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1、17. 3 一元二次方程根的判别式 1 理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一 元二次方程根的情况；(重点、难点) 2 通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数 学思想，提高观察、分析、归纳的能力. 一、 情境导入 1 你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？ 2 能力展示：分组比赛解方程. (1) x2+ 4= 4x; (2) X2+ 2x= 3; 2 (3) x x+ 2= 0. 3.发现问题 观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？ 二、 合作探究 探究点：一元二次方程根的判别式 【类型一】 利用根的判别式判断一
2、元二次方程根的情况 、 已知一元二次方程x2+ x= 1,下列判断正确的是() A .该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定 解析：原方程变形为 x2 + x 1 = 0.v b2 4ac= 1 4x 1X ( 1) = 50，二该方程有两个 不相等的实数根故选 B. 方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的 情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx+ c= 0(a丰0).当b2 4ac 0时，方程有两个 不相等的实数根；当 b2 4ac= 0时，方程有两个相等的实数根；当 b
3、2 4acv 0时，方程无 实数根. 变式训练：见学练优本课时练习“课堂达标训练”第 3题 【类型二】 根据一元二次方程根的情况确定字母的取值范围 若关于x的一元二次方程kx2 2x 1 = 0有两个不相等的实数根， 则k的取值范围 是() A. k 1 B. k 1 且 kz0 C. k1 D. k0，解得k 1且 2 0故选B. 吟0, 易错提醒：利用b2 4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于 0这一条件，本题容易误选 A. 变式训练：见学练优本课时练习“课后巩固提升”第 3题 【类型三】一元二次方程根的判别式与三角形的综合 2 2 2 2 2 已知a, b, c分
4、别是 ABC的三边长，求证：关于 x的方程bx + (b+ c a)x + c2= 0没有实数根. 解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式厶 c, a + cb, b + ca. 证明：T b 为三角形一边的长，bz0,二 b2z 0,二 b2x2+ (b2+ c2 a2)x+ c2= 0 是关于 x 的一元二次方程. = (b2+ c2 a2)2 4b2c2= (b2+ c2 a2+ 2bc)(b2+ c2 a2 2bc)= (b + 2 2 2 2 c) a (b c) a = (b + c+ a)(b+ c a)(b c+ a)(b c a) = (a + b+ c)(b + c) a(a+ b) c b (a+ c). T a, b, c 是三角形三条边的长， a0, b0, c0，且 a+ b + c0, a + bc, b+ ca, a + cb. (b+ c) a0, (a+ b) c0, b (a + c)0 , (a+ b+ c)( b+ c) a(a + b) c b (a+ c)0 , 即卩 0,解得m0，同时要求二次项 本节课是在一元二次方程的解法的基础上， 学习根的判别式的应用.学生容易在计算取值范 围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调