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1、1,:,无穷级数,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,数项级数,幂级数,第八章,本质是无穷多个数求和的问题,2,:,一、常数项级数的概念,引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 S .,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,第一节 级数的概念和性质,3,:,引例2. (神秘的康托尔尘集),把0,1区间三等分, 舍弃中,间的开区间,将剩下的两个子区间分别三等分,并舍弃,在中间的开区间,如此反复进行这种“弃中操作,问丢弃部,分的总长和剩下部分的总长各是多少？,丢弃的各开区间长
2、依次为,故丢弃部分总长,剩余部分总长,剩余部分总长虽然为0, 但康托尔证明了其成员和实数“一样多”,它们象尘埃一样散落在0,1区间上, 人们称其为康托尔尘集.,4,:,1、级数的定义:, (常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,如何定义无穷个数相加？,5,:,2、级数的收敛与发散:,当级数收敛时, 称差值,为级数的余项.,显然,6,:,解,收敛,发散,例1,讨论等比级数(几何级数),的收敛性.,7,:,2). 假设,因此级数发散 ;,因而,n 为奇数,n 为偶数,从而,那么,级数成为,不存在 , 因此级数发散.,综上所述,8,:,例2. 判别下列级数的敛散性:,解: (1),所以
3、级数 (1) 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,9,:,(2),所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,好处：可以计算级数的和的值,10,:,解,练习：,讨论无穷级数,的收敛性.,11,:,二、级数的重要性质,性质1 (级数收敛的必要条件),证明,注：,正项级数收敛的本质 ,un 0足够快。,12,:,说明：,1、如果级数的一般项不趋于零,则级数发散；,级数发散；,级数发散。,级数敛散性判别的第一步,13,:,2、必要条件不充分：,再举一个重要例子：,但级数发散。,调和级数,14,:,讨论,于是,矛盾，,调和级数,15,:,浴缸,浴缸能加满水吗,1
4、,浴缸,1,16,:,由级数收敛的定义，以及极限的性质，不难证明。,也收敛,且有,性质2 线性运算性质,性质2(2) 表明收敛级数可逐项相加或相减 .,17,:,注:,证,矛盾.,例如,18,:,性质3,收敛级数任意加括号后仍收敛,且其和不变.,证略。,注,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原级数也发散.,例如,例如，,则级数,且和不变.,本质是部分和的子序列,逆否命题,19,:,去掉、添加或改变级数中的有限项,不会影响,性质4,它的敛散性(但收敛级数的和可能要改变).,20,:,例5,判断下列级数的敛散性：,故原级数收敛，,解,且和为,21,:,例5
5、,判断下列级数的敛散性：,收敛；,发散。,22,:,公元前五世纪,以诡辩著称的古希腊哲学家齐诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论：,如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍,也永远也追不上乌龟.齐诺的理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍然前于他10米,如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？,课外阅读：齐诺悖论阿基里斯与乌龟,23,:,如果我们从级数的角度来分析这个问题,齐诺的这个悖论就会不攻自破.,24,:,