4, 例5),:,:,2如，此时投影区域； 如，此时投影区域为。,3球面、柱面的面积元素,:,回忆 球面坐标下的体积元素,:,例1 计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解,:,考虑,假设是球面,被平行平面 z =h 截,出的
3、上下两部分,那么,:,例2,解,:,（或直接由对称性）,:,例3 计算,其中是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解 设,上的部分, 那么,与,原式 =,分别表示 在平面,:,例4 计算 ，其中 ： 被柱面 割下的有限部分,解,:,说明 也可往yOz或zOx平面投影而计算此曲面积分，但投影区域的表示及二重积分的计算都较复杂。,:,解 关于xOy平面对称，所以,关于zOx平面对称，所以,，所以,例5 求,:,例6,设,计算,解 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,那么,:,考虑 若例3 中被积函数改为,计算结果如何 ?,:,例7 求半径为R 的
4、均匀半球壳 的重心。,解 设 的方程为,利用对称性可知重心的坐标,而,用球坐标,思考题 例7是否可用球面坐标计算 ?,:,例8 计算,解 取球面坐标系, 那么,:,例9 计算,其中是球面,利用对称性可知,解 显然球心为,半径为,利用重心公式,:,例10 计算,其中是介于平面,之间的圆柱面,分析 若将曲面分为前后(或左右),那么,解 取曲面面积元素,两片,则计算较繁。,:,例11 求椭圆柱面,位于xoy面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 的侧面积 S 。,解,取,:,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,那么,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧.,:,备用题1,一卦限中的部分, 则有( )。,( 2000 考研 ),:,备用题2 已知曲面壳,求此曲面壳在平面 z1以上部分的,的面密度,质量 M 。,解 在xoy面上的投影为,故,:,3. 设是四面体,面, 计算,解 在四面体的四个面上,同上,:,